一道三角竞赛题的多解探究与推广

张艳娜 王树文

(1.北京汇文中学朝阳垂杨柳分校 2.北京市日坛中学)

三角函数是高中数学中重要内容,在历年的高考、校考(强基)、竞赛中占有重要的地位.三角公式多,变换灵活多样,既有通式通法,也有独辟蹊径,有些题目更具有一定的规律性,本文通过一题、揭示一类正弦二次齐次式的求值的变换方法与推广.

题目sin2100°-sin50°sin70°＝_____.

1 多解探究

1.1 公式法

解法1公式法1

当然,也可以都化为余弦,过程略有不同.此时有

第一个式子降幂后得到20°的角,正好是后面70°和50°角的差,这样,很自然想到利用两角和差公式进行化简,是常规思路.

解法2公式法2

利用二倍角正弦的降幂公式、积化和差公式,将高次化为低次,进行同级加减化简,也是化简三角式的常规方法.

1.2 构造法

解法3构造三倍角

根据三角式与角的特征利用三倍角公式sin3α＝4sinαsin(60°-α)sin(60°＋α)构造特殊角化简.

解法4构造对偶式

设a＝cos210°-sin50°sin70°,b＝sin210°-cos50°cos70°,则a＋b＝1-cos20°,a-b＝cos20°-相加得a＝

在数学竞赛中,类似sin10°sin50°sin70°这样的式子,有三种思路可以化简:第一种利用三倍角公式sin3α＝sinαsin(60°-α)sin(60°＋α)构造特殊角,进行化简运算;第二种化为余弦,构造二倍角公式化简;第三种化为对偶式进行运算.

解法5构造三角形

如图1所示,由

图1

结合图形可得

从而原式可化为

2 变式欣赏

3 推广到一般

在图2 所示的△ABC中,只要α是特殊角均可求得sin2(α＋β)-sinβ·sin(2α＋β)的值,其值为sin2α.

图2

本文通过求解一个正弦的齐次求值问题,根据关系式与角度特征,既能灵活应用三角公式求值,又能通过构造完成求解,同时由特殊推广到一般,体现了一题多解思路以及数形结合思想.

通过对此题的挖掘,我们对三角函数求值的方法进行更深入的思考,既可以从代数角度—“角的转化”,也可从几何角度—“形的构造”解决问题,进而由特殊探究推广到一般结论,发现新方法,解决新问题.

(完)