基于微分方程的疫情人数预测与管控启示

魏会贤

（石家庄铁路职业技术学院 河北石家庄 050041）

传染病是危害人们健康和生命的重大疾病。基于传染病具有可传播性和一定的周期性，可以考虑从数学的角度来研究传染病的传播情况。对于不同类型的传染病，要根据传染病传播现象及相应的调査数据，通过建立能揭示其变化规律的数学模型，进而对相应的数学模型进行研究，从而达到运用数学理论研究这些传染病病理机制、原理以及传播情况的目的。

1 模型构建

分析新型冠状肺炎的传播过程可知，可将人群分为三类：正常人员、确诊病例和密接者，三类人员之间是相互转化的，正常人员与确诊病例密切接触（密切接触是国家防疫规定的特定接触情况）后转化为密接者，密接者以一定的比例转化为确诊病例，确诊病例经过一段时间的治疗后转化为正常人员（由于死亡病例较少，且不再具有传播性，因此在分析中我们暂不考虑确诊病例死亡的状况），本文重点关注确诊病例和密接者的人数变化关系，因此我们构建下面两种方程讨论两者的人数变化和相互关系。

1.1 确诊病例人数变化方程

确诊病例一般来自与确诊病例有接触的密接者（此处不考虑每波疫情过程中的0号病例，关注的核心问题是0号病例的传播过程）。假设 ()y t表示确诊病例人数，()x t表示密接者人数，则确诊病例人数和密接者人数之间存在动态变化关系 y( t ) = θx( t)，该式两边对t取微分得到如（1）式所示的微分方程，该微分方程即可表示确诊病例随时间的变化关系。

1.2 密接者人数变化方程

密接者为与确诊病例接触过的人数，因此密接者人数增加受确诊病例人数的影响，因此我们假设密接者人数随时间的变化存在如（2）式所示的函数关系：

式（2）为密接者人数随时间变化的方程，即在t时刻，确诊病例的平均传播 ()tβ 个人，所以y个确诊病例使得密接者增加量为 β( t) y。其中传播率是随着时间变化的量：传播率与确诊人数的活动范围有关，一般确诊人数越多，可能的传播人数越多，但随着疫情人数的增加，人们的防范意识在逐步增强，政府也会采取积极的管控措施（例如封小区，或封城），这样会有效降低确诊病例的传播率，当确诊病例增加到一个上限，比如λ人时，此时某个区域按下“暂停键”，人口不再流动，传播率将等于0，即当确诊病例很小时，此时未能引起人们的重视，政府也未采取管控措施，人口处于正常流动状态，此时，人们与他人接触而产生的传播率等于常数γ（即相对于λ而言，y非常小，因此 0yλ→ ，此时 ()tβ γ= ）。

1.3 确诊人数和密接人数变化的相互作用

综上所述，确诊人数和密接人数都可以用关于时间t的微分方程表示，并且确诊人数和密接人数之间是相互影响的，因此我们将两个方程联立，可以得到基于疫情传播的疫情确诊病例人数变化的方程组如下：

根据上述推导过程还可以进一步分析确诊病例的变化特征与参数之间的关系：假设确诊病例的变化率为f，则，即确诊病例变化率是确诊病例数（y）的二次函数，根据二次函数的基本特征可知，确诊病例的变化率呈现先升后降的变化特征（这与我国历次疫情爆发情况类似，开始时病例加速增加，一段时期后，病例开始下降），增长率由升到降的拐点出现在f的最大值处，可以求出该最大值为 2λ ，所以尽早开始封城等严格管控措施能够在较早的时间点使增长率出现拐点。

2 估计结果

我们以石家庄为例展示上述模型的求解和分析过程。石家庄疫情的封城时间是2021年1月6日，解封时间是2021年1月29日，我们向外延伸5天作为研究样本。为了对比不同阶段疫情发展的不同，我们将第一天的疫情人数定义为0（即将0点作为石家庄疫情开始的初始点）。利用STATA16 进行非线性的逻辑斯蒂估计，估计得到参数a、b、c的值分别为2624.82、3.5750和0.2033，并且均在1%的水平下显著。模型的拟合值和实际值之间的关系如图1所示，拟合系数为0.999，拟合精度比较高。

