计及损耗的超磁致伸缩材料参数提取及有限元仿真应用

韦艳飞 杨 鑫 陈钰凯 杨明智 姚 锐

计及损耗的超磁致伸缩材料参数提取及有限元仿真应用

韦艳飞1杨 鑫1陈钰凯1杨明智1姚 锐2

（1. 国家电能变换与控制工程技术研究中心（湖南大学） 长沙 410082 2. 湖南省航天磁电有限责任公司 长沙 410219）

有限元法（FEM）是换能器设计的重要手段。超磁致伸缩换能器的核心振子——超磁致伸缩材料在应用中存在电磁损耗、机械损耗和磁机耦合损耗等。而现有的有限元仿真软件中的磁致伸缩模块无法对超磁致伸缩换能器进行多场耦合下的损耗的准确计算，且难以获取不同工况下的材料参数，给换能器的设计造成了较大的误差。因此相比压电模块，有限元仿真中的磁致伸缩模块仍未得到广泛应用。该文通过对压电和磁致伸缩的机电耦合的有限元控制方程的数值比拟，利用压电模块实现了对超磁致伸缩换能器的有限元仿真，并利用材料复参数对损耗进行表征，实现了超磁致伸缩换能器计及损耗的有限元仿真。为得到超磁致伸缩材料的特性参数，利用平面波法（PWM）对磁-机耦合特性参数测试平台进行阻抗建模分析，通过粒子群算法提取不同预应力下考虑损耗的特性材料参数，并将所得参数代入有限元仿真软件COMSOL Multiphysics中进行谐响应分析，所得结果与PWM模型结果及实验阻抗曲线吻合良好，证明了所提方法的可行性和准确性。

材料复参数 损耗 阻抗建模 粒子群算法 有限元法

0 引言

稀土超磁致伸缩材料（Terfenol-D）在磁场的作用下能产生巨大伸缩形变，它具有应变大、能量密度高、反应速度快、耦合系数高等特点[1]，是超磁致伸缩换能器的核心振子。超磁致伸缩换能器可实现电能到机械能的转换，在军事技术、航天航空、海洋探测等领域有重要的应用[2-3]。因此，对超磁致伸缩换能器的设计进行研究有重要意义。作为换能器设计的重要手段，有效可靠的有限元仿真对换能器的研究设计意义重大[4]。

利用COMSOL Multiphysics中的压电模块对压电换能器的仿真技术的应用广泛[5]，但由于超磁致伸缩材料在换能器工作时存在电磁损耗、机械损耗和磁机损耗等[6-7]，COMSOL中的磁致伸缩模块在电-磁-机多场耦合下的计算复杂，无法计及损耗效应[8]。J. C. Slauter[9]利用COMSOL的磁致伸缩模块进行了超磁致伸缩换能器阻抗特性的有限元仿真并且拟合了实验曲线，但其在仿真中所设置的材料参数与实际工况条件下不同，损耗计算在多物理场的耦合下仍未实现，从实验与仿真结果可见较大误差。因此，目前对超磁致伸缩换能器的仿真大多根据文献[10-11]所提出的压磁-压电比拟的方式，利用压电模块对超磁致伸缩换能器进行有限元仿真计算。此方法可对换能器的机械振动频率进行验证，但仿真中无法考虑超磁致伸缩材料的损耗、漏磁等影响，且不同工作条件下影响换能器性能指标的材料参数（柔顺系数、压磁系数、相对磁导率）难以获取[12]。因此，该有限元仿真方法得到的阻抗曲线与实际测量的结果通常存在较大误差。故在进行超磁致伸缩换能器的仿真研究中，必须对不同工作条件下的超磁致伸缩材料的损耗进行考虑，且必须对材料的特性参数进行提取。

目前，对压电材料参数表征及考虑其损耗研究较为成熟。文献[13-14]利用将弹性、压电和介电损耗视为复合材料常数虚部的方法考虑材料的损耗特性。为得到表征压电材料特性的参数，文献[15-16]根据文献[17]建立的含材料复参数的压电换能器的平面波法（Plane Wave Method, PWM）等效电路模型，通过智能优化算法最小化模型阻抗曲线与实验测量曲线，辨识出了精确的压电材料参数。文献[18-20]利用所辨识的压电材料参数进行有限元仿真计算，仿真结果与实验吻合较好，表明可通过建立压电换能器PWM等效电路提取材料复参数，并利用所提取的复参数进行压电换能器的有限元仿真。

