考虑车辆过缝的车-桥耦合振动分析方法

2022-04-18许维炳陈彦江刘钧岩侯剑岭黄晓敏

东南大学学报（自然科学版） 2022年2期

许维炳王博王瑾陈彦江刘钧岩侯剑岭李岩黄晓敏

(1北京工业大学城市建设学部，北京 100124)(2哈尔滨工业大学交通科学与工程学院，哈尔滨 150090)(3昆明理工大学建筑工程学院，昆明 650031)

桥梁伸缩装置(伸缩缝)是调节桥梁温度变化引起的桥梁伸缩并参与桥梁动力响应的关键构件[1-3].由于伸缩缝使用环境恶劣，并直接承受车轮荷载的反复冲击作用，因此在使用过程中易出现多种病害，伸缩缝参数常处于变化状态[4-5].伸缩缝参数的变化会造成车-桥耦合动力响应规律显著变化.

为探究伸缩缝变化参数对车-桥耦合动力响应的影响，学者们开展了一系列研究.di Mascio等[6]通过建立伸缩缝位置处的车辆-伸缩缝三维有限元分析模型，分析了重载交通作用下伸缩缝的动力响应；结果表明，伸缩缝、桥头搭板和桥梁的竖向不平整是造成车辆冲击作用增大、伸缩缝锚固区开裂和局部构件应力过大的主要原因.Roy[7]对车辆-伸缩缝的冲击作用模拟方法进行了改进，提出了一种能够考虑车轮轨迹、中横梁间隙宽度和车辆速度影响的梯形脉冲荷载，利用有限元软件建立了伸缩缝的三维分析模型，进而对脉冲荷载作用下的伸缩缝受力、变形特点进行分析；对比实测结果指出，梯形脉冲荷载可以较好地模拟车辆对伸缩缝的冲击作用.

然而，仅考虑车辆-伸缩缝相互作用并不能充分反映伸缩缝参数对车-桥耦合动力响应的影响，考虑伸缩缝参数影响的车-桥耦合动力分析逐渐成为研究热点.丁勇等[8-9]为探究伸缩缝间隙数量对车-桥耦合振动的影响，提出了一种能够考虑伸缩缝竖向支撑刚度和阻尼效应的质量-弹簧-阻尼非耦合模型.谢旭等[10]对车辆在伸缩缝处跳车引起的车致连续钢箱梁桥振动响应进行了研究，结果表明，车辆过缝引起伸缩缝加速度响应远大于主梁加速度响应，且车辆在伸缩缝处跳车引起的车致冲击响应具有随测点与伸缩缝距离增加而衰减的特点.闫王晨[11]通过建立车-路-桥系统振动模型，探究了伸缩缝破损对桥梁冲击系数的影响，发现伸缩缝破损会导致伸缩缝附近冲击系数增大，而对桥梁其他跨无明显影响.丁勇等[12]提出一种车辆-桥梁-伸缩缝耦合振动的迭代算法，对载重汽车通过双缝模数式伸缩缝进行实例分析，结果表明，在相同车速下，轮载冲击系数与伸缩缝开口宽度成正比.侯剑岭等[13]通过现场实测指出车辆过缝时梁端所受到的冲击作用大于不过缝，在桥梁端部支座外侧设置伸缩缝会在一定程度上降低主梁的跨中位移响应，但会增加桥梁端部范围内的车致冲击响应.

鉴于此，本文结合车辆过缝过程分析和模态综合法，提出了一种能够考虑伸缩缝参数影响的车-桥耦合动力响应分析方法.

1 车-桥耦合动力响应分析方法

1.1 时变接触关系参数化

伸缩缝参数不仅包含伸缩缝中横梁刚度、支撑梁刚度、锚固区刚度等物理力学参数，也包含间隙、伸缩缝高差、锚固区不平整度等几何参数.鉴于此，对车辆过缝过程的时变接触关系参数化是开展考虑车辆过缝的车-桥耦合动力响应分析的前提.

1.1.1 等效接触力

图1给出了目前较为常用的双缝式模数式伸缩缝构造示意图.

