“三角函数的图像与性质”的课堂教学设计与比较反思

邓迎春

[摘  要] 新一轮的课改使一线教师面临了更多选择和思考，针对“三角函数的图像与性质（第一课时）”这节课，在不同的教材版本、不同的主题背景下，教师进行了个性化的教学演绎，研究者对其进行了整理、比较、反思.

[关键词] 教学设计;主题教学;比较反思

2019年11月21日，笔者应邀参加常州市北郊高级中学开展的以“聚焦课堂追问，提升教学效能”为主题的四校同题同构课堂教学展示活动，执教“三角函数的图像与性质（第一课时）”，采用的是苏教版必修4教材. 无独有偶，笔者在2020年12月3日首届江苏省宜兴中学“大概念教学”公开教研活动中聆听了南师大二附中张晓飞老师开设的公开课“正弦函数、余弦函数的图像”，又在2020年12月17日江阴市高级中学举办的对外公开教学活动中聆听了江苏省宜兴中学张海强老师开设的公开课“三角函数的图像与性质（第一课时）”，这两位张老师采用的均是人教A版新教材，主题背景都是“大概念教学”. 听完两位张老师的课，笔者心潮澎湃，对同一节课在不同的教材版本和不同的主题背景下进行的教学演绎也产生了一些思考. 在此不禁把自己的教学设计和课后反思整理如下，与同行共勉.

[⇩] 教学设计思路

通过“类比—探究—类比（化归）”得到正弦函数和余弦函数的图像与性质. 在“聚焦课堂追问，提升教学效能”的主题背景下，通过类比初中的一次函数、二次函数、反比例函数以及高中的指数函数、对数函数、幂函数的学习，不断设问，层层递进，寻得研究函数的一般思路，探究出正弦函数的图像与性质;再通过类比（化归）正弦函数的学习，得到余弦函数的图像与性质. 整个过程能很好地培养学生的数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养.

1. 教材分析

三角函数是中学数学的重要内容之一，是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习的基础，在数学和其他领域中具有重要的作用.

三角函數的定义是研究三角函数的基础，单位圆中的三角函数线是研究三角函数的重要工具，而三角函数的性质则贯穿了全章教材，三角函数的图像与性质是本章的重点内容也是难点内容.

2. 学情分析

本节课是针对常州北郊高级中学的平行班学生开设的，经了解，学生已做了一定的预习.

3. 教学任务

本节课的核心任务，从宏观上看，是归纳研究函数的一般方法;从中观上看，是突出研究的数学思想——数形结合思想;从微观上看，是会作出正弦函数和余弦函数的图像. 整节课以问题为驱动，学生为主体，探究为主线，数学核心素养为主位，充分展示学生自主学习和合作讨论，让学生感受、理解、思考、运用、探究、拓展，并激发学生的兴趣，提高思维水平，锻炼意志品质.

4. 教学目标

（1）能借助于正弦线画出正弦函数的图像，并在此基础上分别用类比思想与化归思想画出余弦函数的图像.

（2）能利用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图像.

（3）理解数形结合思想在研究函数时的重要作用.

（4）在探究过程中，渗透数学抽象和逻辑推理等数学核心素养.

5. 教学重难点、教学方法

教学重点：正弦函数图像、余弦函数图像的探究过程.

教学难点：用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图像.

教学方法：自主探究和合作学习.

[⇩] 教学过程设计

根据本节课的主题背景“聚焦课堂追问，提升教学效能”，结合本节课的学习内容和学生的学习特点，以“问题串”的形式，用10个问题贯穿本节课的课堂.具体问题和设计意图如下：

问题1：怎么研究三角函数的图像与性质？

设计意图：通过回忆和归纳初中的一次函数、二次函数和反比例函数，以及高中前面的指数函数、对数函数和幂函数的学习过程，将学生零散的、碎片化的研究经验加以提炼，抽象出研究函数的一般方法，帮助学生将知识、方法系统化，再学以致用，研究本节课的正弦函数、余弦函数. 在此过程中培养学生数学抽象素养，将讨论总结出来的经验当堂用于实践，充分调动学生的主动性和积极性.

问题2：作函数图像最原始的方法是什么？

设计意图：此问题应该可以说在所有学生的能力范围内，从“小而易”的问题出发有助于充分加强全班学生的注意力和提升他们的自信心.

问题3：用“描点法”作出函数图像的主要步骤是怎样的？

设计意图：提出此问题，是想抽象出一个经常容易被学生忽视的问题，那就是图像都是由点构成的，要想得到宏观上的函数图像，可以先研究好图像微观上的每一个点，再得到宏观上的图像.这从宏观到微观再到宏观的研究思路也是笔者在探究一个新问题时常用的方法.