超磁致伸缩材料和压电材料都可通过设置带虚部的材料复参数来表征损耗，且COMSOL的压电分析模块中可设置复参数进行考虑损耗计算。本文通过对比压电机电耦合与磁致伸缩机电耦合的有限元控制方程，通过压电-压磁数值比拟的方法利用COMSOL的压电分析模块进行超磁致伸缩换能器有限元的仿真分析，且通过设置材料复参数考虑损耗。本文通过建立考虑超磁致伸缩棒材损耗的磁-机耦合特性参数测试平台的PWM等效电路模型，利用粒子群优化算法拟合其在不同预应力下的阻抗特性曲线，从而得到不同预应力下的材料复特性参数；再将其代入COMSOL中进行阻抗特性分析，通过对比有限元仿真结果、平面波模型阻抗曲线和实验测量曲线，验证了利用COMSOL的压电模块，通过数值比拟，且利用材料复参数进行计及损耗的超磁致伸缩换能器有限元仿真方法的可行性和准确性，为超磁致伸缩换能器的研究设计提供了重要支撑。

1 换能器有限元控制方程

1.1 机-电耦合方程类比

压电的机-电耦合有限元控制方程为

式中，为质量矩阵；为阻尼系数矩阵；E为恒定电场下的刚度矩阵，其逆矩阵为柔顺系数矩阵E；为机电匝数比矩阵，T为其转置矩阵；S为夹紧电容矩阵；为力矩阵；为电荷向量；为位移向量；为电压向量。

磁致伸缩的机电耦合有限元控制方程表示为

在压电换能器中，式（1）中spiez/(E)，S=Ss2/，E=E/，其中和分别为换能器的面积和长度，s为压电陶瓷片数，E为恒定电场下的柔顺系数矩阵，piez为压电耦合系数矩阵，S为恒应变下的介电常数矩阵。对于相同面积和长度的超磁致伸缩换能器有：m=tmag/(H)，S=St2/，H=H/，t为磁致伸缩换能器线圈匝数，H为恒定磁场下的柔顺系数矩阵，mag为压电耦合系数矩阵，S为恒应变下的磁导率矩阵。将压电换能器的材料参数与超磁致伸缩换能器的材料参数等效为

当t=s时，则有m=，S=S，H=E。将压电换能器的输入电压与超磁致伸缩换能器的输入电流也进行等效（piezmag）后，式（1）和式（2）输入侧（左侧）形式完全相同。因此，超磁致伸缩换能器的电压与压电换能器的电流等效的数值也可进行等效（magpiez），则超磁致伸缩换能器的阻抗值（mag=mag/mag）可直接从压电换能器导纳计算结果值（piez=piez/piez）中得到。

一般s≠t，但当满足magt=piezs且St2=Ss2时，磁致伸缩换能器的输入阻抗数值也可与压电换能器的输入导纳直接进行数值等效，即

综上所述，压电换能器与超磁致伸缩换能器的机电耦合有限元计算方程在数学上的表达形式相同，因此可通过数值比拟的方法，利用有限元中的压电模块对超磁致伸缩换能器进行分析。

1.2 损耗类比

压电材料与超磁致伸缩材料都是重要的功能材料，参照压电材料对损耗的描述，可通过引入复参数的方法考虑超磁致伸缩材料的损耗。

恒预应力恒电场强度下工作的压电换能器中存在机械损耗、机电耦合损耗及介电损耗。当考虑这些损耗时，可用带虚部的复参数来表示，即

机械损耗、机电耦合损耗和介电损耗分别通过柔顺系数E、压电系数piez及相对介电常数T的虚部表示。

恒预应力恒磁场强度下工作的超磁致伸缩换能器存在着机械损耗、磁机耦合损耗和磁损耗，分别利用复数的柔顺系数H、压磁系数mag和相对磁导率T表示，即

机械损耗产生的主要原因是材料的内摩擦；耦合损耗来自材料在进行能量转换时由于材料的固有缺陷而导致的损耗，对于压电换能器为电-机耦合损耗，对于超磁致伸缩换能器为磁-机耦合损耗；压电材料作为电介质材料，其介电损耗主要由介质的弛豫引起；超磁致伸缩材料作为铁磁材料，磁导率虚部主要描述在磁场作用下磁滞、涡流等损耗。

压电材料和超磁致伸缩材料均利用复参数进行材料损耗的考虑后代入各自对应的有限元控制方程，二者的有限元控制方程的数学形式仍然相同，因此进行复参数之间的代换后，仍可通过数值比拟的方法，利用有限元中的压电模块对超磁致伸缩换能器进行分析。

