考虑土塞效应的分数阶导数描述的黏弹性饱和土中部分外露管桩扭转振动*

余春春 傅 敏

(浙江建设职业技术学院建筑工程学院， 杭州 311211)

在地震等动态荷载作用下，建筑结构特别是建筑基础通常会遭受破坏而导致建筑物的倒塌，随着桩基特别是管桩在建筑工程、海洋工程等领域的应用，有关桩基振动特性的研究就显得特别重要。从20世纪70年代以来，众多学者针对实芯桩的振动问题开展了较为系统的研究[2-7]，这些成果为桩-土动力相互作用的研究奠定了基础。近二三十年来，随着管桩技术的发展和管桩的不断应用，针对桩芯土-管桩-桩周土动力相互作用的研究逐步成为研究的热点。将土体视为单相介质，Ding等得到了瞬态集中荷载作用下管桩振动的时域解析解[8]；刘林超等将管桩、桩周土和桩芯土看作一个整体，基于轴对称模型和桩-土接触面连续性条件给出了管桩竖向振动的解析解[9]；沈纪苹等运用初参数法和传递矩阵法得到了管桩的水平振动，给出了管桩桩顶的水平动力阻抗[10]；郑长杰等基于一维欧拉-伯努利梁模型，从土体三维波动方程出发对黏弹性地基中管桩的水平振动响应进行了理论研究[11]。然而这些研究都认为桩芯土体完全充满管桩，是一种较为理论化的模型。在成桩过程中，会在桩端形成一定高度的土塞，也就是说，桩芯土并不是一定完全充满管桩的，针对土塞效应的影响，吴文兵等在考虑土塞效应和横向惯性效应的情况下研究了管桩-土体纵向动力相互作用问题，得到了任意荷载形式下管桩桩顶速度频域响应的解析解以及半正弦脉冲激励作用下桩顶速度时域响应的半解析解[12]，吴君涛等考虑桩身三维效应的情况下得到了大直径薄壁管桩-桩端土塞纵向耦合振动的解析解答及其时域内半解析解[13]。总结以往针对实芯桩和管桩振动特性的研究，除了很少考虑土塞效应外，大多情况下也没有考虑土体黏滞性的影响而是将桩周土桩芯土都视为弹性介质，对于以黏土为主的地基，其黏滞性效应的影响不应被忽略。同时，对于长江三角洲、珠江三角洲等地区以及海洋平台桩基础，还需要考虑液相对土体的影响，因此在一些工程中将桩周土和桩芯土视为饱和黏弹性两相介质更为符合工程实际[14]。为此，将在考虑土塞效应和桩周土桩芯土黏滞性的情况下，采用分数阶导数描述的黏弹性饱和土模型刻画土体的力学行为，研究考虑土塞效应的黏弹性饱和土中部分外露管桩的扭转振动问题。

1 位移形式表示的分数阶导数黏弹性饱和土扭转振动方程

针对图1所示的饱和土中部分外露管桩的扭转简谐振动进行研究。为了克服Biot饱和土理论和经典黏弹性理论存在的缺陷，构建了基于多孔介质理论和分数导数表达的黏弹性饱和土扭转振动模型和控制方程。桩周饱和土和桩芯饱和土采用多孔介质理论进行描述，相应的动量方程和体积分数方程为[15]:

图1 饱和土与部分外露管桩的扭转动力相互作用模型

(1)

其中TS=TSE-nSpI,TF=TLE-nFpI

pF=-pS=pgradnF+pLE

nS+nF=1

式中：TSE、TLE为固相土骨架有效应力张量、液相有效应力张量；nS、nF为固相、液相的体积分数；p为有效孔隙水压力；I为单位矩阵；uS、uF为固相、液相的位移矢量；pLE为额外数量；ρS、ρF为固相、液相的表观密度；bS、bF为固相、液相的外部加速度；文中计算将忽略不计TF。

采用分数阶导数黏弹性模型刻画固相土骨架应力和应变关系，应满足[16]：

(λSεSI+2μSεSI)

(2)

固相土骨架应变-位移张量εS满足:

(3)

为简化计算，这里采用薄层法求解桩周饱和土和桩芯饱和土的扭转振动，为此将桩周饱和土视为带一半径为rO圆孔的无限大薄土层，桩芯土视为半径为rI的薄土层，各土层之间互相独立，忽略径向位移和竖向位移的影响，仅考虑固相和液相的环向位移，且与z、θ无关。在轴对称坐标系，由式(1)～(3)可得：

(4a)

(4b)

(4c)

由式(4)并考虑分数阶导数的性质可得以位移表示的分数阶导数黏弹性饱和土的扭转振动方程为：

(5)

(6)

2 基于薄层法的桩周饱和土和桩芯饱和土扭转振动求解

针对图1所示的桩周饱和土和桩芯饱和土，由式(5)、(6)分别建立其扭转振动方程为：

(7a)

(7b)

(8a)

(8b)

考虑桩周饱和土无穷远处位移为零和桩芯饱和土在管桩轴线处位移为有限值。由式(8a)和式(8b)可得：

(9a)

