基于连续近似模型的轨道交通与常规公交耦合优化设计

李欣，戴章，李怀悦，胡笳

(1.大连海事大学，交通运输工程学院，辽宁大连 116026；2.同济大学，道路与交通工程教育部重点实验室，上海 201804)

0 引言

近年来，我国各级城市公共交通线网快速拓展，多种公交模式协同发展，客运能力逐渐提高[1]。城市公共交通系统一般由常规公交网络和快速公交网络构成。城市常规公交运营成本低，站点密度高，但运行速度较慢；轨道交通运量大、效率高，但建设成本高，站点密度较低，因此，两者的耦合设计有利于提升城市公交系统的整体服务水平。然而常规公交与轨道交通存在客流竞争，多模式公共交通的复杂网络结构导致一些城市常规公交客流损失严重。基于常规公交线网与轨道线网的复杂竞合关系，两者的联合优化设计对于提高公共交通整体竞争力有重要意义。实际中，大多数常规公交线路都与轨道交通网络相互影响。然而，多模式公交的耦合优化问题较为复杂，地面常规公交往往会受城市道路环境、交通拥堵和特殊节假日等因素影响，时刻表兑现率较低，实现与轨道交通的无等待换乘存在客观阻碍。因此，目前基于快速公交(地铁、BRT)和常规公交网络的耦合优化问题研究集中在常规公共出行需求分配，发车频率优化，公交线网效率评估等宏中观层面。林颖等[2]综合考虑了乘客的不同出行需求，构建巢式Logit 模型调整公交与轨道交通线。

然而，上述研究较少考虑城市的宏观道路网络结构。Yuwei 第[3]和Daganzo[4]研究了在方格、放射状网络中的公交网络优化设计问题。徐婷等[5]研究了在矩形网格道路上快速公交与地面常规公交网络布局优化问题，通过仿真求解公交站的横、纵向线路间距。王振报等[6]针对理想方格路网构建优化模型，采用数值试验求解公交主线间距和快线站间距。Fan 等[7]采用路径选择的双层模型，在理想方格路网对双层公交线路进行设计，以实现总系统成本最小化，证明分层优化会弱化双层公交网络的优势。Li等[8]同时优化了双层(快线及慢线)公交线网和共享单车系统，证明优化公交车头时距和线/站间距可降低公交运营成本。

综上，对轨道交通和常规公交网络优化的研究大多在已有轨道线网基础上对地面公交结构及参数进行优化或调整，而鲜有研究同时实现对轨道交通和常规公交线路结构及发车频率问题的求解，且已有文献中乘客的路径选择较为单一，对复杂情况下乘客的出行规律缺乏分析以及对换乘行为的考虑。在构建多模式公交优化模型时，文献大多基于真实城市数据采用离散模型对局部交通网络结构、客流分配进行优化。然而，此类求解依赖于精确算法或(元)启发式算法，研究的道路网包含的路径和站点数量往往较小，对于较大规模的网络问题则求解难度较大。此外，离散模型通常用于解决小规模网络中的行车运营规划问题，通过引入时间窗、随机需求等研判公交网络的性质与特征，而对全网络的公交线路设计和开行方案鲜有涉猎。连续近似模型则弱化了离散模型中复杂的无规则变量对系统的影响，通过面向近似化的公交线网方案，将车头时距/站点间距等关键变量在大规模城市网络中近似连续化作为输入，优化城市公交线网的连续、整体性设计，求解所需公交交通线网宏观特征，将不规则的实际路网近似拓扑成有规律的理想网络形态，从而提升问题求解效率[9]。目前方格式交通路网在我国一些地势平坦的城市(如北京、西安、太原等)都有广泛应用，本文在近似方格路网上对轨道交通与常规公交线网进行耦合优化设计，即同时实现对线路结构及发车频率设计问题的求解以寻求整体最优，不考虑微观层面的车辆运营方案和时间窗等问题对城市多模式公交网络规划端的影响。面向公交用户的多路径选择，构建双层混合整数优化模型，以求解乘客出行距离和客流密度异质条件下的公交系统设计参数组合。最后，本文选取南京市建邺区公共交通路网进行案例分析。本文可为我国城市公交路网设计提供理论支持。

1 模型构建

1.1 优化模型

本文根据实际网络空间特点，考虑一个近似方格路网，如图1所示，地铁线分布较稀疏，常规公交线路均匀分布。路网中考虑地铁和常规公交两种交通出行方式，常规公交作为支线运输系统与地铁线路相交。地铁相邻站间距为S0，两条地铁线路之间的距离S是S0的整数倍[3]；公交相邻站间距为S2，两条公交线路之间的距离为S1。先铺设地铁网络，假设每两个相邻地铁站点之间有整数倍个公交线路，若地铁站点密度大，该整数应为0；若密度小，该整数应大于0。乘客需求在路网中均匀分布，平均客流密度为λpax·km-2·h-1。

