解答三角形面积的最值问题的几种思路

顾海霞

三角形面积的最值问题经常出现在各类试题中， 常见的命题形式为根据已知的边角关系，求三角形的 边长、角、面积、周长的最值.其中，三角形面积的最值 问题侧重考查正余弦定理、勾股定理、三角形面积公 式的应用.本文主要谈一谈求解三角形面积的最值问 题的几种思路.

一、建立平面直角坐标系

有些三角形面积的最值问题中涉及了动点、动直 线，此时我们很难快速确定三角形的面积，不妨根据 三角形的形状特点建立平面直角坐标系，设出动点的 坐标，将动直线用直线的方程表示出来，这样便可运 用点到直线的距离公式、两点间的距离公式、正余弦 定理、勾股定理，求得三角形的边长、高，进而根据三 角形的面积公式 S = 1 2 ab sin C = 1 2 底 × 高 ，求得三角 形面积的最值.

例1

解：

建立平面直角坐标系，设出三角形的顶点 A、B、C 的坐标，便可根据已知条件建立关于 x 、y 的关系式 （x - 4） 2 + y2 = 8 ，而该式表示的是一个圆，于是根据圆 上的点到直径的最大距离为半径，得出 C 到 AB 的最 大距离，最后根据三角形的面积公式求得 △ABC 面积 的最大值.

二、利用基本不等式

基本不等式 a + b ≥ 2 ab （a > 0，b > 0） 是解答最值 问题的重要工具.在求得三角形的面积公式后，可将其 进行合理的变形，如凑系数、添项、去项、进行“1”的代 换等，构造出两式的和或积，并使其中之一为定值，这 样便可直接利用基本不等式求得三角形面积的最值.值 得注意的是，在求得最值后，还需检验等号是否成立.

例2

解：

根据三角形的面积公式 S = 1 2 bcsin A 求得三角形 的面积后，发现该式为 b、c 的积，由此联想到余弦定 理，即可运用基本不等式 b 2 + c 2 ≥ 2bc ，求得bc的取值 范围，进而求得三角形面积的最值.

三、构造函数

有些三角形面积的表达式较为复杂，很难快速求 得其最值，此时不妨将面积的表达式看作关于某个变 量的函数式，判断出函数的单调性，便可根据函数的 单调性求得函数的最值，进而求得三角形面积的最值. 运用构造函数法求三角形面积的最值，关键在于选取 合适的量作为自变量，以便构造出函数模型.

例3

解：

我们以角 ∠C = θ 为自变量，根据题意和三角形的 面积公式求得三角形ABC面积的表达式，便可将其看 作关于 θ 的函数，利用正弦函数的有界性求得最值.

相比较而言，坐標法、基本不等式法比较常用，且 较为便捷.但无论运用哪种方法解题，都需根据题意， 明确三角形三边、边角之间的关系，以便根据三角形 的面积公式求得三角形面积的表达式.

（作者单位：江苏省盐城市阜宁县第一高级中学）