(9b)

式中：K(*)、I1(*)分别为第1阶第二类和第一类变形Bessel函数；AO和AI为待定系数。

设桩周饱和土、桩芯饱和土与管桩接触面处无量纲位移为1，则可以确定待定系数AO和AI，进而可得：

(10)

(11)

由式(4c)、式(10)和式(11)可得产生单位环向位移时桩周饱和土和桩芯饱和土的剪切应力为:

(12)

(13)

式中：K2(*)、I2(*)分别为2阶第二类和第一类变形Bassel函数；G为土的剪切模量。

对于图1所示的部分外露饱和土中的管桩，在L1段桩周饱和土和桩芯饱和土同时对管桩有作用，在L2段只有桩周饱和土对管桩有作用，在L3段没有土体的作用。由此可以得到产生单位环向位移时单位厚度土体对L1段和L2段的扭转作用分别为:

(14a)

(14b)

式中：kθ1、cθ1、kθ2、cθ2分别为L1、L2段桩周饱和土和桩芯饱和土等效扭转Winkler弹簧-阻尼器的刚度系数和阻尼系数。

3 分数阶黏弹性饱和土中部分外露管桩扭转振动求解

考虑桩周饱和土和桩芯饱和土对L1、L2、L3段的作用，可以建立各段管桩的无量纲形式的扭转振动方程分别为：

(15)

式中：θ1p、θ2p、θ3p分别为L1段、L2段和L3段管桩的扭转角；Gpp和ρpp为管桩桩身的剪切模量和密度。

解得扭转角：

(16)

式中：A1、A2、A3、B1、B2、B3为待定系数。

由式(16)可得各段桩身扭矩与扭转角的关系为:

(17)

从下往上依次运用初始参数法，可以得到L1、L2、L3段管桩桩顶扭矩和扭转角与桩底扭矩和扭转角的关系分别为[17]：

(18a)

(18b)

(18c)

其中

对饱和土中部分外露管桩各段运用传递矩阵法，最终可以得到管桩桩顶与桩底扭矩与扭转角的关系为：

(19)

当桩的入土深度达到一定长度时桩底约束条件对桩振动特性的影响不大，这里假定管桩桩底与基岩完全固接，则有θ(0)=0。再由管桩桩顶复刚度的定义和式(17)可得到管桩桩顶的扭转复刚度为：

(20)

4 参数影响分析

通过桩顶扭转刚度因子Kθ和等效阻尼系数Cθ研究管桩和土体的材料力学性质参数和几何参数等对考虑土塞效应的分数阶黏弹性饱和土中部分外露管桩扭转振动的影响。对于分数阶导数黏弹性模型中有关土体参数的确定可以通过土体蠕变试验拟合得到相关参数，结合实际工程中相关参数的取值范围，管桩、桩周饱和土、桩芯饱和土相关参数取值为：rI=0.5,αO=αI=2,L1=5,L2=20,L3=5,G=1,Gp=1 000,ρp=2.5,ρ=1,s=1,τ1=τ2=1,Sov=0.05,ρO=ρI=2,TO1=15,TO2=10。考虑本构关系式(2)以及分数阶导数的性质，分数阶导数黏弹性的解可退化到经典黏弹性和弹性解的情况。为了验证分析结果的正确性，图2给出采用分数阶导数黏弹性、经典黏弹性和弹性三种模型得到的扭转刚度因子和等效阻尼系数。很明显，分数阶导数黏弹性模型的解介于经典黏弹性模型和弹性解之间，并且可以退化到经典黏弹性模型和弹性解，可见分析方法的正确性。从中可以看出：桩顶扭转刚度因子和等效阻尼系数随频率的变化曲线存在波峰和波谷，系统存在共振现象。同时还可以看出：在无量纲频率rOω/vOs=8.0附近存在一个突变点。从图2可以看出：采用分数阶导数黏弹性模型时扭转刚度因子随频率变化曲线存在突变点，而采用经典黏弹性模型时等效阻尼系数随频率变化曲线存在突变点，而弹性解不存在突变点。从图3可以看出随着分数阶导数的增大突变点也会消失。由此可见，突变点的出现可能与考虑土体黏滞性和采用的黏弹性本构模型以及土体模型参数有关。

a—扭转刚度因子; b—等效阻尼系数。分数导数黏弹性模型； 经典黏弹性模型； 弹性模型。

a—扭转刚度因子; b—等效阻尼系数。 αO=αI=0.1； αO=αI=0.4; αO=αI=0.7; αO=αI=1.0。

图4～8给出了管桩和饱和土的材料力学参数对考虑土塞效应的分数阶黏弹性饱和土中部分外露管桩扭转振动的影响曲线。饱和土模型参数αO、αI、TO1、TO2对分数阶黏弹性饱和土中部分外露管桩的扭转刚度因子和等效阻尼有较大的影响(图3～5)，且分数阶导数的阶数αO和αI越大，扭转刚度因子和等效阻尼越小，并逐渐逼近经典黏弹性模型(αO=αI=1)的解；桩周饱和土和桩芯饱和土黏性的影响见图4、图6，当TO1增大TO2减小时，桩周饱和土和桩芯饱和土对管桩的作用力增大，桩顶位移减小，所以管桩的扭转刚度因子和等效阻尼增大，可见研究管桩振动时不能忽略土体黏滞性的影响。相较于经典黏弹性模型，分数阶导数黏弹性模型的工程应用范围更广一些。

