医用高等数学课程极限概念的教学探讨

2022-04-28王国庆刘慧敏

黑龙江科学 2022年7期

熊菲，王国庆，黄霞，刘慧敏

(昆明医科大学海源学院，昆明 650000)

0 引言

微积分是医用高等数学课程的核心内容，极限是高等数学的重要研究方法，引入极限概念后改变了对函数的研究方法，从另一种动态的角度刻画了函数的性态，从而引出导数、微分、积分等概念。因此，讲好极限概念在整个医用高等数学课程中至关重要，直接影响到学生对后续导数、微分、积分等概念的理解。

在实际教学中，由于传统的极限概念一般以ε-δ语言描述，这样描述虽然准确但比较抽象，不易被学生接受并理解。医学生的数学基础较为薄弱，抽象思维能力欠缺，且由于学分制改革，导致医用高等数学课程仅有36学时，学生对传统的ε-δ语言极限概念难以理解，使得教学中对极限概念的处理较为困难，常出现讲深了听不懂，讲浅了又不理解极限本质的问题。

结合自身医用高等数学课程的教学经验，讨论如何生动形象地讲授极限的概念。通过在极限概念讲解中巧妙设计课程导入、运用任务驱动教学法、融入哲学的辩证思想、在课堂上融入思想政治教育等方法，根据实际情况，将以上方法融会贯通，能够加深学生对极限概念的认知，实现育人目标。

1 医用高等数学课程极限概念的教学探讨

1.1 设计课程导入，开展趣味化教学

作为课堂教学的重要一环，导入是一堂课的开始，且贯穿于课堂教学过程中。精彩的导入无疑会为课堂教学的进行奠定良好基础，教师可以在导入新课时，引出数学史上极限概念的出现，重视几何直观展示极限概念并从运动的观念解释极限，多讲历史背景，少讲抽象定义，从而激发学生的学习兴趣。

极限思想由来已久，公元前490～425年，古希腊就有芝诺的阿基里斯悖论；公元前480～410年，古希腊的安蒂丰在讨论化圆为方的问题时，用内接正多边形来近似圆的面积，最终逼近出圆的面积；公元前369～286年，《庄子·天下篇》中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的名言，这些都是早期朴素的极限思想。最早将极限思想运用到数学中是在公元263年，我国古代数学家刘徽在求圆的周长时使用了“割圆术”的方法，但这些极限思想都没有摆脱几何等形式的束缚。直到1665年，牛顿在对三大运动定律、万有引力定律、光学研究过程中发现了被其称为“流数术”的微积分。1675年，德国数学家莱布尼兹发现了微积分，但当时的极限概念也并不完善。现代意义上的极限概念，一般认为是由法国数学家柯西初建，他提出了ε-δ描述极限的方法，引入了极限符号lim。维尔斯特拉斯继续完善了极限概念，一般认为现代意义上的极限概念是维尔斯特拉斯给出的。

在引入极限概念时，可以根据学时适当引入以上极限发展的历史过程，不仅可以让学生了解数学史，也可以吸引学生注意力，提高其学习极限概念的兴趣。

应重视几何直观展示极限概念，比如通过课件展示讲解我国古代数学家刘徽在求圆的周长时使用的“割圆术”方法，用课件动画播放几何多边图形运动方式，在这一过程中引导学生自主探索，通过内多边形的周长不断逼近圆的周长。在这一观察过程中，可以使学生直观地感受极限概念的魅力，体会极限中思想的精髓——逼近。这样的导入比直接给出抽象的极限概念更利于学生接受，让学生参与教学，自主探索整理出极限的概念，使学生对数学学习更有信心和兴趣。

此外，还可以提出问题导入新课，引导学生从哲学的静止和运动的辩证关系中，探索赋值运算和极限运算的区别和联系，从而导出极限概念。比如，教师可以在开课时提出问题：“同学们，知道为什么现在学习的数学叫高等数学，而之前所学的数学叫初等数学吗?”，通过提出问题迅速激发学生的好奇心，使其带着问题思考。随后，教师引导并告知学生不是在大学学习的数学都叫高等数学，而是因为研究函数的方法与中学时的数学发生了本质的变化，初等数学研究函数的方法是赋值运算，即已知自变量求对应的函数值，但这种函数研究方法无法探究非定义域内的点，亟需更全面的函数研究方法探究不在定义域内的点，即极限。高等数学中研究函数的方法“极限”，与初等数学的“赋值运算”相比，最大的不同就在于将静止的等号改为了运动的趋近。这一将静止改为运动的描述方式解决了初等数学的研究瓶颈——非定义域中的点的研究问题。因为趋近表示无限靠近但永远不等于，这样在初等数学中无法描述和研究的非定义域中的点也可以进行进一步描述和研究了。

1.2 通过直观实例引出极限概念

在函数极限教学中，利用函数图形或者生活中的实例引出概念，有利于激发学生的学习兴趣。通过教师的引导帮助学生从对极限的感性认识上升到理性认识，从而达到建立极限这一新概念的目的。

图的图形

当引出极限概念后又可以通过具体函数图形，从图形上观察自变量的变化对函数值变化的影响，让学生学会当自变量按某种方式趋近时函数的极限值，即通过从一般到特殊，进一步帮助学生理解函数的极限概念。这种通过具体例子，先从特殊到一般再从一般到特殊的方式，符合人们的认知规律，更利于学生接受极限这样的抽象概念。

