对一道解析几何试题解法的探究

马骏

在解答解析几何题时，我们经常会碰到一些结 构、形式相似或者相同的问题，仔细研究可发现，这类 题目具有相同的属性，其解法也相似.对此，我们在解 答解析几何问题时，需对一些比较典型、常见的题目 进行深入探讨，以挖掘出其本质，明确其通性通法，从 而提升解题的效率.

例题：

证明：

这类题目比较常见，那么对于一般的抛物线 y2 = 2px （p>0），是否也有类似的结论呢？通过探究，笔 者发现：

若过定点 A（m，0）的直线 l（斜率存在）与抛物线 y2 = 2px （p>0）相交于 M，N 两点，则在 x 轴上存在定点 B，使∠ABM=∠ABN.

证明：

结论1.已知抛物线 y2 = 2px （p>0），点B（ -m ，0）（m> 0），若直线（l 斜率存在）与抛物线相交于M、N两点，则 直线l过定点A（m，0）的充要条件为：x轴是∠MBN的角 平分线．

采用类似的方法，可证明对于椭圆和双曲线，也 有类似的结论.

结论2.

结论3

这类问题可转化为以下两类问题：（1）判断直线l 是否过定点P（m，0）；（2）证明x轴为∠AMB的角平分线. 在解答这类问题时，同学们需明确这类问题的本质： （1）直线与圆锥曲线相交；（2）直线的斜率存在；（3）点 M、P均在x轴上；（4）需结合图形来分析问题.而解答 这类问题的通法是，首先将直线与圆锥曲线的方程联 立，通过消元，构造出一元二次方程；再利用韦达定理 建立关系式；最后根据直线的斜率公式，证明两个角 的正切值之和为0.

（作者单位：江苏省泗阳县实验高级中学）