图1 地铁-常规公交近似结构Fig.1 Bimodal transit system considering urban rail transit and conventional bus

该路网中站点可划分为6类，其中双地铁相交的轨道换乘站点为第1类站点，X轴向地铁线与Y轴向公交线相交的地铁站为第2类站点，Y轴向地铁线与X轴向公交线相交的地铁站为第3类站点，Y轴向地铁线与X轴向公交线相交的公交站为第4类站点，X轴向地铁线与Y轴向公交线相交的公交站为第5类站点，公交线与公交线相交的公交站为第6类站点。

基于上述情景描述，提出一个双层优化模型，其中，上层模型的目标是最小化系统总成本(乘客成本与运营商成本之和)，决策变量为两条公交线路之间的距离S1，公交相邻站间距S2，常规公交和地铁的车头时距Hq，q∈{lo,ex}，其中lo 为常规公交，ex 为地铁。目标函数及约束为

式中：Z为系统总成本；T为乘客的时间成本；E为运营商成本；Oq为车辆载客量；Cq为车辆容量；Hq,min为发车频率的最小值；m0,m1,m2分别为正整数，用于表示各站间距的整数关系。

式(2)为常规公交和地铁的载客量约束，式(3)为常规公交和地铁的车头时距约束，式(4)～式(7)规定了近似方格路网中各站线间距之间的整数关系，式(8)规定了乘客平均出行距离L远大于两条地铁线路之间的距离S[7]。

1.2 乘客成本

不同起终点乘客的出行成本不同，并且对属于同一OD 点对的乘客，当有多条路径可供选择时，根据Logit 分配模型进行分配，分配结果如图2所示。

图2 不同OD对路径示意图Fig.2 Illustration of route options associated with different OD groups

乘客可选的公共交通线路取决于其出发地和目的地[7]，根据各站点位置及其服务功能，将站点类型划分为6 类。乘客出发地根据其靠近的站点类型可划分为6 类，同样，目的地类型也划分为6 类。所以OD 点对(i,j)(i,j∈{1,2,3,4,5,6})共有21 类，将具有相同路径的OD点对划分为一组，可进一步分为10组，如表1所示。

表1 起终点OD分组及路径选择Table 1 Route options for different groups of OD pairs

表1中，w 代表乘客由起/终点步行至地铁/公交站点(不含绕路)；W 代表乘客步行至地铁站点；Wr代表乘客由常规公交换乘站(地铁站)步行至地铁站(常规公交换乘站)，e 代表乘坐地铁，l 代表乘坐公交。G1均为地铁站点之间的运输，故仅需1 次地铁线路的换乘则可以完成运输；G2均为起(终)点为地铁站点终(起)点为常规公交换乘站点；G3,G4内OD 对的起终点同时位于纵向/横向线路，步行至地铁站点后需两次地铁线路换乘，G4中其他路径可能性如wleW 应被舍弃，乘客在常规公交线路上的行驶距离至少为一个公交换乘站的间距[7]，G7,G8,G9,G10内OD 对的起终站点均为公交换乘站点。

乘客的出行成本包括进出站点的步行时间tm、在出发站点和换乘站的等待时间ta、车内出行时间ti和换乘惩罚ξ[3]，即

对于步行时间的计算，1,2,3类型区域乘客前往地铁站点的平均步行距离等于其在横向与纵向上的步行距离之和，取；同理，4,5,6 类型区域乘客前往常规公交站点的步行距离等于4,5,6 类型区域乘客步行至地铁站点，其平均步行距离计为；乘客由常规公交换乘站(地铁站)步行至地铁站(常规公交换乘站)，所需的平均步行距离计为

对于乘客等待时间，假设乘客平均等待时间为发车间隔的1/2，乘坐1 次地铁平均等待时间为，乘坐1 次公交平均等待时间为此外，乘客地铁间换乘、常规公交间换乘、地铁与常规公交间换乘的换乘惩罚分别记为ξee，ξll，ξle[7]。

假设乘客横向和纵向出行距离最大为L，则乘客在横向和纵向车内平均出行距离总和为L[7]。对于含ee,eee,ll 路径乘客在地铁或公交上的出行距离近似为L，对于含lWre 路径乘客在地铁上的平均出行距离近似为2L/3，在常规公交上的平均出行距离近似为L/3；对于路径eeWrl，乘客在地铁上的平均出行距离近似为L-S/2，在常规公交上平均出行距离近似为S/2。