1—支撑箱；2—边横梁压紧支座；3—边横梁；4—中横梁；5—防水密封条；6—中横梁压紧支座；7—锚固箱;8—支撑梁；9—支撑支座

结合图1的模数式伸缩缝构造形式，当车辆过缝时，伸缩缝各梁的受力与轮胎接触面积[14]密切相关.车轮过缝示意图见图2.图中，s0为缝宽；s为轮胎纵向宽度；lc为伸缩缝中横梁宽度；l0为边横梁宽度；x(t)为行驶距离.

图2 车轮过缝过程示意图

受轮胎纵向接触长度的影响，在不同的缝宽情况下车辆过缝时各梁受力分为如下2种情况：①当车轮纵向接触长度相对较小，间隙相对较大，即s<2s0+lc时，车轮可单独与伸缩缝中横梁接触；②当车轮纵向接触长度相对较大，间隙相对较小，即s≥2s0+lc时，车轮不能单独与伸缩缝中横梁接触.假设车辆与伸缩缝(桥梁)的总接触力为F，两侧边横梁的接触力分别为FBL1和FBL2，中横梁的接触力为FZL，则有

FBL1=βBL1F

(1)

FZL=βZLF

(2)

FBL2=βBL2F

(3)

βBL1+βZL+βBL2=1

(4)

式中，βBL1、βZL、βBL2分别为伸缩缝左边梁、中横梁、右边梁车轮作用力与车轮总作用力的比值，与车辆行驶位置、轮胎与伸缩缝横梁接触距离以及伸缩缝间隙等参数有关.

结合车辆过缝分析，各梁等效力分配系数见表1.表中，L为桥前距离.

表1 等效力分配系数

1.1.2 等效位移

车胎与伸缩缝之间的接触实际为面接触，而在车-桥耦合振动分析中通常将轮胎与桥梁的接触关系考虑为点接触[14].由于车轮尺度与桥梁主梁跨度相比很小，将车轮与桥梁之间的接触近似为点接触是十分有效的.鉴于此，将车辆过缝过程中车轮与伸缩缝构件的接触等效为两点接触，根据2个接触点的位移差值得到车轮过缝的等效位移.

车辆过缝等效位移模型见图3.假设车轮与桥梁接触面中心位置存在虚拟节点B.车辆过缝前或过缝后，节点B的位移可以假设为点接触位置的桥梁位移.当车辆过缝时，车轮与桥梁接触面之间的变形协调关系受伸缩缝中横梁和边横梁变形共同影响，则可假设节点B的位移为车胎接触面的平均位移.设车胎与近端侧边横梁接触长度为LBL，车胎与中横梁的接触长度为LZL，则L=LZL+LBL.伸缩缝接触点B的等效位移可近似由轮胎在边横梁、中横梁上的接触长度比例关系确定，即

图3 车辆过缝等效位移模型

(5)

式中，Zb为轮胎接触面的等效位移值；ZBL、ZZL分别为边横梁和中横梁节点对应的位移值.

根据本文研究所采用的车辆、伸缩缝模型参数，可将式(5)改写为

Zb=αZBL+(1-α)ZZL

(6)

式中，α为等效位移系数，与车胎参数(轮径、材料等)、荷载分配等有关.因此，实际车轮过缝过程中位移分配系数是一个复杂的非线性函数.为了简化，本文将α考虑为线性函数.结合车辆过缝的等效力分析可假定α=β.

1.2 耦合动力方程推导

车辆模型采用16自由度模型(见图4).图中，Zvr为车辆的沉浮位移；φvr为车辆的侧滚位移；Yvr为车辆的横向位移；2b为左右轮对的距离；Mvr为车辆质量；Ivr为车辆仰俯转动惯性矩；θvr为车辆的点头位移；L1、L2、L3分别为车辆前轴、中轴和后轴到车辆重心的距离；kf1、kf5分别为前轴上层左、右侧弹簧竖向刚度；cf1、cf5分别为前轴上层左、右侧竖向阻尼系数；kf4、kf8分别为前轴下层左、右侧弹簧竖向刚度；cf4、cf8为前轴下层左、右侧竖向阻尼系数；kf2、kf7为前轴下层左、右侧弹簧横向刚度；cf2、cf7为前轴下层左、右侧弹簧横向阻尼系数；kf3、kf6为前轴上层左、右侧弹簧横向刚度；cf3、cf6为前轴上层左、右侧弹簧横向阻尼系数；kz1、kz4分别为中轴左侧车轮上、下层弹簧竖向刚度；cz1、cz4分别为中轴左侧车轮上、下层弹簧竖向阻尼系数；kb1、kb4分别为后轴左侧车轮上、下层弹簧竖向刚度；cz1、cb4分别为后轴左侧车轮上、下层弹簧竖向阻尼系数.

