短幅内摆线型螺杆泵转子逆向建模研究

毕达龙

（1.中国石油大庆油田有限责任公司采油工程研究院，黑龙 江大庆 163453；2.黑龙江省油气藏增产增注重点实验室，黑龙 江大庆 163453）

采油螺杆泵举升技术采用密闭腔室连续螺旋运移原理，具有成本低，结构简单及安装方便等优点，适用于稠油举升，目前已在国内外得到广泛应用[1-3]。采油螺杆泵主要由偏心螺杆（转子）和带有螺旋腔的泵体（定子）两部分组成，在正常使用条件下，螺杆泵转子表面的主要失效形式是磨损，磨损类型有磨粒磨损、磨蚀磨损和腐蚀磨损，其中磨粒磨损的作用更明显[4-5]。定子与转子固定接触点是承受压力最大的位置，所以磨蚀磨损最严重。通过对螺杆泵转子磨损机理的研究，发现在转子与定子之间的密封带处，滑动速度最大，与定子的接触应力最大，所以会在转子表面形成一条螺旋形的磨损线，导致表面的镀铬层脱落[6-8]。在三元复合驱区块，结垢严重，破坏转子与定子之间的密封带，加速转子表面磨损。螺杆泵转子磨损达到一定程度后，泵的承载能力下降，漏失量增加，容腔体积变小[9]。目前在大庆油田，螺杆泵检泵作业后，更换下来的采油螺杆泵转子，可以通过再制造修复工艺重复利用，主要工艺是采用超音速喷涂，再进行精磨成型[10]。精磨修复时需要明确转子的外形线尺寸，以满足螺杆泵过盈配合，达到螺杆泵本身的举升能力。但是在设计和生产过程中，不公开螺杆泵的设计参数和加工误差，因此确定转子的具体设计参数成为研究的重点。目前油田采油应用的螺杆泵转子主要分为普通内摆线型和短幅内摆线型两种，普通内摆线型转子是短幅内摆线型转子的特例，短幅内摆线型转子具有普遍性[11-12]。因此本文以短幅内摆线型采油螺杆泵转子为研究对象，在其横截面线型成形原理及建模研究的基础上，通过测量特征点，结合几何原理确定短幅内摆线型采油螺杆泵转子的设计参数，并总结出特征点的选取规律，指导各种采油螺杆泵转子的逆向测量。

1 短幅内摆线型采油螺杆泵转子横截面线型及建模研究

1.1 普通内摆线型转子横截面线型

普通内摆线型转子骨线方程为[13]：

式中：Rr(θ,r) 为普通内摆线型转子横截面线型复矢量；M为0～n 的自然数；α′为以尖点为圆心点圆弧的圆心角，rad，一般取值为π；r为等距半径，mm。

1.2 短幅内摆线型转子横截面线型

短幅内摆线型与普通内摆线型的区别有两点：①短幅系数K不为1.0，且0＜K＜1.0；②定子-转子共轭曲线副的形成过程不同。短幅内摆线型转子横截面线型是用短幅内摆线作定子骨线，定子骨线内包络的共轭曲线为转子骨线，并以此骨线向外做等距曲线得到短幅内摆线型转子横截面线型。其方程为[13]：

1.3 短幅内摆线型转子建模

短幅内摆线型转子横截面线型方程是在复平面i、j下的平面方程，现引入垂直于复平面的纵轴Z，线型方程（3）沿Z轴正方向在每一个复平面内均旋转角度φ之后，绘制可得到短幅内摆线型转子模型（图1）。则短幅内摆线型转子模型方程为[13]：

图1 短幅内摆线型转子模型示意图

式中：φ为短幅内摆线型转子横截面线型旋转角，本文中取值为0～2π；ρrs(θ,r,φ)为平面内不同角度的短幅内摆线型转子横截面线型复矢量；Z为横截面垂直方向上的位置坐标；T为导程，mm。

2 短幅内摆线型转子逆向研究

短幅内摆线型转子的逆向研究主要为特征点的测量方法，其核心为特征点的选择，要选取最少的点，利用特征点的坐标和各个点之间的几何关系，通过数学计算对短幅内摆线型转子进行逆向重构。在逆向重构过程中需要确定的参数包括滚圆半径R2、等距半径r、短幅系数K、导程T及转子头数N。其中转子头数N通过观察即可确定，其他四个参数则需要由测量特征点的坐标计算得出。

2.1 等距半径r 的计算

图2 为三头短幅内摆线型转子横截面示意图，M00为原点，等距半径r为一个头的圆弧半径，可由三个点来计算确定。随机在每个头的圆弧上各选取三个测量点，第一个头上的测量点为M1、M2、M3，第二个头和第三个头上的测量点分别为M4、M5、M6，M7、M8、M9；如为多头短幅内摆线型转子，同理可依次选取其他头上的测量点。

