Hamilton力学下框筒结构剪滞翘曲位移模式研究*

2022-04-27胡启平

应用数学和力学 2022年4期

胡启平，陈哲，周娟

（1.河北工程大学土木工程学院，河北邯郸 056038；2.邯郸职业技术学院建筑工程系，河北邯郸 056001）

引言

框筒结构是现代高层建筑结构体系最重大的发展之一，主要由沿建筑物周边布置的密柱深梁框架形成的筒体提供抗侧力.水平荷载作用下，结构中柱的轴力主要依靠深梁进行传递，由于深梁剪切变形的影响，导致同一榀框架柱中，轴力不均匀分布[1]，此即剪力滞后效应.此时，翼缘和腹板内的正应力呈曲线分布，若计算仍采用平截面假定则误差较大.采用等效连续体法分析剪力滞后效应影响下框筒结构内力时，翼缘和腹板不同翘曲位移函数的选择将直接影响求解精度，因此选择一种精度较高的位移函数显得尤为重要.学者们常选用抛物线来模拟框筒结构翼缘和腹板的翘曲位移.曾新等[2-3]分别用线性函数和抛物线模拟腹板和翼缘的翘曲位移；龚胡广等[4-6]对翼缘和腹板分别采用二次和三次曲线；金仁和等[7]介绍了三次和五次曲线；相比于框筒结构，箱梁的假设翘曲位移模式就比较丰富，如抛物线[8-9]、悬链线[10]、余弦函数[10]、指数函数和椭圆曲线[11]等.

目前，学者们对箱梁结构剪滞翘曲位移模式的对比研究较多，很少有学者进行框筒结构剪滞翘曲位移模式的对比研究.因此，将其他形式的位移模式引入框筒结构并进行精度分析是很有意义的.两者虽然有许多相似之处，但又有较大差别：横向荷载作用下框筒的腹板框架同翼缘框架一样，同样承受较大轴力，剪力滞后现象严重，箱梁则不然.

本文基于连续化方法[12]，假设翼缘翘曲位移分别按四种函数形式分布，同时对应的腹板翘曲位移用三次曲线描述，区别于常规方法，在Hamilton 力学体系中进行考虑剪力滞后效应影响的框筒结构内力求解.相比于能量变分法，本文在不同形式荷载和边界条件下，无需进行复杂的代数运算推导.借助软件编程采用精细积分法[13-16]进行求解，解出所设广义位移的高精度数值解，得到了不同位移模式下的结构侧移及柱轴力值.以此为基础，对比分析各个位移函数的精度，得出了一些有益结论，为框筒结构剪滞翘曲位移模式的选择提供参考.

1 计算模型及位移函数选择

1.1 计算模型

如图1所示，采用轴向刚度和剪切刚度等效的原则[1]，将四榀框架等效为正交异性平板，通过和等效角柱相连，围成四角处加强的悬臂薄壁筒.以形心为原点，建立图示空间直角坐标系，筒体截面关于x轴和y轴对称.腹板和翼缘的宽度分别为 2a和 2b，H为结构高度.tf和tw，Ef和Ew，Gf和Gw分别为翼缘和腹板的等效厚度、等效弹性模量和等效剪切模量，其具体计算方法可参阅文献[6-7].

图1 等效筒模型Fig.1 The equivalent tube model

为了忽略次要因素的影响，可对计算模型做出如下基本假定：1）各层楼板的平面内刚度无穷大，不考虑楼板的平面外刚度；2）地基为刚性地基；3）不考虑等效板纵向纤维之间的横向及纵向挤压变形且不考虑其平面外的剪应变.

1.2 翼缘翘曲位移函数及Lagrange 函数的推导

假设等效筒体翼缘、腹板和角柱的纵向翘曲位移沿板宽方向分布形式分别为[5]

式中，θ (z)为筒体截面的转角，ω (y)为翘曲函数，W(z)为最大纵向位移差函数，翼缘和腹板相同.选取结构侧移u(z)、截面转角θ (z)和最大纵向位移差函数W(z)作为广义位移，表述结构应变.

当翘曲函数为二次抛物线时，

当翘曲函数为余弦函数时，

当翘曲函数为悬链线函数时，

当翘曲函数为指数函数时，

根据弹性理论以及基本假定写出结构体系各部分的应变能为

式中，E为等效连续化前材料的弹性模量；Ac为角柱的截面面积，由于等效时角柱中一部分已经计入与之相邻的翼缘和腹板内，所以计算时应当扣除相邻两中柱截面面积之和的一半.

