含非线性阻尼的2D g-Navier-Stokes方程解的一致渐近性*

王小霞

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

引 言

长期以来，对动力系统渐近行为的研究是现代数学物理最重要的问题之一，特别是对耗散动力系统来说，解决这一问题的方式之一就是分析其吸引子的存在性和结构.Navier-Stokes 方程是一类描述流体运动的典型的非线性方程，在科学和工程领域有着非常广泛的应用.而2Dg-Navier-Stokes 方程的研究最初也源于3D 薄区域上的Navier-Stokes 方程.在过去的十多年里，2Dg-Navier-Stokes 方程被国内外众多学者广泛研究，其吸引子的存在性也陆续得到证明.2001年，韩国学者Roh 和Bae 在文献[1-3]中对2Dg-Navier-Stokes 方程进行了详细分析，证明了该方程弱解的存在性和解的全局吸引子存在性.文献[4]讨论了2Dg-Navier-Stokes 方程解的全局吸引子存在性并对其维数进行了估计；文献[5]讨论了全空间上含线性阻尼的2Dg-Navier-Stokes 方程解的全局吸引子存在性；文献[6]讨论了多连通区域上2Dg-Navier-Stokes 方程解的全局吸引子存在性；文献[7-11]对2Dg-Navier-Stokes 方程的拉回吸引子进行了研究.由此可见，目前对2Dg-Navier-Stokes 方程解的全局渐近性和拉回渐近性研究成果较多，而对其解的一致渐近性研究尚不多见.本文在上述文献的基础上，在2Dg-Navier-Stokes 方程中引入非线性阻尼项c|u|β−1u，在有界区域 Ω ⊂R2和Dirichlet 边界条件下对该方程进行研究.相对于线性阻尼而言，对于非线性阻尼的情形研究难度更大，因此本文的研究工作具有一定的创新性和理论价值.

随着对2Dg-Navier-Stokes 方程研究成果的日益丰富，近年来，国内外部分学者已经开始关注2D 随机Navier-Stokes 方程和随机g-Navier-Stokes 方程的随机吸引子的问题研究[12-15].因此，本文对2Dg-Navier-Stokes 方程解的一致渐近行为进行研究，证明了2Dg-Navier-Stokes 方程在含有非线性阻尼情形下的解的一致吸引子存在性，进一步丰富了2Dg-Navier-Stokes 方程解的一致渐近性理论，也便于在此基础上在后续研究中探讨随机情形下2Dg-Navier-Stokes 方程解的一致渐近性.

在本文中，有界区域Ω ⊂R2上含有非线性阻尼的2Dg-Navier-Stokes 方程一般形式如下：

这里u(x,t)∈R2，p(x,t)∈R分 别代表速度与压力，υ>0，f=f(x,t)是 外力项，c|u|β−1u是非线性阻尼项，β≥1和c>0是 常数，0

1 预备知识

由Poincaré不等式知，在有界区域 Ω 上，存在µ1>0，使得

设空间L2(g)=(L2(Ω))2，其内积为, 范数为 |·|=(·,·)1/2，这里u,v∈L2(g)，设(g)=((Ω))2，其内积和范数分别为和这里设D(Ω)为在 Ω中有紧支集的C∞函数空间，W={v∈(D(Ω))2:∇·gv=0在Ω上}，W在L2(g)中的闭包为Hg，W在(g)中的闭包为Vg，Hg具有L2(g)的 内积和范数，Vg具有(g)的内积和范数.定义g-Laplace 算子，可将式(1)写为

定义g-正交投射Pg:L2(g)→Hg和g-Stokes 算子将Pg作用于方程(3)，可得以下弱形式：设f∈Vg,u0∈Hg，有

这里bg:Vg×Vg×Vg→R，且

则式(4)和(5)等价于下面的方程：

这里Ag:Vg→是g-Stokes 算子，且 〈Agu,v〉=((u,v))，∀u,v∈Vg；B(u)=B(u,u)=Pg(u,∇)u是双线性算子，且B:Vg×Vg→，(B(u,v),w)=bg(u,v,w)，∀u,v,w∈Vg.B和R满足下面不等式：

命题1[3]对线性算子Ag，下面结论成立：

① 算子Ag是 正、自伴紧可逆算子，其定义域

② 算子Ag存 在可数特征根 λi(i=1,2,···)且 满足0 <λg≤λ1≤λ2≤λ3≤···，这里λg=4π2m0/M0，λ1是Ag的最小特征根.此外存在相应的一组特征函数{e1,e2,e3,···}构成Hg的一个正交基.

