基于Python的微分方程在多领域中的应用

刘 双

(山东华宇工学院，山东 德州 253000)

微分方程是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的一种方程，它是伴随着微积分学一起发展起来的，最早在牛顿和莱布尼茨的关于微积分学的著作中都研究过与微分方程相关的问题，随着后人研究的不断深入，微分方程逐渐发展为高等数学的一个分支。Python是一种计算机编程语言，最早诞生于20世纪90年代初，其特点是简洁、易读，因而被广泛应用于计算机领域用以解决各类程序的实际问题。在实际生活中，很多情况下都需要利用函数及其导数的关系式对客观事物的规律进行研究，并需运用编程软件来实现。微分方程及Python语言在多个领域都有着很广泛的应用价值。

1 微分方程在医学中的应用

随着科技的不断发展，现在的医学不仅仅是停留在寻医问诊的时代，更多的是要对各类疾病发生的起源以及如何治疗各类疾病进行深入研究探讨[1]。对于这些方面的研究都离不开数学的帮助，微分方程在这其中更是发挥了重要作用，它被广泛应用在细菌的繁殖、药物动力学及流行病学等多个领域中。

本研究以它在流行病学中的应用为例，其中应用最广泛的传染病模型就是一个很典型的微分方程模型，它按照传染病类型又分为SI、SIR、SIRS、SEIR等模型，SEIR传染病模型是其中较为复杂且应用较为广泛的模型。SEIR传染病模型将人群分为易感者(susceptible，S)、潜伏者(exposed，E)、感染者(infected，I)和康复人群(recovered，R)。该模型假设人群中所有个体都有被感染的概率，即都是易感者，当被感染后变成携带病毒的潜伏者，且潜伏者不具有传染性，然后在潜伏者中会有部分人变成感染者，后经过治疗产生抗体变为康复人群，并且不再具有传染性。

新冠疫情就是属于传染病类疾病，SEIR传染病模型也被广泛应用在新冠疫情的研究中，用来对疫情的发展趋势进行预测。可以利用Python建立如下的SEIR传染病模型：

S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=N(t)

2 微分方程在经济学中的应用

在经济学中，GDP的变化率、股票的增长率、房价的变化率、商品的利润率等这些经济量的变化率经常需要利用微分方程进行求解[2]。著名的索洛经济增长模型就是一个以微分方程为基础所建立的经济学模型，其模型为sf(k)=k*+nk，它的基本含义为人均资本拥有量的变化率k*取决于人均储蓄率sf(k)和按照既定的资本劳动比配备每一新增长人口所需资本nk之间的差额。从模型的结构可以看出，这是一个含有未知函数k以及未知函数的导数k*的微分方程模型。

3 微分方程在物理学中的应用

数学和物理学是两个不可分割的整体，物理学的发展离不开数学[3]。数学对于物理学的作用是具体的，在学习物理时所用到的公式、计算方法都是以数学为基础进行应用和求解的，如速度公式、牛顿第二定律、自由落体运动公式、能量守恒定律，其公式都属于微分方程[4]。

4 微分方程在灰色系统领域的应用

在灰色系统中，灰色预测是很重要的一个部分，其优点在于对于“小样本，贫信息”的数据具有较好的预测效果，因而被广泛应用于医学、工程技术、计算机等多个领域来预测各类数据。

灰色预测是基于人们对系统演化不确定性特征的认识，运用序列算子对原始数据进行累加或累减生成，进而挖掘系统的演化规律，以此为基础建立灰色预测模型，对系统的未来状态作出定量预测。在灰色预测理论中，GM系列模型是灰色预测理论的基本模型，尤其是GM(1，1)模型，应用十分广泛[5]，包含均值GM(1，1)模型(EGM)、原始差分GM(1，1)模型(ODGM)、均值差分GM(1，1)模型(EDGM)和离散GM(1，1)模型(DGM)四种，无论是其中的哪个模型，都运用到了微分方程，本研究以原始差分GM(1，1)模型(ODGM)为例，讲述如何运用该模型进行预测。

原始差分GM(1，1)模型(ODGM)是基于GM(1，1)模型的原始形式和运用最小二乘法估计出的原始形式中的模型参数，直接以原始差分方程的解作为1-AGO序列的时间响应式所得到的模型，进而通过累减的方式还原得到原始序列的时间响应式，该时间响应式就是所需的原始序列的预测模型，通过该预测模型得出所要预测的数据。

5 微分方程在其他领域的应用

在社会学中，可以用微分方程建立人口模型，研究人口数量的变化规律，进而应对人口数量的变化对于其他各方面的影响；在军事领域，可以建立微分方程模型来估计战争的结局；在环境学中，可以针对水污染治理建立微分方程模型，研究治理的速度及改善后的情况等内容。微分方程模型建立后，便可用Python语言编程实现[6]，得出量化后的数据，对数据进行分析后从而得出结论。

6 结语

本研究从多个领域介绍了微分方程的应用。在医学领域，以传染病模型为例，介绍了如何运用微分方程进行模型的建立以及预测传染人数的变化。此外，微分方程在医学的其他方面，如细菌的繁殖、药物动力学等方面，都具有很重要的应用价值；在经济学领域，可以运用微分方程研究GDP的变化率、股票的增长率、房价的变化率、商品的利润率等经济量的变化，以此对各种经济问题进行量化，从而达到促进经济发展的目的；在物理学领域，物理学中的很多跟变化率相关的公式都属于微分方程；在灰色系统领域，运用微分方程建立GM(1，1)模型，进而对“小样本，贫信息”的数据进行预测。不仅如此，微分方程在其他领域也有着很重要的应用价值。对于以上微分方程在各领域应用的求解，都可以通过Python语言进行编程实现，不仅简化了整个计算求解过程，而且使结果更加精准可信。