对于一类数列新问题——奇数列、偶数列的探讨

邓超群 崔亭亭

(湖北省襄阳市第三中学)

新高考模式下,任何知识模块都有可能作为压轴题.这就导致有些知识考查难度上升,比如数列中出现对奇数列、偶数列问题的考查.在2021年(新高考第一年)的试题中,我们关注到全国Ⅰ卷解答题第17大题,它是一个涉及数列的奇数列、偶数列通项及前n项和的问题.这种细微的变化也让我们看到了新高考试题的创新与探索,它在考查学生逻辑推理的基础上,更注重思维品质的塑造.本文以2021年全国Ⅰ卷第17题为切入点,研究数列的奇数项、偶数项通项公式及求和.

1 对标新课标

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》对数列提出如下要求.

1)通过日常生活中的实例,了解数列的概念和几种简单的表示方法:列表法、图像法、通项公式表示法等,了解数列是一种特殊函数.

2)通过实例,理解等差数列、等比数列的概念,探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应问题.体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系.

由此我们不难发现,在具体的问题情境中,把问题转化为等差数列、等比数列是关键.2021年全国Ⅰ卷第17题对于奇、偶混合型递推关系的数列问题,完全对标了标准里的这个要求,对学生的理解能力、数学抽象能力、逻辑推理能力、符号语言表达能力等优秀品质提出了更高的要求.本文力求通过数列奇、偶项的探讨,提升学生的思维品质.

2 对标新高考真题

例1(2021年全国Ⅰ卷17)已知数列{an}满足a1＝1,且

(1)记bn＝a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;

(2)求{an}的前20项和.

(1)由题设可得b1＝a2＝a1＋1＝2,b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5,又a2k＋2＝a2k＋1＋1,a2k＋1＝a2k＋2,(k∈N*),故a2k＋2＝a2k＋3,即bn＋1＝bn＋3,即bn＋1-bn＝3,所以{bn}是首项为2,公差为3的等差数列,故bn＝2＋(n-1)×3＝3n-1.

(2)设{an}的前20项和为S20,则S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20,因为a1＝a2-1,a3＝a4-1,…,a19＝a20-1,所以S20＝2(a2＋a4＋…＋a18＋a20)-10＝2(b1＋b2＋…＋b9＋b10)-10＝2×(10×2＋3)-10＝300.

本题在考查学生阅读理解能力的基础上,还考查学生的数学符号语言表达能力、逻辑推理能力.求解这种较复杂的混合型递推关系,需要先找到相邻两个奇数项的递推关系式,或相邻两个偶数项的递推关系式,把问题转化为研究奇数列和偶数列的规律.在第(2)问中,利用奇数列、偶数列之间的关系巧妙求和.由于求和项数不是特别多,学生可能会跳过找规律,选择逐项累加完成求和.

3 对标关键能力

数列求通项关键在于找相邻两项的递推关系式.如果没有相邻两个自然项的递推关系式,找相邻奇数项或偶数项的递推关系式也是可以的.例1中相邻两项递推关系式是有定义域要求的,这里的n分奇、偶讨论,考查学生的阅读能力和理解能力.教师可引导学生通过适当变形,找出相邻两个奇数项或偶数项的递推关系式,采用分奇、偶两大组讨论来研究通项,还可深入挖掘如何求{an}的前n项和Sn,让学生的思维能力再上一个台阶.

例2例1 中其他条件不变,求{an}的前n项和Sn.

由bn＝3n-1,可得

当n为偶数时,有

奇偶混合型数列求和分两步完成:第一步先求n为偶数时的前n项和,此时奇数列、偶数列项数各一半,均为,分奇、偶两组求和.第二步再求n为奇数时的前n项和,利用Sn＝Sn-1＋an,此时n为奇数,n-1为偶数,Sn-1可巧妙利用n为偶数时的前n项和公式.注意检验n＝1时公式是否成立.此题在例1的基础上提高了难度,将前20项和改为前n项和,与原题相比项数不确定,学生无法逐项累加得出正确答案,从探究问题本质的角度看,拓展后的问题更能激发学生的求知欲望,也更能触及问题的本质.

4 对标必备素养

在解决实际问题的过程中哪些情况下我们需要对数列分为奇数列、偶数列分析呢? 通过归纳和整理,我们发现出现下列情况需要分类研究奇数列、偶数列.

1)数列中连续两项和或积的问题an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n).

2)表达式中涉及周期性问题,例如出现(-1)n或cosnπ等.

3)下标有明显的奇偶性,例如{a2n},{a2n-1}.

4)已知条件中明确奇数列、偶数列问题.

解决方法若遇到第1)种情况,我们需要把n换成n-1,找出相邻两个奇数项或偶数项的递推关系式,进而求出通项公式,求解时,要注意首项和定义域的变化.

若遇到第2)种情况,一般以一个周期为研究单元,把问题转化为找相邻两个单元之间的递推关系式.其本质还是找相邻两项递推关系式,尤其是含有(-1)n的表达式,一般分奇、偶讨论.

若遇到第3)种和第4)种情况,直接找相邻两个奇数项或偶数项的递推关系式,进而求出通项公式.此外,当我们没有思路时,还可以对数列进行列举,通过枚举法来发现规律,归纳出奇数项、偶数项的通项公式.

涉及奇数列、偶数列前n项求和问题一般分奇、偶两大组讨论,分组转化求和.注意最终结果能否合并,若能合并为一个表达式最好,若不能合并则用分段函数表示.

5 对标实践创新

下面给出练习题,对上述总结的要点进行具体应用,检测学生对求奇数列、偶数列通项公式及前n项和的逻辑推理过程是否领会到位.

例3 已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且a2n＝4Sn-2an-1.

(1)求an,Sn;

(1)由原式可得4Sn＝a2n＋2an＋1,当n＝1时,4a1＝a21＋2a1＋1,即a1＝1;当n≥2时,

又因为an＞0,则an＋an-1＞0,所以an-an-1＝2,所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,则

所以an＝2n-1,Sn＝n2.

(2)由题意可得

即数列{bn}的前8项和T8＝38.

例4已知f(x)＝sin(ωπx)cos(ωπx)-2sin2(ωπx)＋1(ω＞0),其最小正周期为1.

(1)求ω及f(x)的解析式;

(2)若f(x)＝1在区间(0,＋∞)上的根按从小到大的顺序依次记为a1,a2,a3,…,an,求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.

因为f(x)的最小正周期为1,所以＝1,即ω＝1,f(x)＝2sin(2πx＋).

当n＝1时,符合上式,所以

例5对于正项数列{an},定义Gn＝为数列{an}的“匀称”值.

(1)若数列{an}的“匀称”值Gn＝n,求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{an}的“匀称”值Gn＝2,设bn＝求数列{bn}的前n项和Sn.

(1)由题意可知

当n≥2时,有

①-②可知nan＝2n-1,所以

当n＝1时也符合上式,故an＝(n∈N*).

(2)同(1)可得an＝(n∈N*),且

当n为偶数时,有

当n为奇数时,有

(完)