以路径为WeeWrlw 的乘客为例，由表2可知，该乘客属于OD点对G9，W 表示起点在4或5类型区域乘客步行至地铁站点，eeWrl 表示乘坐两次地铁后步行至常规公交换乘站乘坐一次常规公交，其出行时间为

式中：Vq为公交车辆和地铁的行程速度；vq分别为公交车辆和地铁的行驶车速[7]；Sq为公交和地铁站间距，q∈{l o,ex}；为常规公交和地铁因加减速造成的每站延误时间；为常规公交和地铁每站乘客上车时间(因为下车花费时间较少)，用单个乘客上车时间τq与每站平均上车人数的乘积表示[7]，平均上车人数由该OD条件下选择I路径的概率与平均密度λ及站间距比率乘积的加权和，Kq为单位面积上车辆每小时公里数。

式中：PGk为乘客出行属于OD 点对Gk的概率，由表示，其中，P(i,j)为起点为类型i，终点为类型j的乘客的概率，即

式中：起/终点为类型i的概率pi=[7]，每种类型概率如表2所示。为Gk中选择路径I的概率，G5,G7,G8,G9中同一OD点对包含多条路径，故采用Logit分配模型进行路径选择，路径选择的概率为

表2 不同OD类型概率Table 2 Probability for different groups of OD pairs

综上，平均乘客成本为基于OD 概率，路径选择概率和各路径的出行时间的加权和，即

1.3 运营商成本

运营商成本包括线路基础设施的建设成本、站点的建设成本、基于行车里程的运营成本，以及车辆基于行车时间的运营成本[3]，即

式中：为常规公交和地铁线路基础设施的分摊建设成本；为常规公交站点和地铁站点的分摊建设成本；为常规公交和地铁车辆基于行车里程的均摊成本；为常规公交和地铁车辆基于行车时间的分摊成本；μ为乘客时间价值；Llo,Lex分别为常规公交和地铁的线路密度；Nlo,Nex为站点密度，以地铁站点为例，其路网S2面积内纵向和横向站点个数均为S S0，总个数为2S S0-1；Uq为单位面积上每小时车辆运营总时间。计算公式[7]分别为

1.4 车辆的临界容载

当地铁运行时，地铁最大载客量Oex等于总乘客行驶公里数除以总的车辆行驶公里数[8]，公式为

式中：为OD点对Gk路径I上乘客乘坐地铁的平均出行距离。

而常规公交的载客量会因站点异质性需排除快线公交设施的乘客[8]，公式为

2 求解算法

本文模型为双层混合整数优化问题，上层问题为非线性优化模型，下层为考虑依概率分配及Logit模型的路径分配问题。考虑到问题的解析形式具有非凸性，故采用混合梯度算法进行求解。上层问题采用序列二次规划算法，用凸算法对该非凸问题进行包络。下层使用MSA算法对各路径流量加权分配。算法框架如下：

(2)将初始向量X(0)带入下层模型，使用MSA进行流量迭代，迭代形式为其中，和分别为常规公交和地铁每站乘客上车时间第n次迭代后的结果。获得迭代后的向量当两次迭代结果的差值小于容忍值ε时，即，迭代过程结束；否则，继续进行新的迭代。

(3)计算PGk和，并据此获得期望的地铁和常规公交的登车/下车乘客量。

(4)松弛整数变量为连续变量，基于序列二次规划求解。

(5)获得连续初始解后，将求解结果带入下层重复步骤(1)～步骤(4)迭代。

(6)反复迭代获得近似全局优化解或全局优化解。

尽管由于问题的非凸性，上述算法难以保证最终解为全局最优，但问题的求解变量较少，通过对算例进行10 次初始值随机计算，能始终保持相同的求解结果，故可使用该近似解代表结果。

3 数值实验

3.1 案例构建

为进一步验证本文提出的多模式网络的适用性，引入南京市建邺区一个实际的地铁-常规公交网络，所选区域内所有常规公交线路和地铁线路均被考虑，建成面积为62 km2。其中地铁线网长度约19 km，公交线网长度约217 km，如图3所示。

图3 选取区域位置图Fig.3 Illustrated district of case study

据测量，两条地铁线路之间的距离为3.263 km，地铁相邻两站间距为1.727 km。由南京市2019年交通调查，南京市交通运输局公布信息，第七次人口普查数据及南京市GDP，估计区域内平均客流密度为150 pax·km-2·h-1，乘客时间价值为105元·h-1。数值算例中，将实际网络和优化网络参数后的结果进行对比，分别考虑拥堵(高峰)和非拥堵(平峰)时段，即常规公交车速分别为20 km·h-1和10 km·h-1的情况，具体参数如表3所示。

