二元差分域上一阶差分方程的多项式解*

关新雨，侯庆虎

（天津大学数学学院，天津 300350）

0 引 言

1 差分方程σ(f)±f=g的多项式解

1.1 σ(f)±f=g的多项式解存在的性质

1.2 σ(f)±f=g的多项式解的次数

2 差分方程aσ(f)+bf=g(deg a＞0，deg b＞0）的多项式解

2.1 差分方程多项式解存在

2.2 差分方程多项式解不存在

定理3和定理4只给出了aσ()f+bf=g存在多项式解时的性质，差分域（F(α，β)，σ）上并不是所有的差分方程aσ()f+bf=g都存在多项式解，下面例4就是多项式解不存在的一个简单例子.

例4差分方程σ(f)+f=α2的多项式解不存在，具体如下：

a=1，b=1，由定理2，若此差分方程存在多项式解，那么一定存在次数为2的多项式解.因方程右边为二次齐次多项式，故f应该是二次齐次的，设f=c1α2+c2β2+c3αβ，待定系数法求多项式f的各项系数c1、c2、c3，即

此方程组无解，差分方程多项式解不存在.

同样地，βσ(f)+ αf=α2，(α+β)σ(f)+βf=α2也不存在多项式解 .表明，差分域（F(α，β)，σ）上差分方程aσ()f+bf=g存在多项式解的条件仍需进一步研究.在用待定系数法求解多项式解各项未知系数时，可用矩阵方程理论中系数矩阵与增广矩阵有相同的秩这一充要条件判断多项式解是否存在.

3 应用及符号求和

利用这类差分方程的多项式解和伸缩法，计算斐波那契序列与Apéry数的不定和，重点计算了斐波那契数列的求和.本节采用的方法需要选取恰当的a、b，求得对应差分方程aσ(f)+bf=g的多项式解，得到关于Fk、Fk+1或Ak、Ak+1的不定和，优越性在于只需求得特定差分方程的多项式解，便可直接得出求和结果.具体如下：

3.1 方程式（9）应用

3.2 方程式（10）应用

3.3 方程式（11）应用

3.4 符号求和

4 结束语

Karr考虑差分域（F，σ）的延拓（F(t)，σ），满足一阶（非齐次）递推的序列可用该模型来描述.本文引入二元差分域(F(α，β)，σ)，σ是域F(α，β)上满足σ(α) =β，σ(β)=uα+vβ的域同构，其中u、v≠ 0，来描述满足二阶线性递推关系的序列.因为差分方程的有理解通过估计万有分母可转化为多项式解，所以研究差分域(F(α，β)，σ)上差分方程的多项式解是研究其有理解、超几何解等的基础.后续将继续研究一般差分方程aσf+bf=g的多项式解次数上界，以及一般情形（dega≠0，degb≠0）的应用.