Caputo型分数阶q-微分方程的初值问题

刘彦芝， 杨 艳， 党云贵，2*

(1.吕梁学院数学系， 山西 吕梁 033000；2.湖北大学数学与统计学学院应用数学湖北省重点实验室， 武汉 430062)

近年来，分数阶微分方程因其在物理控制理论、工程学、生物学等各个领域的广泛应用而备受关注.大部分学者所研究的分数阶微分方程侧重于Caputo导数和Riemann-Liouville导数这两个方面[1-8]，而对于分数阶q-微分方程的研究相对较少.事实上，在量子物理、光谱分析和动力系统等方面，q-微积分都发挥着极其重要的作用.近年来，q-微积分也愈来愈多地应用于工程学和经济学中.基于此，本文研究如下具有Caputo导数的分数阶q-微分方程初值问题，

(1)

其中，「α⎤为不小于α的最小整数．

众所周知，(1)等价于q-Volterra积分方程[10]

(2)

分数阶微分方程的解在初始点附近具有弱奇异性，这个问题已经成为分数阶微分方程数值分析中主要的关注点[3-8].在方程(1)中也具有类似的弱奇异性，文献[11]详细地讨论了方程(1)解的正则性问题.文献[12]利用q-beta函数给出Caputo型分数阶q-微分方程解的存在性理论并提出循环方法解决此类问题.文献[10]提出了分数阶q-微分方程的一种新的解法并研究其收敛性，且在截断误差的分析中要求方程的解在整个闭区间上足够光滑.本文则讨论当方程的解不够光滑时相应数值方法的误差估计.参考关于非线性分数阶常微分方程解的正则性常用的一些假定[6，11]，提出

|g'(t)|≤Ctα-1， |g″(t)|≤Ctα-2.

(3)

1 预备知识

本节主要介绍q-微积分的相关定义及引理，且文中出现的q均为同一个数．

定义1[13]对任意t，s∈，(t-s)υ的q-模拟幂为

定义2[13]q-Γ函数定义如下：

Γq(δ)=(1-q)1-δ(1-q)(δ-1)，

这里(1-q)(δ-1)指的是(1-q)1-δ的q-模拟幂．

定义3[13]函数g在[0，t]上的q-积分和q-导数分别定义如下：

定义4[13]设g为定义在[0，+∞)上的函数，g的δ阶Riemann-Liouville型q-积分定义如下：

引理1[11]设α∈(0，1)∪(1，2)，0≤s≤t≤1，则有

2 主要结论

本节将通过逼近方程(2)右端的积分项，得出求解方程(2)的预估-校正格式并进行详细的误差估计．

2.1 基于变步长的预估-校正格式

令0=t0

(4)

步长τk=tk-tk-1，易得

τk≤rTN-rkr-1.

(5)

为方便起见，在计算中不妨假定T=1．

由(2)得到在点t=tn，n=0，1，…，N-1，有

(6)

在(6)式中，用P0(s)逼近等式右端项f(s，y(s))，可得

其中，

P0(s)=f(tk-1，y(tk-1))，s∈[tk-1，tk]，

k=1，2，…，n．

在(6)式中，用P1(s)逼近f(s，y(s))，可得

其中，

k=1，2，…，n，

Bk=tkAk(tkqm-tk-1)-

tk-1Ak-1(tk-1qm-tk-1)，

Ck=tk+1Ak+1(tk+1qm-tk+1)-tkAk(tkqm-tk+1)，

k=1，2，…，n-1．

设yj≈y(tj)，其中j=0，1，…，n.定义如下预估-校正格式：

(7)

2.2 误差分析

1) 若0<α<1，有

2) 若1<α<2，有

I1≤CN-2．

证明由于

由假定1可得

注意到

|an，n|≤

Cnr(α-1)N-r(α-1)N-rnr-1=Cnrα-1N-rα，

(8)

结合引理1、引理2，有

从而

I1≤

若0<α<1，有

若1<α<2，注意到r(α+1)-2>-1，有

1) 若0<α<1，有

2) 若1<α<2，有

|y(tn)-yn|≤CN-2．

证明

对于I1，存在ξk∈(tk-1，tk)，k=1，2，…，n，满足

由假定1、引理1、引理2及(5)式，得

若0<α<1，有

(9)

若1<α<2，注意到r(α+1)-2>-1，则有

(10)

对于I2，由注2得

对于I3，

因此，

(11)

下面用数学归纳法证明.首先考虑0<α<1的情形，此时，再分三种情形来讨论．

Case1rα>1．

假设存在常数C0>0满足

|y(tj)-yj|≤C0N-2，

j=0，1，2，…，n-1；n=1，2，…，N，

下证 |y(tn)-yn|≤C0N-2．

事实上，由式(8)、(9)、引理3、注1及注2可得

|y(tn)-yn|≤CN-2+

CN-2+CC0TαN-2+CN-2+TαN-1C0N-2.

(12)

Case2rα<1．

假设存在常数C0>0满足

|y(tj)-yj|≤C0N-2rα，

j=0，1，2，…，n-1；n=1，2，…，N，

类似Case 1，可得|y(tn)-yn|≤C0N-2rα．

Case3rα=1．

同理可得|y(tn)-yn|≤C0N-2lnN．

下面再考虑1<α<2的情形.假设存在常数C0>0满足

|y(tj)-yj|≤C0N-2，

j=0，1，2，…，n-1；n=1，2，…，N，

同上可得

|y(tn)-yn|≤C0N-2．

综上，定理1得证．

3 数值算例

考虑初值问题

(13)

其中，α∈(0，1)∪(1，2).该方程的精确解为y=tα．

对于不同的α∈(0，1)∪(1，2)，选择r=1(等步长情形)和r=2(变步长情形)以及不同的N=16×2l，l=1，2，3，4，5.计算格式(7)的误差及收敛阶，结果见表1和表2．

表1 误差和收敛阶(q=0.4，α=0.6)

表2 误差和收敛阶(q=0.4，α=1.5)