基于关键数字特征的风险资产组合理论及实证分析研究

范国兵， 袁 涛

(湖南财政经济学院 数学与统计学院，湖南 长沙 410205)

0 引言

金融市场中，二级流通市场的各项证券投资都具有一定的风险，然而各项投资的风险程度以及风险最终出现的可能性并不一致。MARKOWITZ H M用投资收益的不确定性描述风险资产投资的风险表征[1]，其风险的不确定性影响较为广泛。风险源的多样性以及风险扩散机制都是资本市场极为关注的，以数学特征的表达方式进行分析风险资产投资组合经济效率与盈亏率。在此之后，众多研究都在不断地丰富和完善现有的风险资产投资组合理论，尤其以均值方差的均衡分析实现收益和风险之间的最佳平衡，从而服务于理性投资者所追求的投资决策。关于证券投资市场的主要研究，股票市场及其灵活的融资方式与多样性的风险因素，是风险资产投资组合最主要的研究主体[2]。在证券交易的过程中，进行理论性的总结和经验性的认识，从中把握量化分析思维，借助数字特征分析的优势决定资产配置模型的有效性。

1 风险资产组合测度分析

MARKOWITZ H M通过均值方差模型进行投资组合的研究，以分析单目标下的二次规划，实现风险投资组合的最优化配置，为风险资产配置组合理论开了数字特征的先河[3]。

目标函数

其中σ2(p)表示风险资产的方差；Xi、ri分别表示第i种风险资产的权重配比与收益率。

约束条件

其中E(Rp)表示由风险资产所构成的证券投资组合的期望收益率；E(Ri)表示单个风险资产的期望收益率。

在风险资产组合与无风险资产间的投资组合之中，以关键数字特征的基本分析，分析股票组合风险变动规律，在简化Markowitz模型的基础上，进行两证券资产配置分析模型的数字特征评价[4]。

1.1 预期收益的分析描述

期望收益值是在不同情景下，收益率已发生概率为权重的加权平均值，用随机变量的数学期望描述和反映平均投资收益，数学期望越大，期望收益率就越高。从离散型变量着手，分析影响投资组合的随机因素，转化为可连续化的收益结果，直观表现出在不同情景下的概率情况与预期回报情况，描述投资组合的整体期望。

单个风险资产的期望收益率记作

证券投资组合的期望收益率记作

投资者根据投资期限的选择，得到时间加权的平均收益率。当收益率波动增大时，两种平均方法便会存在显著的差异，如果收益服从正态分布，则预期差异为分布方差的1/2。在度量风险资产的历史收益时，通常采用几何平均数，估计未来表现时通常使用算术平均数。未来的投资收益结果通常包含了许多不确定性，这些不确定性对于未来的财富影响较大，正是由于这种非对称性的存在，几何平均是对未来平均收益的低估，当假设风险资产收益服从正态分布时，被低估部分恰好就是方差的一半，可以采用算术平均的数字特征纠正这种误差。

两者关系为

1.2 风险情况的分析描述

在预期收益的均值分析中，随机变量的预期性差异均是由自生性质所导致的，基于此，离散程度的偏移，为风险资产投资组合理论的风险状况的描述提供了主要依据[5]。根据收益率的标准差度量风险，数值大小用以反映其结果波动性强度，描述多种不确定性事件的发生，可以衡量实际收益和预期收益之间的偏差，因此方差和均值提供了测量结果不确定性的方法。

σ2=∑p(s)[r(s)-E(s)]2，

(1)

(2)

(3)

1.3 投资组合相关性风险描述

在数字表达中，协方差描述两个风险资产组合中各个资产的风险之间相关关系下的组合风险，相关系数即各个风险资产间的相关关系的大小。如果协方差为负，则组合的方差会降低,即使协方差为正，组合标准差仍低于两个证券标准差的加权平均，除非这两个证券是完全正相关的[6]。它们之间具有关系式

Cov(r1,r2)=ρ12σ1σ2，

因此在相关系数较高时，组合方差就较高。当两个资产完全正相关时，即相关系数等于1时，组合标准差就是两个收益完全正相关资产标准差的加权平均，

或

σp=w1σ1+w2σ2。

在其他条件下，相关系数小于1时，组合标准差小于两个资产标准差的加权平均。

2 实证分析

通过最优风险资产组合的两证券资产配置分析模型进行情景模拟，计算一个包含两种风险资产的投资组合的收益率与风险，在模型估计中计算不同资产权重下投资组合的收益率和风险，根据图像的生成，可以在一个目标收益率中进行无风险资产和最优风险资产投资的最优选择。

2.1 数据选择与依据

以沪深股市的典型行业为选择依据，选取三一重工(即Security 1)与贵州茅台(即Security 2)，形成两组风险证券，根据道氏理论进行技术分析，选取每只股票的每月收盘价格作为主要的数据依据，期限跨度为14年，从2008年1月至2021年7月的月均收盘价，以中长期的价格反映风险资产情况(即股票价格)，形成多维的股票价格序列，以跨期的时间价格进行配置证券组合资本中的风险资产。关于无风险资产的选择，以违约概率最低的国债作为无风险资产的配置分析，选取一年期国债收益率进行无风险资产的分析。在资产组合的配置中以市场中历史价格因素，分析预期收益、风险程度以及权重配置比之间的内在关系，以较为理想化的证券市场环境以及证券性质，分析资本资产的配置组合。