当受到沿结构高度变化的分布荷载和顶部集中力时，结构体系的外力势能可分别表示为

故框筒结构体系在横向荷载下的总势能为

将式(4)～(7)代入式(1)即可得到翼缘板不同形式的翘曲位移函数，分别将其与式(2)、(3)共同代入式(8)、(9)进行积分并求和，即可得到结构体系用选定各广义位移表示的总势能的积分表达式.框筒结构弯曲问题的Lagrange 函数即为结构的总势能密度，也就是总势能积分表达式中的被积函数，如下式所示：

限于篇幅，下面以翼缘板的翘曲函数为悬链线函数为例，推导出结构的Lagrange 函数：

式中

2 框筒结构弯曲问题的Hamilton 对偶体系

2.1 Hamilton 正则方程的导出

通过Legendre 变换，引入广义位移q的对偶变量p，p的物理意义即各选定广义位移所对应的广义力.其表达式为

由式(14)可解出

现在导入Hamilton 函数H=H(q,p)=pT−L(q,)，将式(15)代入Hamilton 函数消去，得到矩阵形式的Hamilton 函数表达式：

式中hq=0，hp=−g，且A=−21，B=K11−K1221，D=；当翼缘选择不同分布形式的翘曲函数时，由1.2 小节的分析可得相应的各Kij矩阵.其中悬链线分布形式下的各Ki j矩阵，如1.2 小节所述.

由矩阵形式的Hamilton 函数导出框筒结构弯曲问题的Hamilton 正则方程：

记

上述方程可进一步简化为如下形式：

2.2 边界条件以及Hamilton 正则方程求解

式(18)即为框筒结构弯曲问题分析的Hamilton 正则方程，该方程是关于u，θ，W这3 个广义位移以及各自对应的广义力这6 个基本变量的一阶常微分方程组.本文计算模型相当于一根承受横向荷载的箱型悬臂梁，边界条件可取为q0=0，pL=0.取区段长度为η，将结构沿高度离散为n=H/η段，再将每一区段细分为 2N微段，一般取N=20.利用幂函数展开法计算微段的区段混合能矩阵[13-14]，由于微段足够小，取前四项即可将误差排除在计算机字长外.微段两两合并N次，整合出 η长区段的混合能矩阵，计算时只考虑增量，可免除舍入误差的干扰.考虑外荷载作用，合并区段计算整个结构的混合能矩阵.以此为基础，考虑边界条件，根据两端状态向量，进一步得到各分段节点处的状态向量v[15-16].将其代入式(17)中第一式，可求得广义位移的一阶导数.

将沿层高分布的结点处的广义位移导数代入下式，即可得到高度z处翼缘和腹板的应力分布：

为得到所求柱轴力值，将应力在柱对应面域内积分.假设柱距为d，则yi处的翼缘框架柱轴力Nf、xi处的腹板框架柱轴力Nw和角柱轴力Nc分别为

3 算例分析

3.1 计算实例

采用文献[1]中算例，1/4 平面图如图2所示.结构层高 3 m，共20 层.梁截面尺寸为0 .35 m×0.8 m，中柱截面尺寸为 0.5 m×0.9 m，角柱截面尺寸为 0.9 m×0.9 m，柱间距均为 3 m.钢筋混凝土材料，弹性模量E=3×104MPa，剪切模量G=1.2×104MPa，等效剪切模量Gf=Gw=2.395×103MPa.结构工况：① 顶部P=2 000 kN 水平集中力；② 水平倒三角形分布荷载qmax=66.67 kN/m ；③ 水平均布荷载q=33.33 kN/m.本文方法的计算结果见表1和表2.

图2 算例平面图Fig.2 The plan of the example

表1 工况①下结构底层柱轴力计算值及相对误差Table 1 The axial force values and relative errors of the bottom floor column under working condition ①

表2 工况①下结构最大侧移值及相对误差Table 2 Maximum side shift values and relative errors of the structure under working condition ①

3.2 计算精度对比

文献[1]采用假设应力函数分布的方法求解，该算例被广泛对比引用.为便于比较，将文献[1]中结果于表1中一并列出，此外图3还给出了等效筒在集中荷载下翼缘底部应力与有限元结果的对比.可以看出本文结果与有限元结果分布趋势一致，吻合良好，从平均误差来看，二次抛物线吻合最好.表1和图4分别给出了工况1 下结构底层柱轴力计算值和结构的侧移曲线.从表1可以看出，本文方法的计算结果与文献结果吻合良好，大部分误差在5%以内.采用指数函数时最大误差出现在翼缘中柱位置处，这是由于指数函数为非对称函数，仅选取了其函数值在0～1 之间的部分模拟翼缘的翘曲位移，故选取的对称轴处误差较大，其余函数形式的最大误差出现在角柱位置.由图4的侧移曲线可见，选取不同函数时的侧移计算结果差别非常小，侧移值的计算对函数类型的选取并不敏感，顶部侧移的具体数值及相对误差见表2，其中指数函数的误差最小.