如何用导数法解答三类题目

毛芹

导数法是解答高中数学问题的常用方法，尤其是 在判断函数的单调性、求函数的最值、证明不等式、解 答切线问题时，运用导数法求解非常便捷.下面主要谈 一谈如何巧妙运用导数法判断函数的单调性、证明不 等式、解答切线问题.

一、利用导数法判断函数的单调性

对于简单的函数单调性问题，通常可以利用函数 单调性的定义求解，而对于较为复杂的函数单调性问 题，如含有指数、对数、高次幂的函数式，运用导数法， 就能顺利解题，其基本思路是：（1）对函数求导；（2）令 导函数为0，并求出零点；（3）用零点将函数的定义域 划分为几个区间，并在每个区间上讨论导函数与0的 大小关系；（4）若導函数大于0，则函数在该区间上单 调递增，若导函数小于 0，则函数在该区间上单调递 减.

例1

解：

利用导数法判断函数的单调性，主要是利用导函 数与函数单调性之间的关系.值得注意的是，有的时候 函数的单调区间不止一个，此时需用并集的形式表示 函数的单调区间.

二、利用导数法证明不等式

运用导数法证明不等式，需先将不等式进行适当 的变形，可将不等式变形为一侧为0的形式，也可将不 等式化为两侧均为简单基本函数的形式，然后对函数 求导，利用导函数与函数单调性之间的关系判断出函 数的单调性，进而求得函数的最值，最后建立使不等 式恒成立的式子，即可证明不等式成立.

例2

证明：

对于本题，我们需将不等式变形成一侧为 0 的形 式，然后对另一侧的式子求导，以判断出函数的单调 性，从而求得函数的最值，建立确保不等式成立的关系 式.

三、利用导数法解答切线问题

解答切线问题，往往要借助函数 f （x） 在点 x0 处的 导数 f ′（x0） 的几何意义：在曲线 y = f （x） 上点 P（x0，y0） 处的切线的斜率.对函数求导，并将切点的横坐标代 入，即可求得函数在某点处切线的斜率，则其切线的 方程为 y - y0 = f ′（x0）·（x - x0） ．

例3

解：

解答切线问题，需注意两点：（1）已知的曲线上的 点并不一定是切点；（2）明确曲线方程的导数的几何 意义就是切线的斜率.

可见，在判断函数的单调性、证明不等式、解答切 线问题时，运用导数法可使问题快速获解，且思路较 为简单.但运用导数法解题过程的运算量较大，同学们 需谨慎计算.

（作者单位：江苏省江安高级中学）