a—扭转刚度因子; b—等效阻尼系数。TO1=15; TO1=20; TO1=25; TO1=30。

a—扭转刚度因子; b—等效阻尼系数。TO2=2； TO2=4； TO2=6；TO2=8。

a—扭转刚度因子; b—等效阻尼系数。τ1=1.2； τ1=1.4； τ1=1.6； τ1=1.8。

a—扭转刚度因子; b—等效阻尼系数。τ2=0.2; τ2=0.4; τ2=0.6; τ2=0.8。

a—扭转刚度因子; b—等效阻尼系数。s=0.1； s=1.0； s=10。

a—扭转刚度因子; b—等效阻尼系数。Gp=2 000； Gp=2 500；Gp=3 000； Gp=3 500。

尽管饱和土的材料力学参数对管桩扭转振动有较大影响，但管桩桩芯饱和土和桩周饱和土性质(黏性和液固耦合系数)的差异对管桩几乎没有影响(图6～8)，因此在研究部分土塞部分外露管桩扭转振动时可以不考虑桩芯土塞部分与桩周饱和土性质差异的影响，认为桩周饱和土和桩芯饱和土性质一样来处理，但不能忽略桩芯饱和土的影响。管桩和土体剪切模量比G对考虑土塞效应的分数阶黏弹性饱和土中部分外露管桩扭转振动的影响较大，剪切模量比G越大，也即管桩的剪切模量越大，管桩的扭转变形越小，扭转刚度因子和等效阻尼系数随频率变化曲线的峰值越大，峰值对应的频率也越大。管桩几何性质参数对考虑土塞效应的分数阶黏弹性饱和土中部分外露管桩扭转振动的影响相较材料力学性质参数的影响要大得多，由图10～13可以看出：l1、l2越大，相当于埋入部分和土塞部分长度越大，虽然饱和土对管桩的约束作用增大，管桩扭转角越小，但由于此时管桩较长，管桩桩顶环向位移越大，所以管桩的扭转刚度因子和等效阻尼系数越小。由于外露部分管桩长度l3相对较短，其对管桩扭转刚度因子和等效阻尼系数随频率变化曲线的影响相对于l1和l2的影响要小，对峰值对应的频率有较大的影响，l3越大峰值对应的频率越小；另外，当管桩不外露(l3=0)时，扭转刚度和等效阻尼系数最大，这是因为此时的桩顶扭转角相对较小。管桩内外半径比(壁厚)的影响如图13所示，可以看出：管桩内半径越大，管桩的扭转刚度因子和等效阻尼系数越小，这是由于此时管壁较薄，扭转产生的桩顶环向位移较大，同时曲线局部开始出现轻微的波动。可见在设计中，如果需要考虑管桩的扭转振动时，管壁的厚度对扭转振动的影响较为敏感。

a—扭转刚度因子; b—等效阻尼系数。l1=5； l1=10； l1=15； l1=20。

a—扭转刚度因子; b—等效阻尼系数。l2=5; l2=10; l2=15; l2=20。

a—扭转刚度因子; b—等效阻尼系数。l3=0.0； l3=1.0； l3=2.0； l3=3.0。

a—扭转刚度因子; b—等效阻尼系数。rI/rO=0.5; rI/rO=0.6;rI/rO=0.7; rI/rO=0.8。

5 结束语

为考虑管桩的土塞效应和土体的黏滞性质，基于多孔介质理论和分数阶导数黏弹性理论，运用数学物理手段和传递矩阵法等研究了考虑土塞效应的分数阶黏弹性饱和土中部分外露管桩的扭转振动，通过大量的参数研究和讨论，得到如下结论：

1)在考虑土体黏滞特性的情况下研究饱和土中部分外露管桩的扭转振动，受经典黏弹性模型的核函数为指数函数的限制，采用分数阶导数黏弹性模型来刻画桩周饱和土和桩芯饱和土的力学行为时模型的应用范围更广。

2)尽管桩周饱和土和桩芯饱和土性质的差异对分数阶饱和土中部分外露管桩的扭转振动的影响不大，但饱和土的黏滞性对管桩的扭转振动有很大的影响，因此在研究时可以忽略桩周饱和土和桩芯饱和土性质差异的影响，但不应忽略饱和土黏滞性以及桩芯饱和土等的影响。

3)管桩尺寸等几何性质的影响对考虑土塞效应的分数阶黏弹性饱和土中部分外露管桩扭转振动的影响非常大。另外，管桩壁厚对管桩扭转振动的影响十分敏感，在设计时需要重点考虑。