一类半线性分数阶反应扩散方程解的整体存在性①

彭红玲，樊明书

西南交通大学 数学学院， 成都 610031

随着科学的发展， 经典Laplacian方程Δu=0不适合生活中很多复杂的物理问题， 特别是大范围不规则的扩散现象， 由此人们提出了分数阶Laplacian算子． 从概率论的角度看， 分数阶Laplacian算子是稳定Lévy过程中的无穷小生成元， 是Lévy飞行过程中的尺度极限[1-2]， 它在金融数学、 概率论、 生物学等领域中有着广泛的应用[3-5]．

常见分数阶Laplacian算子的定义有3种， 根据Riesz位势给出的定义[6]、 根据傅里叶变换给出的定义[7]以及利用函数延拓给出的等价定义[8]． 本文用文献[8]中的定义．

文献[9]研究了半线性抛物方程ut=Δu+V(x)up在Dirchlet条件下的爆破， 其中Ω是RN中的光滑有界凸区域，M≥0，V是Lipschitz连续的，φ>0且φ满足相容性条件．

(1)

D={(x，y)|(x，y)∈Ω×(0， ∞)}

D的横向边界为∂LD=∂Ω×[0， ∞)， 将方程(1)化为

(2)

(3)

其中

这里

同理方程(1)的能量泛函定义为

(4)

受文献[13-16]的启发， 定义

对E(U(t))关于t求导， 得

定义势井的深度为

本文的主要结果如下：

定理2若U=U(x，y，t；U0)是方程(2)的解， 且U0∈Σ1， 则存在α>0， 使得

1 解的整体存在性

为证明定理1， 先引入引理1、 引理2， 其证明过程与文献[12]中的相关结论的证明类似， 此处省去证明．

(5)

定理1的证明．

(6)

这也与(6)式矛盾． 所以∀t∈[0，T]，un(t)∈Σ1． 由Σ1的定义， 有

(7)

即有

由(7)式， 可得

令

由引理1和I(u0)+ε0

令γ=1-δ∈(0， 1)， 则有

(8)

所以方程(1)存在整体解．

2 渐近行为

在本节中， 为证明定理2和定理3， 先引入引理3， 其证明过程参见文献[12]．

定理2的证明．

由引理3， 对∀t≥0， 有H(U(t))≥0． 则

(9)

由分数阶Sobolev迹嵌入不等式， 有

(10)

(11)

在(11)式中， 对任意的T>t0， 由Hardy不等式[18]有

(12)

所以， 当t∈[t0，T)时， 结合(9)式和(12)式有

(13)

由(10)式知， 当t∈[t0， ∞)时， 有

(14)

结合(9)式和(14)式可知， 当t∈[t0，T)时， 有

(15)

由(13)式和(15)式可知

(16)

及

定理3的证明对任意序列tn→∞， 令Un=U(x，y，tn；U0)． 由于自反巴拿赫空间的有界序列都是弱紧的， 所以存在一个序列{Un}和函数U， 使得

令测试函数

(17)

对(17)式等号左边第二项用分部积分法， 结合ρ(0)=ρ(1)=0， 令δ=t-tn， 得

(18)

‖U(tn+δ)-ωδ‖Lp+1(Ω×{0})→0 ‖U(tn)-ω‖Lp+1(Ω×{0})→0

下证在Ω×{0}中几乎处处有ωδ=ω． 结合能量等式和Hölder不等式， 当tn→∞时， 有

因为0≤δ≤1， 当tn→∞时， 有‖U(tn+δ)-U(tn)‖L2(Ω×{0})→0， 即在Ω×{0}中几乎处处有ωδ=ω． 重新整理(18)式， 可得

(19)

由勒贝格控制收敛定理可知， 当tn→∞时， (19)式后3项趋近于0． 对第二项， 有

故U(tn)在弱意义上趋近于一个稳定解．