问题4：如何作出点C

，sin

？

设计意图：“描点法”是作函数图像的基本方法. 在初中，学生用的都是“代数描点法”，但在作点C

，sin

时，学生发现大家作出的点都不太一样，原因就是点C的横坐标和纵坐标都是无理数，只能估计它的大致位置，作微观上的一个点都不准确，那么最后由这些点构成的宏观上的图像就会产生很大的偏差. 那怎样才能解决这个问题呢？从而引出了问题5.

问题5：上述作法中所取的各点的纵坐标都是通过计算得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图像不够准确. 是否有其他方法来描点呢？比如是否有其他方法在平面直角坐标系中描出点C

，sin

？

设计意图：这是本节课的难点，由初中的代数描点发展到高中的几何描点（如图1所示），引导学生合作探究出三角函数“形”的定义：三角函数线.体现数形结合思想，培养学生直观想象素养.

问题6：能否借用作C

，sin

的方法，作出函数y=sinx（x∈[0，2π]）的图像呢？

设计意图：知道如何作出函数y=sinx图像上的一个点，就可以作出一系列的点. 给学生充分的时间，让学生自主探究，作出函数y=sinx（x∈[0，2π]）的图像（如图2所示），让学生亲身经历知识的产生过程，增强学生的自信心和学习热情. 在此可以借助于“网络画板”，让学生观看连续动画过程，增强视觉效果和心理冲击.

问题7：已经画出了y=sinx（x∈[0，2π]）的图像，那么如何画出y=sinx（x∈R）的图像呢？

设计意图：引导学生利用三角函数的周期性，将y=sinx（x∈[0，2π]）的图像向左、右平移（每次2π个单位），就可以得到正弦函数y=sinx（x∈R）的图像. 在此还可以利用图形计算器、计算机来作正弦曲线，给学生展现一个从部分到整体、从有限到无限的扩充过程，培养学生直观想象素养.

問题8：已经画出了正弦函数的图像（正弦曲线），那么在此基础上，能画出余弦函数的图像吗？

设计意图：正弦函数与余弦函数之间有着密切关系，借助于正弦函数图像可以先想象一下余弦函数的大致图像，再利用严格的逻辑推理来作余弦函数的图像. 首先，学生同理利用“几何描点法”，通过三角函数线描点作图，区别就是余弦线是水平的，可以通过函数y=x将水平的转化为竖直的，再作出点;其次，学生先想到的是同角三角函数关系sin2x+cos2x=1，从数的角度由正弦值求余弦值，后发现行不通，进而转化，利用诱导公式中正弦与余弦的关系cosx=sin

+x

和cosx=sin

-x

，从形的角度通过图像变换由正弦函数图像得到余弦函数图像，但是这两个诱导公式各有优劣，需要选择. 这两种方案分别体现了类比和化归两种思想，又能很好地培养学生逻辑推理素养和直观想象素养，是本节课的一个重点.

问题9：在精确度要求不太高时，如何快捷地画出正（余）弦函数的图像？

设计意图：在已知正弦函数图像大致趋势的基础上，通过观察图像，可以发现图像上起关键作用的有五个点：（0，0），

，1，（π，0），

π，-1，（2π，0）. 事实上，描出这五点后，正弦函数y=sinx（x∈[0，2π]）的图像的形状就基本确定了.因此在精确度要求不太高时，可以引导学生先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到了正弦函数y=sinx（x∈[0，2π]）的简图（如图3①所示）. 同理，找出余弦函数图像上的五个关键点，也可以得到余弦函数y=cosx（x∈[0，2π]）的简图（如图3②所示）.在此，训练学生在处理问题时可以看重点、找关键点、抓主要矛盾，培养学生直观想象素养和逻辑推理素养.

例题：分别作出下列函数的简图（用“五点作图法”）：（1）y=2sinx，x∈[0，2π]，（2）y=cos2x，x∈[0，π].

学生作图，投影展示;教师板演规范作答，并用计算机模拟标准图像. 巩固已有的教学成果，并思考y=2sinx，y=cos2x的图像分别与正弦曲线和余弦曲线之间的关系，为后面的教学作铺垫.

问题10：试着回顾本节课的探究过程，从知识、思想、方法以及数学核心素养的角度出发.

设计意图：回顾反思，提升感悟.让学生回顾整节课的流程，在回顾过程中找到自己的切身感受，再分别从知识、思想、方法和核心素养几个角度来总结反思，得到提升.

