试论高中数学数列教学设计中的实践

2022-04-09甘肃省陇西县第二中学谢克仁

学苑教育 2022年10期

甘肃省陇西县第二中学谢克仁

数列是高中数学教学重难点内容，是学生后续知识学习的基础前提。高中数学数列教学内容，有助于学生在观察分析、归纳、猜想、逻辑推理中，有效强化学生的数学知识综合运用能力，在反复实践中逐步内化知识结构，维持高效的数学学习热情。因此，结合新课程改革相关要求，应进一步深化高中数学数列教学设计，转变教学理念、方法，调整教学内容，创设高效的教学氛围来激励学生全身心投入到学习中，在清晰掌握数学概念、公式和解题方法基础上，有效培养学生良好的学习素养和学习习惯。新时期综合分析研究高中数学数列教学设计内容，深化教学改革，为枯燥的数学课堂注入新的生机与活力，为后续教学改革深化提供支持和参考。

一、高中数学数列教学设计要素分析

1.数学分析。

数列是高中数学教学要点内容，也是离散函数主要数学模型之一，在高中数学教学中占据重要地位。指数函数、幂函数、三角函数与对数函数等内容，具有任意阶导数，在函数学习中数列具有重要作用，可以通过离散化方法来学习函数内容。如，函数y=f（x）在x0连续用数列刻画，任何一个x0为极限的数列{xn}，其极限为f（x0），反之同样成立。函数思想在数列问题解决中具有积极作用，通过设立离散函数模型，与一次函数对照学习等差数列，对照指数函数来学习等比数列内容，便于更加深刻的理解数列性质。通过此种方式，将原本复杂的问题精简化为数列问题，相较于简单的解决函数问题。

2.课程标准分析。

等差数列关键在于等差，等比数列关键在于等比，用公式呈现即an-an-1=d和等比=q，是等差数列、等比数列概念理解的基础所在，也是解决数列问题的主要依据。在数列知识学习中，应该高度关注学习过程，列举具体实例归纳和总结数列特征，如，1，2，3，4，…，n为典型等差数列，等差数列特征与前n项和公式均可以在此基础上归纳和推理出来。总的说来，数列知识学习，是学生数学应用意识培养的有效载体，可以引入生活中的分期付款和教育储蓄内容，将实际问题转化为教学问题，有效锻炼学生的思维能力和学习能力。

3.教学方式分析。

高中数列内容教学中，可以从概念、技能训练与问题解决几个角度灵活选择最佳的教学方法。首先，从学生思维启发角度着手。数列知识点在锻炼学生观察、分析和解决问题能力方面有着得天独厚的优势，无论是概念引入还是问题提出均可以有效激发学生数学知识学习兴趣，可以在讲解数列概念时列出几个数列，学生仔细观察和总结共同点，在此基础更加深刻的理解抽象数学概念。结论分析和推理层面，收集相关素材来挖掘有价值信息，锻炼学生的逻辑思维能力。例如，具体讲解等差数列前n项和的公式推导和引用方面，传统教师课堂上直接介绍公式推导方式存在很大局限性，可以尝试着问题引导，如，一个工厂中有一批水管材料，上面一层5根，下面各层均超出上一层1根，底层共有9根，如何计算得到水管总数？通过此种方式，充分调动起学生的数列求解兴趣，在观察分析下总结和归纳数列对称相关内容，任意第k项和倒数第k项的和均等于首末两项和，可以帮助学生明确思路，梳理知识点。其次，注重知识灵活运用。在原有教材内容基础上设计一些应用问题，可以引入教育储蓄问题来设计等差数列例题；等比数列可以引入分期付款和学画曲线问题来引导学生分析；数列应用内容，可以引入斐波那契数落内容计算分析。最后，渗透重要的数学思想方法。数列知识点中含有丰富的数学思想方法，深层次挖掘教材，从函数角度去学习数列内容，便于数列性质整体化呈现，有效解决学习问题。多数的数列例题多为“已知数列满足某些条件，采用方程式来计算这一数列。”在解题过程中，收集已知条件灵活运用数学归纳法、递推公式方式求解，便于学生在后续学习中灵活运用所学数列知识，提升学习效率的同时，促进学生学习能力稳步提升。