1.3 整合教材内容，讲好六种趋近方式

几乎所有教材都分x→x0和x→∞两种情况讲解极限的概念。但从教学经验发现，理解极限的关键是如何理解趋近方式，如对于医学生来说无需掌握ε-δ，只需讲解好x→∞、x→+∞、x→-∞、x→0、x→0+、x→0-这六种趋近方式，无需分别定义x→x0和x→∞两种情况的极限，讲好六种趋近方式就可以很好地帮助学生理解极限的概念。

需要注意的是，学生特别容易混淆x→∞和x→+∞，教师需要特别强调在没有明确方向(即符号中没有正负号时)的前提下即包含左右两个方向同时趋近，若只是单侧趋近，这之前一定会有正负号。先让学生分清六种趋近方式，强调对趋近方式的理解，为后续讲解左右极限、极限存在的充分必要条件奠定基础。

1.4 运用任务驱动教学法讲授极限概念

任务驱动教学法是利用建构主义学习理论进行教学的一种方法，它主要强调学生的自主学习和合作式学习。学生在不断解决问题、完成任务中学习，从而培养学生独立探索、勇于开拓进取的自学能力。基于此，以极限概念课程为例设计以下教学情境。

情境1：讲授极限理论发展史，展示我国古代极限成果“割圆术”，提出微积分是一种数学思想，微分即无限细分，积分即无限求和。导入新课，引出本堂课的主题，激发学生的学习兴趣。

情境2：教师提问，明确学生学习任务：A.“割圆术”中的“万世不竭”体现了什么数学思想，结合课本思考什么是极限。B.思考无限和有限的关系，极限与微积分的关系，使学生带着问题开启本堂课的学习之旅。

情境3：由学生在课堂上分组自主学习，可以自行查找资料，教师及时补充和修正学生的解决方案，协助学生完成任务，使学生在学习过程中发现问题、解决问题。

情境4：学生对研究结果进行汇报，教师对学习效果进行评价，同时激发学生联想，唤起学生的认知结构，进一步引导学生探究数学与哲学的关系，探索极限思想中蕴含的对立统一关系。

任务驱动教学法让教师、任务、学生三者融合，双边互动，形成合力，在这一过程中教师是引导者，学生是学习主体，通过问题导向法可以最大程度地激发学生的学习热情，提升学生的主观能动性。教师可以根据学生的反馈及时提问，引导学生发现问题、解决问题，自主得出极限的概念，帮助学生深入理解极限的概念。

1.5 在极限概念中融入哲学思想

2016年，全国高校思想政治工作会议中，科学回答了高校培养什么样的人、如何培养人以及为谁培养人这一根本问题，并指出要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人，从而提出了课程思政的教育理念，即将思想政治教育有机融入各类课程，把立德树人作为教育的根本任务，让各类课程与思政课程同向同行，形成合力，从而达到育人目标，由此可见课程思政的重要性，医用高等数学课程也需努力探索课程思政的育人新途径。

数学发展到了极致就是哲学，数学思想和方法本身就是辩证唯物主义的一种实践形态。在教学中可充分利用数学知识对学生进行深刻且生动的辩证唯物主义方法论的教育。事实上，数学极限概念中蕴含着深刻的哲学思想。高等数学的核心内容是微积分，而微积分中存在许多对立统一关系，例如常量与变量、近似与精确、量变与质变、整体与局部、特殊与一般、有限与无限等，而这些矛盾根源就来自极限。当人们将研究函数的方法从赋值的静止状态改变为运动的趋近方式时，才引出了极限的概念，这里面蕴含着哲学中静止与运动的关系，极限值的唯一确定性与极限过程的不确定性也是一对对立统一的关系。

例如，在讲解极限概念时，应有机融入运动与静止的关系。极限是运动的，研究的是自变量以某种趋势变化时，函数值的变化情况。初等数学中，研究函数的方法赋值运算是静止的，研究的是自变量赋予静止的特定数值，根据函数的对应关系，可得出静止的函数值情况。而运动和静止是哲学中一对辩证统一的关系，利用辩证法讲好极限概念，不仅能够帮助学生深入理解极限的概念，同时也是辩证唯物主义法在数学中的具体体现。

此外，可以在授课中巧妙地将科学文化知识和人文知识相结合，从而对学生的思维方式、道德情感、人格塑造和价值取向等方面产生积极的影响。希望学生在学习了极限概念后，能够明白人生理想就如同极限值，只要明确了目标，每天努力进步一点点，持之以恒才能不断向理想靠近，这是学完极限概念后对学生的人生启迪。

同时，可以在课堂中培养学生的科学精神，如求解极限计算时可以渗透求真务实、严谨治学的科学态度，要求学生在求解计算题时一定要遵循公式、法则进行，不能想当然，在数学解题训练过程中潜移默化地培养学生求真务实、严谨客观的科学精神。又如，在求解复杂问题时，有些学生容易放弃，此时教师应积极鼓励学生，锤炼学生锲而不舍、顽强拼搏的奋斗精神。再如，运用任务驱动法组织学生开展小组讨论，培养学生具有民主、平等、合作的人文精神。数学训练会使人养成一种坚定不移而又客观公正的品格，形成较强的规则感并且自觉尊重规则，这对于医学生来说尤为重要，可帮助其在未来的职业生涯中自觉并严格遵守规则和操作流程，使医学生具备严于律己、一丝不苟、坚定不移、客观公正的职业素养，从而达到通过数学教育提升职业素养的目的，进一步完善了育人目标，实现为国家育人、育才的目标。