2.2 数据分析

关于风险资产的数字特征，以历史数据信息分析均值情况，首先对收益率的序列特征进行处理，即r=ln(Pt/Pt-1)，得到风险资产的收益情况，然后进行数据处理，利用算术平均值的计算方式描述风险资产的均值情况。基于此，进行风险资产的方差计算，以较为明确的风险特征，进行组合配置的分析，生成两组风险资产的收益情况、标准差以及相关系数。在Excel的辅助计算中，以VARP函数得到风险资产的方差，用以进一步描述风险特征，再对其开平方得到标准差。在两组的风险资产中，通过用COVAR和CORREL函数得到相应的相关系数与协方差[7](如表1所示，数据来源为2008—2021年三一重工、贵州茅台以及中国一年期国债收益率数据信息[8-10])。

表1 风险与收益特征描述Tab.1 Description of risk and return characteristics

无风险资产的配置以一年短期国债表示，通过原有的年化收益率转化为每月收益率，经数据处理之后，可使用统一时间口径的收益率比较。承接表1数据进行风险资产的配置组合，再结合各权重变量的调整，在风险资产与无风险资产的风险溢价情况，形成波动报酬(Reward to Variability)，即组合预期收益与无风险报酬率之间的差值与标准差的比值，从而更好地把握风险与收益情况，完成本研究证券投资组合中资本资产配置的简单数学特征分析。整理得到如表2所示的权重调节变量情况。

表2 权重调节变量情况Tab.2 Weight adjustment variables

调整变量值，引起其他变量发生改变，通过两个风险模型的资产配置分析，选择两个风险证券Security 1与Security 2同国债Bond之间的期望值、标准差以及相关系数的改变，构建不同权重的最优市场组合，以CAPM资本资产定价模型的计算公式，得出组合预期收益率、标准差以及报酬波动的比率，即资本配置线的斜率。根据自我设定的参数进行多次的数值调试，不同风险偏好的投资者对于风险资产预期回报率的不同以及各个资产的配置权重差异，可进行合理定制化投资方案选择。

在不允许卖空的交易机制下，分析最小方差组合以及最优风险组合的资产配置情况，结合上述的实证研究数据，笔者整理得到如表3所示的风险差异资产配置情况。

表3 风险差异资产配置情况Tab.3 Risk difference asset allocation

在证券投资组合的可行集区域中，其内部与边界范围所形成的投资组合，完全可以根据投资者不同的偏好程度形成独特的投资决策。对于最广大的理性投资者来说，在同一风险水平下，投资者都会选择收益率最高的投资组合；而对于同一收益水平下，投资者都会选择风险最小的投资组合。据此，将能够同时满足预期收益最大且组合风险最小的投资组合，构成最有效的配置集合。

2.3 分析结论

在现行证券市场上进行资本资产配置组合的实际案例分析，以风险资产的股票证券形式和无风险资产的国债构建投资组合。采用一般化的数字特征的分析，进行收益率和标准差的数字化处理，进行最小方差组合和最优风险组合的两者均衡条件下，探索证券投资组合收益和方差之间的协调关系。笔者参考Investments[11]提供的数据，整理得到资产配置模型结果示意图(图1)。

图1 资产配置模型结果示意图Fig.1 Schematic diagram of asset allocation model results

如图1所示，实证数据表明，在构建的三一重工、贵州茅台和中国一年期国债收益率的投资组合之中，能够在组合标准差0.4～0.6的区间内，实现最优化预期收益的资产配置。但是本次分析不足之处，是仅停留在理论收益与风险情况，现有市场不一定能找到合理的资产组合，且资产间的相关系数不能根据统一标准得出，选取的大盘股票指数仍缺乏客观性。

在不允许卖空的市场环境条件下，选择最小方差投资组合即风险最小化组合：进行最优风险资产投资组合的权重配比以及无风险资产的选择，实现最近点连线，即构建最小方差组合，实现最低风险保障。选择最优投资组合：通过调节两个风险资产的不同权重实现与无风险资产之间的连线，在所形成的可选择权重范围内进行投资方案的制订，根据所期望的回报率调整已选定的投资组合权重和无风险资产之间的配比，达到既定的收益情况。也可以通过调节两个风险资产的权重，间接地影响投资组合的整体收益率，从而实现预期回报。组合模型的规划求解，需要在结合众多市场信息后，进行拟合优度最大化的数字模拟。

3 结论

通过对风险投资模型进行数理统计分析，将证券投资组合理论以更加直观简洁的形式描述，得出风险投资的风险与收益情况，以量化思维分析证券市场上的理性和非理性行为，为投资决策者作出合理的判断与选择，更加理性和辩证地看待收益和风险之间的关系。实证研究从离散化的随机变量入手，转化为收益情况的连续型变量，对期望值、方差、相关系数以及协方差的基本数字特征进行分析。在下一步的数学特征分析中，可以加入变量的独立性因素进行更加符合实际的研究，也能够深入地完善和提升投资组合模型的拟合程度，为投资决策提供更为便捷的数理支撑，为风险资产投资组合理论的数学特征应用融入更多的实用性优势。