二、高中数学数列教学设计分析

1.数学概念。

核心内容为“以往的知识点对数列概念理解有什么影响”“概念变式”以及“数列概念理解的层次”。

作为数列单元教学的第一部分内容，概念教学中可以选择代表性的例题来讲解数列概念，并且在课堂上大致介绍斐波那契数列知识点，作为教学补充材料，对开拓思维，培养学生学习兴趣有着积极作用。因此，数学教师应该坚持学生主体地位，采用集合类比方式来帮助学生加深数列内容理解和记忆，丰富知识储备。通项公式内容讲解中，类比通项公式与函数，在此基础上引出数列为特殊函数，采用数形结合方法逐步突破重难点。教师可以通过创设情境来引入数列内容，列举特殊例子来引入等差数列、等比数列相关内容，帮助学生切身感受数列概念，在讨论和分析中取得结论，便于增强学生的数学学习兴趣，锻炼学生的数学能力与学科素养。等差数列通项公式本身并不难，但如何推导出来则需要多角度分析，改善以往强制性灌输模式的不足，在情境中启发学生推导公式，令学生更好的接受和学习。例题讲解中，题型学生使用（-1）n，（-1）n+1调节项的符号，在例题讲述后归纳和总结此类问题解题方法，帮助学生更加深刻的理解通项公式属于特殊函数范畴这一概念。在后续的例题讲解中，加强师生互动与生生互动，帮助学生在学习通项公式的同时，潜移默化中培养学生合作精神和创新意识。对此，教师可以围绕教学内容来创设学习情境，营造师生密切互动的学习范围，彰显学生主体地位的同时，理论联系实践来锻炼学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，内化知识结构。

诸如，在课堂教学时，可以通过引入“2005年，我国的神舟六号航天飞船发射成功，在正式发射飞船前发令员倒数读秒依次是多少？”在教师的支持和引导下，便于学生保持高度学习热情投入其中，一块大声说出“10，9，8，…2，1。”借助实际生活中的实例，巧妙吸引学生注意力，集中兴趣投入到课堂学习中。在此基础上进一步提问“每个细胞每分钟分裂为2个，每过一分钟，一个细胞分裂个数依次是多少？”挑选一名学生回答问题：“1，2，4，8，16，……”

教师继续提问：“相信大家很容易就说出三列数，那么你们仔细思考下他们有什么共同点？”学生们通过仔细思考，寻找共同点，最终发现数字都是按照书序依次列出，最后由教师来总结归纳，这种按照一定次序排成的数称之为数列。

除此之外，还要适当地收集和整理数学史内容，将其积极引入到数列教学中，激发学生学习兴趣，全身心投入到数列知识学习中。如，将棋盘摆放麦粒问题引入到数列学习中，渗透数学史内容，加深知识理解和记忆同时，有效强化学生的数学素养。此种课堂引入方式，给予学生充分思考和分析的机会，切身感受数列概念，把握不同类型数列，为后续学习深入奠定基础。

2.数列求和。

数列求和是高中数学数列教学设计的重点内容，教学设计要点在于以下几点：数列求和包含哪些基本技能？如何掌握技能训练尺度？如何超越技巧？

在数列求和设计中，主要选择q倍错项相消法、拆项法和裂项求和法开展教学活动。教师可以选择学生相较于熟悉的等差数列、等比数列求和问题着手分析，数列对应项相加后求和，引出拆项法。此种课堂引入方法，与高中生的认知规律相契合，在后续练习题中选择不同题型巩固理解，了解拆项法适应题型。然后将两个数列对应项相乘得到数列求和结果。发挥教师引导作用，引导学生深入分析来消除思维障碍，在解题遇到问题时由教师适度指导。q倍错项消法是一种抽象的解题方法，可以适当的放慢演示速度，清晰演示解题过程，引导学生深入理解和掌握。最后，介绍裂项求合法，以及对应的解题方法，在师生交流中锻炼学生的解题能力。