表3 参数选取Table 3 Parameter values

3.2 求解结果及敏感性分析

为研究拥堵程度和客流特征对该系统成本的影响，该部分研判了基于不同参数组合的背景下，以双模式公交的车头时距及常规公交的站点间隔为耦合优化变量，求解432种不同需求场景下的系统表现。表4和表5为在实际南京市建邺区的期望客流密度情况下，不同出行长度下系统总成本、公交及地铁发车频率和载客量、公交线间距及站间距的优化结果。结果表明：

表4 非拥堵情况下结果对比Table 4 Comparison of results under off-peak condition

表5 拥堵情况下结果对比Table 5 Comparison of results under peak condition

(1)随着出行距离的增加，系统成本、常规公交的发车频率及载客量将逐渐增大，站点密度略有降低。

(2)从表中2、3列可以看出，基于当前南京市建邺区的客流密度，在非拥堵时期，优化后的系统总成本均小于当前的实际系统成本，节省比例阈值为13.8%～18.4%，平均值为16.3%。由实际与优化结果对比可知，通过增大发车频率，减小公交站间距，适量增大线间距可以降低系统成本，提高公交服务质量。优化后，常规公交客流量向地铁转移。

(3)拥堵情况下，地铁行驶速度不变，但常规公交速度降低，因此，地铁的分担率将有所增加。假设常规公交速度为非拥堵期的1/2，比较两表数据，结论表明，在拥堵情况下，该优化方法带来的优势更加明显，节省比例为17.9%～30.8%，平均值为23.8%。在出行距离大于7 km时，拥堵情况下地铁交通的分担率较非拥堵时增加为39.1%～49.6%。

实际城市公交客流密度受多参数组合影响，为进一步研究出行距离与客流密度的二维变化对该双模式公交系统决策的影响，考虑拥堵和非拥堵场景，并对模型进行求解，对比结果如图4所示。

(1)拥堵的道路条件下所优化的公交网络节约成本效果更显著。总成本的节省比例随乘客出行距离及需求密度的增加而增加，非拥堵时阈值为12.9%～22.7%，平均值为17.1%，拥堵时阈值为17.4%～36.7%，平均值为25.4%。

(2)乘客时间成本能在一定程度上反映乘客选择公交网络的偏好以及公交系统的服务水平，故图4(b)和图4(d)分析了拥堵和非拥堵期间的时间成本节省比例。由图4发现，随着出行长度的增加，乘客时间成本节省比例逐渐升高，这表明对常规公交和地铁线网进行联合优化，可有效降低乘客的出行时间，且乘客出行距离越长，线网联合优化的优势越明显。此外，非拥堵时段下，乘客时间成本随着出行密度的增加先增加后减小，时间成本节省比例约10.5%～23.3%；拥堵情况下，时间成本节省比例约9.8%～36.9%，但对于相同出行距离，乘客时间成本随乘客密度变化不明显。

图4 系统和乘客时间成本节省率分析Fig.4 Cost-saving ratio analysis of total system cost and travel time

(3)当客流密度λ＜400 pax·km-2·h-1时，该优化方法主要通过节省乘客时间成本降低系统总成本。在该区域当前客流密度下(150 pax·km-2·h-1)，优化后非拥堵时段乘客平均出行时间由41.6 min减少至33.0 min，减少约20.6%，拥堵时段由60.9 min减少到42.9 min，减少约29.6%。

4 结论

为提升城市公共交通服务水平，增加公交出行分担率，本文对轨道和常规公交进行耦合优化设计。采用优化模型求解不同乘客出行距离和客流密度下的公交系统设计参数，可提高问题求解效率。不同于既有多模式公交网络设计的研究，本文考虑了轨道交通与常规公交的耦合关系及路径分配。

求解结果表明，常规公交和地铁耦合优化设计在中高出行距离(3～12 km)的城市更具优势，提高常规公交发车频率或减小其站间距有利于提升公交整体服务水平。同时随城市乘客平均出行距离的增加，可适当增大常规公交站点间距。该优化方法可有效降低公交乘客的出行时间，以提升公交竞争力，在非拥堵时段优化后乘客平均出行时间减少约20.6%，在拥堵时段减少约29.6%，即表明在拥堵情况下，该优化方法带来的优势更加明显。

本文对加快实现“常规公交+轨道+慢行”网络融合的城市公共交通系统有重要意义。后续研究的重点是考虑乘客需求的空间异质性，以及加入票价后对乘客成本的影响。

本文可针对以下部分进一步拓展：针对中微观层面，对双模式车辆的行车调度进一步优化；使用城市的实际数据标定并验证模型，细化模型精度；制定针对实际公交运营难题的优化策略，如优化车型选择、车辆规模、设计城市拥堵状态下的运营方式等。