(a)横剖面

考虑伸缩缝参数影响的车-桥耦合振动方程矩阵形式与车-桥耦合振动方程[15]形式一致，即

(7)

当轮胎接触面积小于中横梁宽度与两缝宽度之和(即s≤2s0+lc)时，车辆过缝将会出现轮载全部作用于中横梁的最不利情况.因此，本节主要对此条件下车辆过缝的车辆振动方程进行推导.当前轮位于伸缩缝，后轴位于相邻桥面或路面行驶时，前轴车胎与伸缩缝接触面的等效位移通过1.1.2节中的等效位移方法计算.考虑车辆过缝的车辆振动方程刚度耦合项为

(8)

式中

式中，kz8、cz8分别为中轴右侧车轮下层弹簧的竖向刚度和阻尼系数；kb8、cb8分别为后轴右侧车轮下层弹簧的竖向刚度和阻尼系数；kz7、cz7分别为中轴右侧车轮下层弹簧的横向刚度和阻尼系数；kz2、cz2分别为中轴左侧车轮下层弹簧的横向刚度和阻尼系数；kb7、cb7分别为后轴右侧车轮下层弹簧的横向刚度和阻尼系数；kb2、cb2分别为后轴左侧车轮下层弹簧的横向刚度和阻尼系数；φh,m(xL2)和φv,m(xL2)分别为中轴左侧车轮第m阶振型的水平和竖向分量；φh,m(xR2)和φv,m(xR2)分别为中轴右侧车轮第m阶振型的水平和竖向分量；φh,m(xL3)和φv,m(xL3)分别为后轴左侧车轮第m阶振型的水平和竖向分量；φh,m(xR3)和φv,m(xR3)分别为后轴右侧车轮第m阶振型的水平和竖向分量；φh,m(xBL,L1)和φv,m(xBL,L1)分别为前轴左侧车轮过缝时边横梁第m阶振型的水平和竖向分量；φh,m(xBL,R1)和φv,m(xBL,R1)分别为前轴右侧车轮过缝时边横梁第m阶振型的水平和竖向分量；φh,m(xZL,L1)和φv,m(xZL,L1)分别为前轴左侧车轮过缝时中梁第m阶振型的水平和竖向分量；φh,m(xZL,R1)和φv,m(xZL,R1)分别为前轴右侧车轮过缝时中梁第m阶振型的水平和竖向分量；V为车速.

考虑车辆过缝的车辆振动方程阻尼耦合项为

(1-α)cf8φv,m(xZL,L1),-αcf4φv,m(xBL,R1)-

(1-α)cf4φv,m(xBL,R1),-cz8φv,m(xL2),

-cz2φv,m(xR2),-cz8φv,m(xL3),-cz2φv,m(xR3),

-αcf8φh,m(xBL,L1)-(1-α)cf8φh,m(xZL,L1),

-αcf2φh,m(xBL,R1)-(1-α)cf2φh,m(xZL,R1),

-cz8φh,m(xL2),-cz2φh,m(xR2),

(9)

当α=β时，考虑车辆过缝桥梁振动方程中的刚度耦合项，阻尼系数耦合项KQ、CQ与考虑车辆过缝的车辆振动方程中的刚度、阻尼系数耦合项KE、CE互为转置.车辆过缝时的桥梁刚度矩阵和阻尼矩阵分别为

(10)

CT+CB=

(11)

式中，ωNb、ξNb分别为桥梁的固有振动原频率和振型阻尼比；Nb为桥梁振型总阶数.待求系数项KTnm、CTnm可表示为

KTnm=φh,n(xBL,L1)βkf8[αφh,m(xBL,L1)+(1-α)φh,m(xZL,L1)]+φh,n(xZL,L1)(1-β)kf8[αφh,m(xBL,L1)+