诸如，在学习了等比数列、等差数列求和公式后，在黑板上列出两个数列，具体如下：

学生看到黑板上的数列例题，分别计算通项公式与前n项的和，化繁为简，学生计算后展示自己的答案，由教师来选择一名学生回答问题。①答案为an=n，Sn=，②答案为对于学生们可以正确计算得到答案并不意外，可以进一步提问，计算数列，…通项公式与前n项和。在之前两道题目的训练基础下，学生可以很快的得到答案。在此基础上，教师提问：“这个数列属于等差数列还是等比数列？如何确定？”学生们经过讨论分析了解到，尽管并非是等差或等比数列，但每一项均为之前两个等差等比数列对应项相加得到，所以同对应项相加来实现通项公式求和。

选择较为熟悉的等比数列和等差数列通项公式与求和内容，进一步引出非等差等比数列求和问题，循序渐进，层层递进，充分彰显数学化归思想。在教师引导下，契合学生认知规律来鼓励学生自主探索和实践，内化知识结构的同时，切实提升学生学习效果。

又比如，在讲解拆项法时，提问什么样的数列适合拆项法？如果没有前两个数列铺垫，第三个数列能快速得到前n项的和吗？在黑板上列出：，…学生自习思考后即可得到答案Sn=在此基础上，教师进一步提问，如何思考得到的？学生们将自己的思路表达出来，是将通项公式拆解为一个等比数列和等差数列对应项的差，然后再分别求和。

最后，教师提问学生什么样的数列适合拆项法求和？最后给出答案，采用拆项法来满足等差数列求和。但是需要注意的是，即便是同样的解题方法，在实际解题中也要灵活运用，有时直接套用即可，有的时候则需要适当转化运用，如果学生存在思维障碍，教师应尊重学生的个体差异，提供充分时间思考和分析，适当引导和帮助，帮助学生改进不足，内化知识结构。

数列是高中数学教学的重难点内容，同时也是基础内容，其中数列求和是数列教学重点内容，需要掌握一定技巧和方法来解题。在课堂教学中，教师应该多选择引导的方式，鼓励学生自行分析、探究和解决问题，而不是教师直接给出答案。给予学生充分的思考分析时间，选择不同的解题方法来解决问题，在收获解题喜悦和成就感同时，在头脑中更加深刻的理解记忆。但是教师不要过分急于求成，而是要循序渐进，帮助学生高效学习数学知识的同时，强化数学学科素养，为后续深入学习奠定基础。

3.实践分析。

数列教学设计中，应坚持学生学习为核心，教师主要是起到引导作用，具体教学模式的选择，则是要充分契合不同教学内容灵活选择，以期取得预期效果。如，等差数列前n项和公式推导中，认真吸收不同教师的不同诠释方法，一种是围绕教师为主体，另一种则是围绕学生为主体，对比分析不同的教学效果。前者以教师讲解方式为主，但受限于教师自身能力限制，无法带给学生良好的启发和引导，因此学生的思想存在偏差，难以最大程度上调动学生学习热情。同时，由于公式推导过程生硬、枯燥，不可避免的弱化学习效果。后者可以将公式推导和梯形面积公式有机整合在一起，营造轻松、舒适、趣味的教学情境，便于将繁琐、复杂的公式推导精简化，直观呈现在学生面前。此种方式，有助于最大程度上激发学生学习热情，集中注意力投入其中，取得理想的学习效果。

对于一些经验丰富的教师，在长期实践摸索中已经沉淀出独特的想法，并且被实践证明为有效的学习方法。如，等差数列概念教学，可以结合以往所学的数列通项公式内容，巧妙引入新课内容，承上启下，加深学生的理解和记忆。如，已知数列{an}通项公式为an=3n-2。（1）计算a1，a2，a3，a4；(2)计算a2-a1，a3-a2，a4-a3，得到三个数值后，猜想对任意正整数n都有an+1-an的值为同一常数。如果不是，则说明理由。通过此种方式，令学生从具体立体中把握等差数列特征，在趣味化的情境中来巩固学生所学知识，切身感受到等差数列本质所在，提升学习效果的同时，还可以有效锻炼学生逻辑思维能力和解题能力，为后续学习奠定基础。