高中数学圆锥曲线解答题的突破探究

2022-04-22董梦茹

高中数理化 2022年7期

董梦茹

(山东省邹平市第一中学)

圆锥曲线是高中的难点知识,相关问题在高考中以压轴题的形式出现,是拉分的重要题型.本文将圆锥曲线问题分成定点问题、定值问题、最值问题、范围问题这四大类型,讲解各种类型问题的解题思路并展示相关习题的解答过程,供读者参考.

1 定点问题

突破圆锥曲线定点问题应做好以下工作.其一,明确圆锥曲线方程.对于未给出明确方程的题目,应运用已知条件进行求解;其二,结合题意巧妙地设直线方程,并与圆锥曲线方程联立;其三,借助根与系数的关系找到点的坐标之间的关系,尤其注重运用已知条件,求出所设的参数,判断直线是否过定点.

例1已知抛物线方程为y2＝4x,直线l和抛物线交于不同的A,B两点,其中O为坐标原点.

(1)若直线l过焦点,求的值;

2 定值问题

突破该类问题的思路如下.其一,在明确圆锥曲线方程的基础上,将其和直线方程联立,构建交点和方程系数之间的等式方程;其二,采用坐标表示出要求解定值问题的表达式;其三,对表达式进行整理,求得无关参数的值.

例2已知抛物线C:y2＝2px(p＞0)和直线＋4＝0相切.

(1)求该抛物线的方程;

(2)在x轴正半轴上是否存在一点M,过M的直线l和C交于A,B两点,使得为定值,若存在,求出点M的坐标和定值;若不存在,说明理由.

3 最值问题

突破圆锥曲线最值问题可考虑采用如下思路.其一,认真审题,即要注重已知条件的应用,然后借助几何关系挖掘隐含条件,构建相关的等式方程;其二,通过联立直线与圆锥曲线方程,表示出要求解最值的表达式,运用构建的等式方程进行参数的代换,而后运用函数或不等式知识求解出最值.

例3已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆C于M,N两点,且△F2MN的周长为8.

(1)求椭圆的方程;

(2)过点P(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆C于A,B两点,求弦长|AB|的最大值.

(1)椭圆C的方程为＋y2＝1(求解过程略).

(2)根据题意可知|m|≥1.

综上,当m＝±1时,|AB|＝;当|m|＞1时,|AB|的最大值为2,因此,|AB|的最大值为2.

4 范围问题

求解圆锥曲线范围问题时可采用以下思路.其一,遇到直线与圆锥曲线问题,首先应将两个方程联立,找到交点与方程系数之间的等式关系;其二,对给出的条件进行巧妙转化,在这里应注重运用平面几何中的相关定理,构建另一等式方程.通过参数之间的相互代换,找到要求解参数的取值范围,为保证结果的正确性,解题的过程中尤其注重隐含条件的应用.

例4已知椭圆的一个顶点A(0,-1),焦点在x轴上,若右焦点到直线x-y＋＝0的距离为3.

(1)求椭圆的方程;

(2)设椭圆和直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M,N,当|AM|＝|AN|时,求m的取值范围.