(1-α)φh,m(xZL,L1)]+φv,n(xBL,L1)βkf8[αφv,m(xBL,L1)+(1-α)φv,m(xZL,L1)]+

φh,n(xZL,R1)(1-β)kf4[αφh,m(xBL,R1)+(1-α)φh,m(xZL,R1)]+φv,n(xBL,R1)βkf4[αφv,m(xBL,R1)+

(1-α)φv,m(xZL,R1)]+φh,n(xZL,R1)(1-β)kf4[αφv,m(xBL,R1)+(1-α)φv,m(xZL,R1)]+

(12)

CTnm=φv,n(xBL,L1)βcf8[αφv,m(xBL,L1)+(1-α)φv,m(xZL,L1)]+φv,n(xZ,L1)(1-β)cf8[αφv,m(xBL,L1)+

(1-α)φv,m(xZL,L1)]+φh,n(xBL,L1)βcf8[αφh,m(xBL,L1)+(1-α)φh,m(xZL,L1)]+

φh,n(xZL,L1)(1-β)cf8[αφh,m(xBL,L1)+(1-α)φh,m(xZL,L1)]+φv,n(xBL,R1)βcf4[αφv,m(xBL,R1)+

(1-α)φv,m(xZL,R1)]+φv,n(xZL,R1)(1-β)cf4[αφv,m(xBL,R1)+(1-α)φv,m(xZL,R1)]+

φh,n(xBL,R1)βcf4[αφh,m(xBL,R1)+(1-α)φh,m(xZL,R1)]+φh,n(xZL,R1)(1-β)cf4[αφh,m(xBL,R1)+

(1-α)φh,m(xZL,R1)]+cz8φv,n(xL2)φv,m(xL2)+cz8φh,n(xL2)φh,m(xL2)+cz4φv,n(xR2)φv,m(xR2)+

cz4φh,n(xR2)φh,m(xR2)+cb8φv,n(xL3)φv,m(xL3)+cb8φv,n(xL3)φv,m(xL3)+cb4φv,n(xR3)φv,m(xR3)+

cb4φh,n(xR3)φh,m(xR3)

(13)

Fvr={0,0,0,0,Q5,Q6,kz8r(xL2)+cz8r′(xL2)V,

kz4r(xR2)+cz4r′(xR2)V,kb8r(xL3)+cb8r′(xL3)V,

kb4r(xR3)+cb4r′(xR3)V,0,0,0,0,0,0}T

(14)

式中

Q5=α(kf8r(xBL,L1)+cf8r′(xBL,L1)V)+

(1-α)(kf8r(xZL,L1)+cf8r′(xZL,L1)V)

Q6=α(kf4r(xBL,R1)+cf4r′(xBL,R1)V)+

(1-α)(kf4r(xZL,R1)+cf4r′(xZL,R1)V)

式中，r(xBL,L1)、r(xZL,L1)分别为前轴左轮与边梁、中梁接触点的不平整度；r(xBL,R1)、r(xZL,R1)分别为前轴右轮与边梁、中梁接触点的不平整度，r(xL2)、r(xR2)分别为中轴左右轮与桥面接触点的不平整度；r(xL3)、r(xR3)分别为后轴左右轮与桥面接触点的不平整度；r′为r的一阶导数.

当前轴通过伸缩缝，后轴在桥面时，利用等效力分配系数和等效位移，车辆作用于桥梁的第n阶模态力为

FBG=[βφh,n(xBL,L1)FyL,1+(1-β)φh,n(xZL,L1)FyL,1+

βφv,n(xBL,L1)FzL,1+(1-β)φv,n(xZL,L1)FzL,1]+

[βφh,n(xBL,R1)FyR,1+(1-β)φh,n(xZL,R1)FyR,1+

βφv,n(xBL,R1)FzR,1+(1-β)φv,n(xZL,R1)FzR,1]+

(φh,n(xL2)FyL,2+φv,n(xL2)FzL,2+φh,n(xR2)FyR,2+

φv,n(xR2)FzR,2)+(φh,n(xL3)FyL,3+φv,n(xL3)FzL,3+

φh,n(xR3)FyR,3+φv,n(xR3)FzR,3)