[⇩] 教学反思

1. 基于不同教材的教学设计的反思

从2019年9月到2021年7月，新高考已经实施，但新教材还没有出版，处于“三新一旧”的过渡时期. 笔者是2019年11月上的课，当时常州北郊高级中学用的仍然是之前的苏教版教材，对于“三角函数的图像与性质”这节课，苏教版必修4教材是直接先作出三角函数的图像再直观研究三角函数性质的，笔者的教学设计主要是基于该教材的;两位张老师是2020年12月份开设的公开课，当时两所中学采用的都是人教A版新教材，对于“三角函数的图像与性质”这节课，在人教A版新教材中是通过三角函数的定义和解析式y=sinx描述正弦函数图像的特征的——围绕定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等部分性质展开，并指出这些性质对研究函数图像的作用：定义域决定图像横向的范围，值域决定图像纵向的范围，周期性决定图像每隔一个周期都会重复出现（因此可以先只研究一个周期的图像），奇偶性决定y轴左右图像的对称关系. 所以这样看来，对于正弦函数的图像，只需要重点研究其在x∈[0，π]这一段即可. 这时再来看单调性，利用三角函数线得到y=sinx（x∈[0，π]）的单调性，粗略地描述图像的大致走向，有助于学生直观想象三角函数图像的整体特征.在两位张老师的课堂上，学生就是这样自主和合作探究的，这里摘取两位学生的课堂实录（如图4所示）：

其实，最后学生对正弦函数图像已有了很大程度的认识，只是对图像的凹凸性把握不准，这时再通过描点作图（手工较为准确地作出图像和计算机极其精确地作出图像），弥补学生直观想象上的不足，以达到逻辑推理的严密性，具体过程和笔者的教学设计差不多.

一个新函数的研究方案常规有两种：方案一，从下到上的研究. 即从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性（对称性）、周期性、凹凸性、极限等一系列的数的特征出发，可以得到函数的图像;方案二，从上至下的研究. 即先作出函数的图像，再“看图说话”得到函数的性质，并给以严格的逻辑证明.这里对正弦函数的研究，两本不同的教材实际上采用的就是这两种不同的方案，但有时在具体实践中，两种方案往往穿插而行，互相补充.

2021年高三很多模拟考试有一类题，如下：

（单选题）函数f（x）=（x∈[-π，0）∪（0，π]）的大致图像为（  ）

[-π][π][x][y][O][-π][x][π][O][y] [-π][π][x][y][O][-π][π][x][y][O][A][B][C][D]

解决此类题就要用到方案一.

还有一类题，如下：

（多选题）定义曲线Γ：+=1为椭圆C：+=1（a>b>0）的伴隨曲线，则（  ）

A. 曲线Γ有对称轴

B. 曲线Γ没有对称轴

C. 曲线Γ有且仅有四个对角线

D. 曲线Γ和椭圆C有公共点

曲线Γ的图像虽然不是函数图像，但是需要用到这类思想，即将方案一和方案二结合运用.

所以在以后的教学中，可以多看看不同版本的教材，结合众家之长，对同一课题进行不同的教学设计. 比如针对这节课，可以放手让学生提供研究方案，再分组进行研究，最后比较研究思路和研究结果，让学生真正地参与学习过程，提升学习动力，主动学习数学基础知识、基本技能，自觉感悟数学基本思想，不断积累数学活动经验，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析等核心素养，并逐步学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界.

2. 基于不同主题背景的教学设计的反思

主题教学是指以内容为载体，以文本的内涵为主体所进行的一种语言教学活动.围绕有意义的主题进行教学可以加速学生对新内容的内化及长期记忆.但主题教学要与课程知识点紧密耦合，主题完成的同时也要完成知识点的教学，同时推动主题深入. 笔者在常州北郊高级中学上课的主题是“聚焦课堂追问，提升教学效能”，围绕这个主题，笔者是以“问题串”的形式进行的教学设计，使学生在一个接一个的问题中层层递进地进行思考、探究，从而掌握知识、思想和方法. 整个教学过程的逻辑性、层次性很强，能很好地培养学生的逻辑推理素养.两位张老师上课的主题背景都是“大概念教学”，大概念教学是指在一个学科领域中最精华、最有价值的学科内容.开展大概念教学要跳出知识点的惯性思维，考察各知识点的本质联系，从而把大概念提取出来. 两位张老师的课中都涉及了两个大概念：（1）函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具;（2）函数作图要关注图像的基本形状（描大量的点）和具体位置（抓关键的点）.

同一节课在不同的主题背景下，学生所学到的知识、思想、方法等是大致相同的，但过程中学生所需要的精力有点差别，最后的效果还有待考证. 比如这节课，在“聚焦课堂追问，提升教学效能”主题背景下设计的问题串联的课堂，学生学习相对轻松一点，给出问题、思考问题、解决问题即可;而在“大概念教学”主题背景下的课堂，学生要么能主动地、要么在教师的引导下被动地抽象出本节课所蕴含的大概念，基础稍微弱一点的学生就有点吃力，但是如果能长期坚持下去，学生的数学抽象、直观想象等数学核心素养会提升很多. 因此，在以后平时的教学中，要多关注主题教学，而不是仅仅在公开课中才拿来说事，要常态化，打持久战.