图1 石家庄新冠疫情确诊人数与预测人数

利用相同的估计方法，可估计得到以武汉、北京和新疆为主要疫情爆发地的模型估计结果，如表1所示。从中可以看出，参数a、b、c值都在1%的置信水平下具有显著性，模型的拟合效果都较高，拟合优度都在0.99以上。

表1 武汉、北京、新疆和石家庄疫情的模型估计结果

为求得微分方程组中有实际含义的参数值，需要首先估计模型（1）中的θ值，利用STATA16对模型（1）进行估计（自变量为确诊病例数的一阶差分，自变量为密接人数的一阶差分），估计结果如表2所示。从中可以看出，四个阶段的疫情中模型的拟合优度较好，均在0.97以上，θ的估计值均在1%的置信水平上显著。

表2 武汉、北京、新疆和石家庄疫情的θ值估计结果

根据参数之间的对应关系进行参数转化，结果如表3所示。从中可以看出：（1）武汉的θ估计值最大，明显高于北京、新疆和石家庄，这意味着疫情刚开始时，由于人们的防疫意识较低，防范措施不强，因此有更多的密接者成为确诊病例，但随着人们防范意识的增强（比如戴口罩、接种疫苗等），密接人员转化为确诊病例的概率存在降低趋势（各区域收到防范措施和强度的不同存在一定差异）。（2）λ是确诊病例传播率趋近于0的取值，λ越大意味着政府采取强制措施的相对时点越晚，传播的人数越多。从估计结果可以看出，武汉的λ值最大，北京的λ值最小，可以推断由于武汉疫情爆发时，由于经验、措施和技术等各方面的限制，采取管控的相对时点较晚，而北京等地在较早的时间即采取了有效的管控措施。（3）γ是疫情发展初期，病毒携带者（未确诊之前）的传播率，该变量与人口流动情况（如出差、聚餐等），人口总量（当地的关系网等）、所处时间段（是否节假日）以及相关规定（如政府的人口流动管控措施）相关，因此造成各区域该参数存在较大差异，并且并未呈现太明显的规律特征。

表3 参数转化结果

3 政策含义及建议

综上所述，我们所构建的微分方程模型能够较好的拟合疫情爆发的过程，并且微分方程中的各个参数都具有较为丰富的政策含义。第一，密接者成为确诊病例的比率越低（θ的影响），疫情传播过程越容易得到控制，因此密接者的免疫性越强（通过提高个人卫生状况、戴口罩、保持接触距离、不聚集，尤其是接种疫苗），疫情状况越向好。

第二，病毒携带者（确诊之前）的传播率越高（γ的影响），疫情发展速度越快，因此疫情初期，尽量减少不必要的外出和聚集能够有效降低传播率。需要注意的是不同地区的人员接触具有不同的特征，呈现较强的区域差异，因此不同区域需要根据本地区的人员交流特征制定相应的限制政策。

第三，从模型分析和估计结果来看，强制性的管控（如封城）是阻止疫情状况恶化的最强力措施，但是强制管控会对社会经济造成较大影响，也严重影响人们的生活，因此需要在上述两种措施的基础上，平衡强制管控和经济生活之间的关系。封控措施往往具有临时性，因此需要在日常做好常态准备：一是要保证重要战略物资的储备，“宁可备而不用，不可用而不备”；二是要加强经费保障，构建标准化、制度化的传染病等重大突发公共卫生事件的应急管理体系；三是进一步提升公共卫生服务水平和公众健康卫生意识，逐步完全扭转“重应急、轻预防”“病来重视、病去忽视”的不良现象，建立重大疾病防控救治、救助体系。