解答空间几何体表面积与体积问题的三个路径

梁亮亮

在做立体几何练习题时，我们经常会遇到空间几 何体的表面积和体积问题.这类问题的常见命题形式 是：（1）根据已知的边角关系、三视图，求空间几何体的 表面积、体积及其最值；（2）根据空间几何体的表面 积、体积，求几何体的某一条边长或某一个角的大小. 下面结合实例，谈一谈空间几何体表面积与体积问题 的几种解法.

一、公式法

公式法是运用柱体（棱柱和圆柱）、椎体（棱锥和圆 锥）、台体（棱台和圆台）、球体的表面积和体积公式解 题的方法.要求我们熟记柱体的表面积公式S表面积=S侧+2S底、 体积公式 V=Sh，椎体的表面积公式 S 表面积=S 侧+S 底、体 积公式V = 1 3 Sh ，台体的表面积公式S 表面积=S 侧+S 上+S 下、 体积公式 V = 1 3 （S上 + S下 + S上S下 ）h ，球的表面积公式 S=4πR2 、体积公式 V = 4 3πR3 .根据几何体的结构特征 和边角关系，利用勾股定理、正余弦定理、三角形的面 积公式、矩形的面积公式等，求得棱柱、圆柱、棱锥、圆 锥、棱台、圆台的母线和高以及球的半径，即可运用公 式法求得空间几何体的表面积和体积.

例1

解：

公式法的应用范围较广，大部分空间几何体的表 面积与体积问题都可采用公式法求解.

二、割补法

对于规则的棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台、 球体等，可直接运用其表面积公式和体积公式求解； 对于不规则的空间几何体，需将其分割、补形为几个 规则的棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台、球体，分别 求得其表面积和体积，再根据空间几何图形的特点， 做加法或减法，即可求得原几何体的表面积和体积.

例2

解：

为了便于解题，需采用割补法，将三棱锥补形为 立方体，根据立方体的对角线为其外接球的直径，来 建立关系式，这样就容易求出三棱锥 P - DCE 的外接 球的半径.通过补形，可将不规则、陌生的图形转变为 规则的、熟悉的图形.

三、特殊位置法

特殊位置法是指根据题意和图形，找到一些特殊 的位置，将复杂的问题简单化.对于较为复杂的选择、 填空题，或难以求得几何体的表面积、体积问题，可采 用特殊位置法，将一些不确定、移动的点放置在图形 中的特殊位置上，如中点、端点、垂点、中心、边缘处的 点等，通过讨论点在特殊位置的几何体的表面积和体 积，求得问题的答案.

例3

解：

为了便于计算，我们将三棱柱 ABC - A1B1C1 看作 直棱柱，将 P、Q 看作对应侧棱的中点，这样便能快速 求得四棱锥 B - APQC 的体积.

可见，空间几何体的表面积与体积问题的难度一般不大，同学们在解题时，只要熟练运用简单空间几 何体的表面积、体积公式，学会将不规则的几何体进 行割补、作特殊化处理，便能灵活运用公式法、割补 法、特殊位置法等求得问题的答案.

（作者单位：江苏省盐城市响水中学）