由式(2)可得

令G(u)=PgF(u),F(u)=c|u|β−1u，则式(6)和(7)等价于

记(R,X)表示在Bochner 意义下由所有局部2 次可积函数g(s)∈X，s∈R构 成的函数空间.特别若X是自反、可分离的，则将(R,X)表示为(R,X).设f(s)∈(R,X)，若则称f(s)为 平移有界的，用(R,X)表示(R,X)中全体平移有界函数构成的函数空间.借助经典的Galerkin 方法，可得下面结论成立，证明过程与文献[16-18]类似.

定理1设f(s)∈(R,Vg′)，uτ∈Hg，且β≥1，则 式(9)、(10)存在唯一的弱解u(t)，满足

若

则式(9)、(10)存在一个强解u(t)，满足

这里Ag是g-Stokes 算子，D(Ag)是Ag的 定义域.

定义1[19]设E为Banach 空间，{U(t,τ)}={U(t,τ)|t≥τ,τ ∈R}是E上的一个双参数族算子，U(t,τ):E→E,t≥τ,τ ∈R .设 Σ 是一个参数集，如果对每个σ ∈Σ，{Uσ(t,τ)}都 是一个过程，即{Uσ(t,τ)}满 足①Uσ(t,s)°Uσ(s,τ)=Uσ(t,τ),∀t≥τ,τ ∈R； ②Uσ(τ,τ)=Id，τ ∈R.其中Id为 恒等算子，Σ 为符号空间，σ ∈Σ 为符号，则称{Uσ(t,τ)}(σ ∈Σ)是Banach 空间E中的过程族.

定义2[20]设任意的 τ ∈R和 每个B∈B(E)，都存在t0=t0(τ,β)>τ，使得这里B(E)表示空间E中全体有界集.则称B0∈E为过程族{Uδ(t,τ)}(δ∈Σ)的有界一致吸收集.

定义3[16]若每个固定的τ∈R 和每个B∈B(E)，都有 limt→∞(supσ∈Σdist(Uσ(t,τ)B,Y))=0，则 集合Y⊂E称为过程族{Uσ(t,τ)}(σ ∈Σ)的一致吸引集.

定义4[16]如果一个闭的一致吸引集AΣ⊂E包 含在过程族 {Uσ(t,τ)}(σ ∈Σ)的任意一个闭的一致吸引集中，则AΣ称 为过程族{Uσ(t,τ)}(σ ∈Σ)的一致吸引子.

定义5[21]如果对任意固定的 τ ∈R，B∈B(E)和 σ ∈R，存在t0=t0(τ,B,ε)及E的有限维子空间Em，使得有界且,∀x∈B.其中 dimEm=m,且Pm:E→Em是有界投影，则称过程族{Uσ(t,τ)}(σ∈Σ)满足一致条件(C).

设{T(h)|h≥0}是作用在符号空间上的一族算子，满足

①T(h)Σ=Σ, ∀h∈R+；

②Uσ(t+h,τ+h)=UT(h)σ(t,τ), ∀σ ∈Σ,t≥τ,τ ∈R,h≥0.

引理1[21]设 Σ为完备度量空间，且 {T(t)}是 Σ 上的一个连续不变半群，如果过程族 {Uσ(t,τ)}(σ ∈Σ)存在有界一致吸收集B，且满足一致条件(C)，则 {Uσ(t,τ)}(σ ∈Σ)在E中有紧的一致吸引子AΣ，且满足AΣ=ω0,Σ(B0)=ωτ,Σ(B0),∀t∈R .这里表示B0的 一致 ω-极限集.

