求解圆锥曲线最值问题的思路

张灵

圆锥曲线最值问题的综合性较强，且.解题过程中的运算量较大，对同学们的运算和综合分析能力有较 高的要求.解答这类问题，往往需先根据题意，利用圆 锥曲线的方程、定义、几何性质求得目标式，然后采用 相应的技巧求目标式的最值.那么如何求目标式的最 值呢？主要有三种思路：构造函数、利用基本不等式、 运用几何图形的性质.下面结合实例来进行探讨.

一、构造函数

对于一些与动点、动直线有关的圆锥曲线最值问 题，可先设出动点的坐标或动直线的方程，并根据题 意求得目标式的表达式；然后将目标式看作关于x或y 的函数式，便可利用一次函数、二次函数等的单调性 求得函数的最值.

例1

解：

解答本题，需先设出点P、A的坐标以及直线AP的方程；然后根据韦达定理、弦长公式、点到直线的距 离公式求得 |PA|?|PQ| 的表达式，并构造函数，便可将 问题转化为关于 k 的函数最值问题；再运用导数法求 得函数的最值，就可以顺利求得问题的答案.

二、利用基本不等式

a、b > 0 ，则 a + b ≥ 2 ab ，该式称为基本不等 式.运用基本不等式求解圆锥曲线最值问题，需先确定 变量，将目标式转化为关于该变量的式子；然后根据 目标式的结构特点，将其配凑成两式的和或积，并使 其中之一为定值，即可根据基本不等式求得最值.

例2

解：

我们需先根据韦达定理、两点间的距离公式、点 到直线的距离公式求得△OEF 面积的表达式.而该式 为 λ2 、4 - λ2 的积，且 λ2 、4 - λ2 的和为定值4，再利用 基本不等式即可求得目标式的最值.

例3

解：

我们首先根据双曲线的定义建立 a 、b 的关系 式，然后根据直线的斜率公式求得目标式的表达式.而 该式为 a + 2、16 a + 2 的和，且其积为定值，这便为运用基本不等式创造了条件，运用基本不等式即可求得直 线斜率的最大值.在运用基本不等式求得最值后，还需 检验等号是否成立.

三、利用几何图形的性质

在求解圆锥曲线最值问题时，经常要用到几何图 形的性质，如（1）三角形的两边之和大于第三边，两边 之差小于第三边；（2）双曲线无限接近于渐近线；（3） 切线到圆心的距离最近；（4）点到直线的距离即为过 该点作的垂线段的长.利用几何图形的性质求解圆锥 曲线最值问题，往往要灵活运用圆锥曲线的定义、圆 锥曲线与直线的位置关系.

例4

解：

我们根据椭圆的定义得 |PF | 1 + |PF | 2 = 6 ，将问题 转化为求 |PA| - |PF | 2 的最大值；然后在△PAF2 中，根 据 三 角 形 的 两 边 之 差 小 于 第 三 边 的 性 质 ，确 定 |PA| - |PF | 2 取最值的情形：A、F2、P′ 三点共线，据此 建立关系式，即可求得最值.

在解答圆锥曲线最值问题时，同学们需注意三 点：（1）选择合适的变量，并确定变量的取值范围；（2） 根据目标式的结构特点，将问题转化为关于某个变量 的最值问题；（3）灵活运用函数的單调性、基本不等 式、平面几何图形的性质求最值.

（作者单位：山东省济宁市鱼台县第一中学）