(15)

式中，FyR,i、FzR,i分别为第i轴左轮与桥梁在接触点处的水平作用力和竖向作用力；FyL,i、FzL,i分别为第i轴左轮与桥梁在接触点处的水平作用力和竖向作用力，且

FyL,i=-Fwy,i

(16)

FzL,i=FGL,i-Fwz,i

(17)

式中，FGL,i为车体分配到第i轴左轮的质量与车轮质量之和；Fwy,i、Fwz,i分别为第i轴左轮与桥梁相对位移产生的横向和竖向作用力，且

(18)

式中，ky,i、cy,i分别为第i轴左轮下层弹簧的横向刚度和横向阻尼；kv,i、cv,i分别为第i轴左轮下层弹簧的竖向刚度和横向阻尼；ΔyL,i、ΔvL,i分别为第i轴左轮与桥梁之间的横向和竖向相对位移，且[15]

(19)

(20)

式中，YsL,i、ZsL,i分别为车轮的横向、竖向位移.

当车轮前轮过缝时，车胎与伸缩缝接触面的等效竖向位移Zb1和横向位移Yb1可通过两侧接触点的等效位移表示，即

(21)

(22)

式中，qn为桥梁的广义模态.

对式(21)和(22)求导可得

FBG={βφv,n(xBL,L1)FGL,1+(1-β)φv,n(xZL,L1)FGL,1]+

βφv,n(xBL,L1)kf8[αr(xBL,L1)+(1-α)r(xZL,L1)]+

(1-β)φv,n(xZL,L1)kf8[αr(xBL,L1)+

(1-α)r(xZL,L1)}+[βφv,n(xBL,R1)FGR,1+

(1-β)φv,n(xZL,R1)FGR,1]+

βφv,n(xBL,R1)kf4[αr(xBL,R1)+(1-α)r(xZL,R1)]+

(1-β)φv,n(xZL,R1)kf4[αr(xBL,R1)+

(1-α)r(xZL,R1)]+[kz8r(xL2)+cz8r′(xL2)V+

FGL,2]φv,n(xL2)+[kz4r(xR2)+cz4r′(xR2)V+

FGR,2)φv,n(xR2)+[kb8r(xL3)+cb8r′(xL3)V+

FGL,3]φv,n(xL3)+[kb4r(xR3)+cb4r′(xR3)V+

FGR,3]φv,n(xR3)

(23)

式中，FGR,i为车体分配到第i轴右轮的质量与车轮质量之和.

在此基础上，可利用Newmark-β法求解考虑车辆过缝的车-桥耦合振动方程.当车辆过缝时，采用考虑车辆过缝的车-桥耦合振动子程序进行计算；当车辆完全行驶在桥梁上时，运行车-桥耦合振动程序进行计算.

2 方法验证

2.1 原型桥及测点布置

原型桥为某预应力混凝土简支转连续箱梁桥.主梁由4片预应力混凝土单箱梁湿接而成，单跨长30 m，桥面总宽度为12.75 m，主梁混凝土等级为C50.桥梁梁端装有GQF-MZL160型双缝式模数式伸缩缝.伸缩缝边横梁、中横梁和支撑梁所用材料均为16Mn钢.桥梁支座为盆式橡胶支座.伸缩缝和主梁测点布置示意图见图5.图中，P1、P2为伸缩缝测点；K1、K2、K3分别为主梁的1/4、1/2、3/4测点.

(a)正载伸缩缝

为验证考虑车辆过缝的车-桥耦合动力响应分析方法，制定的现场实测工况见表2.

表2 车辆过缝的车-桥耦合动力响应实测工况表

2.2 有限元模型

采用ANSYS软件建立本文研究对象的空间有限元模型.主梁采用Solid65单元模拟；伸缩缝边横梁、中横梁、支撑梁均采用Beam188单元模拟；压紧支承和剪切弹簧采用弹簧-阻尼器单元Combin14模拟.提取桥梁前100阶模态信息，并通过试算确定包含伸缩缝模态信息的局部振型信息.图6给出了原型桥的基本动力特性识别结果.典型的主梁、伸缩缝自振频率与实测自振频率对比见表3.