定义6[17]设X为Banach 空间，若对任意的 ε>0，存 在 η>0，使得则称φ ∈(R,X)是 正规的，记(R,X)中 所有的正规函数构成的集合为(R,X).■

引理2[17]如果 φ0∈(R,X)，则对任意的 ε>0 和成立，其中r>0为 常数.这里H(φ0)是 {φ0(t+h)|h∈R}在(R,X)中的闭包.

2 含非线性阻尼的2D g-Navier-Stokes 方程解的一致渐近性

设有固定外力f0∈L2n(R,Hg)，令f0(s)=f0(·,s)在(R,Hg)中 满足正规条件，则由平移族 {f0(s+h),h∈R}所组成的函数集合一定满足正规条件.令由文献[17]的命题3.1 可知Hw(f0)是 弱紧的，且由于f0在(R,Hg)上 是正规的，可知在(R,Hg)上 一定是平移有界的.即=

定理2若对任意的uτ∈Hg和B∈B(Hg)，都有t0=t0(τ,B)≥τ，使得这里B(Hg)表示Hg中的所有有界集，则集合B0⊂Hg是过程族{Uf(t,τ)}(f∈Hw(f0))的有界一致吸收集.

证明用u与式（3）中第一式做内积，有

即∀B ∈B(Hg)，存在 t0=t0(τ,B)≥τ，有由定义2 可知，B0⊂Hg是 式(3)解的过程族{Uf(t,τ)}(f ∈Hw(f0))的有界一致吸收集.

定理3设 f ∈L2b(R,Hg)，u2∈Hg，则式(3)的解所对应的过程族 {Uf(t,τ)}(f ∈Hw(f0))在 Vg中存在有界一致吸收集 B1.

证明用 Ag与式(3)两边做内积可得

运用Gronwall 引理及 f ∈Hw(f0)得

当t≥t1时，有即对任意的B∈B(Vg)，存在t1=t1(τ,B)≥τ使得

下面证明方程（3）的解对应的过程族{Uf(t,τ)} (f∈Hw(f0))存在紧的一致吸引子.

定理4若f0(x,s)∈(R,Vg)，| ∇g|∞

证明由引理1 可知，欲证方程（3）的解对应的过程族{Uf(t,τ)}(f∈Hw(f0))存在紧的一致吸引子，只需证明过程族 {Uσ(t,τ)}(σ ∈Σ)存 在有界一致吸收集B，且满足一致条件(C)即可，由定理3 可知，方程(3)的解所对应的过程族 {Uf(t,τ)}(f∈Hw(f0))在Vg中 存在有界一致吸收集B1，所以下面仅说明过程族 {Uf(t,τ)}(f∈Hw(f0))在Vg中满足一致条件(C).

空间D(Ag)中 的一族元素在Hg中标准正交，且Awj=λjwj,∀j∈N.设Vm=span{w1,w2,···,wn}是Vg的m维子空间，是Vm在Vg中 的正交补，令Pm:Vg→Vm是正交投影，对任意u∈D(Ag)，u=u1+u2，u1∈Vm，u2∈，在Vg中用Agu2与式（9）做内积，可得

由文献[19]可知u,v∈D(Ag)，有

故有

可得

这里ci(i=1,2,3,4,5)均为常数，

对式(11)相关项估计如下:

将式(12)～(14)代入式(11)得

由Gronwall 引理：

∀ε＞0，由引理2 可知

从而 ‖u2(t0+1)‖2≤I1+I2+I3≤ε,∀t≥t,f∈Hw(f0).因此过程族 {Uf(t,τ)}(f∈Hw(f0))在Vg中满足一致条件(C).于是由引理1 结合定理2、定理3 可知，方程（3）的解对应的过程族 {Uf(t,τ)}(f∈Hw(f0))存在紧的一致吸引子AHw(f0)=W0,Hw(f0)(B1)=Wτ,Hw(f0)(B1).

3 结 论

本文研究了一类含有非线性阻尼的2Dg-Navier-Stokes 方程解的一致渐近行为，即解的一致吸引子存在性问题.在整个研究过程中，通过证明解的过程族满足一致条件(C)，得到方程解的一致渐近性成立.由于解的过程族存在有界一致吸收集，从而得到方程在Dirichlet 边界条件下解的一致吸引子存在.