图2 三头短幅内摆线型转子横截面示意图

通过第一个头上的三个测量点坐标分别能计算出第一个头的圆心点（M01）的坐标和第一个等距半径r1，同理计算得出第二个头的圆心点（M02）的坐标和等距半径r2，第三个头的圆心点（M03）的坐标和等距半径r3。如为多头短幅内摆线型转子，同理可得到M04、r4，M05、r5…M0n、rn。

2.2 滚圆半径R2的计算

应用式（1）绘出K取1.0、0.8、0.7 的骨线，用式（3）绘出K'取0.8、0.7 的骨线（图3）。图中细实线为根据式（1）绘制的短幅内摆线骨线，虚线为根据式（3）绘制的短幅内摆线骨线。通过对比相同短幅系数下二者的区别发现，除了线型不同外，根据式（3）绘制出的骨线，无论短幅系数为多少，其尖点都与普通内摆线的尖点重合，而根据式（1）绘制出的骨线则不同，短幅系数越小交点位置越偏向内侧。在转子短幅系数不为1.0 的情况下，转子的骨线是由定子骨线以偏心距E为半径，绕圆心自转同时公转形成的内包络线。这样得到的短幅内摆线在其他参数一样的情况下，虽然短幅系数不同，但他们的尖点重合（表1）。

表1 尖点坐标

图3 不同短幅系数内摆线型转子横截面尖点位置示意图

由此可以确定尖点到圆心的距离不变，即R不变，其中R为圆心点到一个尖点的距离。由图（2）所示，R也是由尖点M01、M02、M03…M0n确定的圆半径，通过M01、M02、M03…M0n坐标即可求得R。那么滚圆半径R2可以通过短幅内摆线的成形原理和尖点位置来计算：

以三头短幅内摆线型转子为例，则其滚圆半径R2为：

2.3 短幅系数K 的计算

根据短幅系数的定义，即

式中：d为发生点到导圆圆心O'的距离，mm。

图4 为短幅内摆线型定子-转子共轭副，短幅内摆线型转子骨线的三个尖点分别为A、B、C，AF为转子骨线的一条中线，交BC于F；DE为定子骨线的一条中线，交定子骨线于D、E，O'E即为d。根据定子与转子共轭形成密闭腔室的原理，转子由此位置逆时针绕圆心O旋转，当A与D重合时，那么F和E也重合，此时短幅内摆线型转子将定子分成对称的两个部分，此时可得到：

图4 短幅内摆线定子-转子共轭副示意图

故选取特征点测量，通过计算可得到AF的值（图5）。

图5 三头短幅内摆线型转子横截面示意图

式中：Kj为短幅内摆线型转子头数为奇数时的短幅系数；Ko为短幅内摆线型转子头数为偶数时的短幅系数。

2.4 导程T 的计算

根据短幅内摆线型转子建模原理，导程T与螺距D有以下关系：

即导程T是螺距D的N倍（N为转子头数）。图6 为短幅内摆线型转子纵截面图，在两个波谷同一Z坐标方向分别选取两点T1、T2和T3、T4。通过这四个点可知T12、T34这两个点的Z轴方向坐标值，分别为ZT12，ZT34。那么短幅内摆线型转子的一个螺距D为：

图6 短幅内摆线型转子纵截面图

根据式（9）、（11）、（19）、（22），总结测量特征点的选取方法，可以确定短幅内摆线型螺杆泵建模参数。

3 实验验证

根据前述理论，利用三坐标测量机对一个磨损严重的五头螺杆钻具转子进行测量，验证该理论。

图7 为测量特征点实验图，任意选择一个横截面进行特征点的选择和测量（图8），特征点坐标值见表2。在实际测量中可采用多组测量以减少误差。然后结合式（9）、（11）、（19）、（22），计算可得r、R2、K、T，并对比测量计算值与设计值（表3），测量计算值存在测量误差，优化取整后，所得到的数值与厂家所提供淘汰产品的设计值一致，证明了这种测量特征点方法的正确性及合理性。

表3 短幅内摆线型转子参数测量计算值与设计值对比

图7 测量特征点实验图

图8 短幅内摆线型五头螺杆钻具转子选取特征点示意图

表2 测量特征点坐标值

4 结论

（1）在短幅内摆线型螺杆泵转子横截面建模原理分析的基础上，提出通过测量特征点来对短幅内摆线型螺杆泵转子逆向重构建模研究；并总结测量特征点的选择方法，通过特征点的坐标计算得到短幅内摆线型螺杆泵转子的重要参数。短幅系数是短幅内摆线型螺杆泵转子逆向重构的核心参数，其测量方法是测量特征点计算中重要的方法，通过短幅内摆线型定子-转子共轭副的几何关系总结出短幅系数计算公式。

（2）以五头螺杆钻具转子为例，应用三坐标测量机对特征点测量方法进行实验验证，对比测量计算值与设计值结果一致，从而验证了这种测量特征点方法的正确性及合理性。该方法可为螺杆类转子的绿色再制造及螺杆类转子加工方法和改进提供依据。