(a)伸缩缝频谱分析

表3 桥梁自振频率分析

由表3可知，伸缩缝、主梁竖向自振频率计算值与实测值误差为0.94%～3.53%.由此说明，所建立的有限元模型与实际桥梁吻合较好.该模型可以用于考虑车辆过缝的车-桥耦合动力响应分析方法验证.

2.3 正载结果

2.3.1 加速度

依据2.1节的测试工况，采用本文方法得到的加速度峰值和现场实测值见表4.

表4 正载工况下加速度峰值

由表4可知，各测点的加速度峰值随车速的增加而增大，伸缩缝测点尤为明显.不同车速下，跨中测点(K2)的加速度峰值大于1/4跨测点(K1)和3/4跨测点(K3).加速度峰值计算值与实测值的误差为1.68%～6.21%，表明本文方法能够较准确地计算正载工况下车辆行驶造成的伸缩缝和主梁加速度响应.

2.3.2 动挠度

正载工况下，车速为60 km/h时伸缩缝测点的动挠度时程曲线见图7.动挠度峰值实测值与计算值对比见表5.

由图7和表5可知，正载工况下，伸缩缝测点动挠度峰值随车速的增大而增大.当车速为60 km/h时，测点P1、P2的动挠度峰值分别为0.627和0.634 mm.动挠度峰值计算值与实测值的误差为1.84%～5.65%.

表5 正载工况下动挠度峰值

(a)测点P1

图8给出了正载时不同车速下各测点的冲击系

图8 正载时不同车速下各测点的冲击系数

数.由图可知，伸缩缝受到的车辆冲击作用随车速的增大而增大.当车速为60 km/h时，测点P1、P2的冲击系数分别为1.182和1.173，且伸缩缝受到的车辆冲击作用大于主梁.不同车速下距伸缩缝越远的点受到的冲击作用越小，伸缩缝本身及靠近伸缩缝位置处的主梁车致冲击响应受伸缩缝参数影响更为显著.

2.4 偏载结果

2.4.1 加速度

偏载工况下伸缩缝测点和主梁测点的加速度峰值实测值和计算值见表6.

表6 偏载工况下加速度峰值

由表6可知，与正载工况类似，偏载工况下各测点的加速度峰值随车速的增大而增大，伸缩缝测点尤为明显，且伸缩缝测点的加速度峰值远大于主梁测点.靠近车道侧的测点P1的加速度峰值远大于远离车道侧的测点P2.当车速为30 km/h时，测点P1的加速度峰值实测值与计算值分别为测点P2的16.66、17.02倍.不同车速下加速度峰值实测值与计算值的误差为2.15%～6.56%，说明本文方法能够较准确地模拟偏载工况下的加速度动力响应.

2.4.2 动挠度

偏载工况下，车速为60 km/h时伸缩缝测点的动挠度时程曲线见图9.动挠度实测值与计算值对比见表7.

由图9可知，车辆后轴过缝时引起的动挠度峰值大于前轴，靠近车道侧的测点P1的动挠度峰值远大于测点P2，前者约为后者的10倍.由表7可知，动挠度峰值实测值与计算值的误差为2.31%～5.51%，说明本文方法能够较准确地计算车辆行驶各阶段的动挠度.

表7 偏载工况下动挠度峰值

(a)测点P1

图10给出了偏载时不同车速下各测点的冲击系数.由图可知，靠近车道侧的测点P1受到的冲击作用大于测点P2，伸缩缝受到的车辆冲击作用远大于主梁.车速为10、30、60 km/h时，测点P1、P2的冲击系数峰值分别为1.213和1.166.不同车速下，距伸缩缝越远的点受到的冲击作用越小，伸缩缝本身及靠近伸缩缝位置处的主梁车致冲击响应受伸缩缝参数影响更为显著.此外，受构件形式、构件边界条件等参数的影响，伸缩缝测点与主梁测点冲击系数受车速影响的变化规律存在差异.桥梁整体的冲击系数和局部冲击系数都受车辆的横向布置位置影响显著.偏载时由于扭转模态被激发，桥梁各位置处的冲击系数受车速影响的变化规律更不统一.