2 磁-机耦合特性参数特性平台的等效电路及参数提取

不同工作条件下的超磁致伸缩材料的特性参数不同。为得到超磁致伸缩材料的磁-机耦合特性参数，本文通过建立如图1所示的磁-机耦合特性参数测试平台的PWM等效电路模型，利用粒子群算法拟合实验曲线来获取不同预应力下的超磁致伸缩材料的磁机耦合特性参数。为使计算更方便，本文采用简单的纵振型设计，平台由两端对称的黄铜组成前后质量块，中间为超磁致伸缩Terfenol-D棒，棒材与质量块中间放置切割的永磁体，为棒材提供偏置磁场；棒材的预应力通过碟簧和预应力螺栓施加，在本文中，采用6片碟簧对合的方式，利用高精度的游标卡尺测量碟簧的行程量，根据GB/T1972—1992蝶形弹簧标准，通过蝶簧的行程量计算所施加的预应力；棒材上绕=128匝线圈，为换能器提供励磁磁场。为减小漏磁，支架杆和螺栓均为不导磁的不锈钢材料。

图1 磁机耦合特性参数平台

对于图1所示平台，其主要质量集中于质量块上，超磁致伸缩棒作为振子产生驱动力带动质量块振动，而平台的其他部分质量较小，且不作为驱动源，故忽略不计。

2.1 Terfenol-D棒的等效电路

其中

超磁致伸缩Tefenol-D棒计及损耗后的等效电路如图2所示。

由式（13）可知，考虑损耗时，为复数形式，实部表示声速，虚部表示波幅的衰减，且实部较不考虑损耗时的值有所减小；不考虑损耗时，棒材机械阻抗只有虚部，呈感性。进行实部、虚部分离后，机械端阻抗实部对应耗能元件，虚部为“储能”元件。

2.2 质量块的等效电路

质量块为圆柱状，并假定其长度为0，横截面积为0，当质量块两头收到外力作用时，将发生形变。

根据质量块的振动方程及其边界条件，得到质量块的等效电路模型表达式为

根据式（7）和式（16）以及超磁致伸缩棒与质量块的串联关系，得到两端质量块对称的磁-机耦合特性参数测试平台的等效电路如图3所示。

图3 磁-机耦合特性参数测试平台等效电路

因此图3所示等效电路的电端输入阻抗最终可表示为

平台的相关结构参数见表1。

表1 磁机耦合特性参数测试平台结构参数

Tab.1 Parameters of magnetic coupling characteristic test platform structure

黄铜全部参数已知，未知参数为超磁致伸缩材料的柔顺系数H、压磁系数、相对磁导率T，而这三个参数对超磁致伸缩换能器的性能（如阻抗特性、声源级、电声效率等）有着至关重要的影响，且不同工作条件下的参数值不同，因此，需对棒材的这三个重要参数进行提取。

2.3 粒子群算法

式中，为规模为的粒子种群中的第个粒子；rand()为系统随机生成的0～1之间的随机数；pbest为第代粒子的最优解；gbest为该组所有粒子中粒子的最优解；为惯性系数；1和2为学习因子。

为使PWM模型阻抗曲线拟合实验测量阻抗曲线，将目标函数()定义为图3所示电路模型的输入阻抗式（17）与实验测量的方均差，即

式中，()、()分别为实验测量的电阻和电抗；为数据点的个数。

粒子群算法程序流程如图4所示。

图4 粒子群算法流程

3 实验结果分析

本文利用阻抗分析仪对平台进行阻抗测量，如图5所示，由于超磁致伸缩棒材最佳预应力偏置通常在20MPa内，本文得到了平台在6.9MPa、10MPa、15MPa和20MPa四组不同预应力下的阻抗曲线。

图5 阻抗测试平台

为得到不同预应力下的材料特性参数，本文利用Matlab对所建立的PWM模型等效电路模型进行编程，通过粒子群算法拟合实验曲线，得到超磁致伸缩材料的特性参数，结果见表2。不同预应力下进行粒子群算法辨识的适应度值如图6所示。

表2 不同预应力下的材料特性参数

Tab.2 Material characteristic parameters under different prestresses

图6 适应度值变化

为验证此有限元仿真方法的可行性与准确性，对图1的测试平台进行有限元仿真。图1测试平台的有限元仿真与换能器的有限元仿真涉及相同的有限元控制方程，仿真模块及步骤均相同，因此可以将其看作一个结构简单的纵振型磁致伸缩换能器。

将得到的复参数（表1）进行数值比拟后代入有限元仿真软件材料参数矩阵的对应位置中，其余位置满足关系[23]：11=22，12=21，23=32，55=66=2(11-12)，31=32=-0.533，15=24，11=22。

在无载荷、位移和速度初始值均为0的自由边界条件下，20MPa时对应的测试平台的COMSOL的模态仿真如图7所示，为典型的纵振模态。

进行谐响应仿真得到的不同预应力下的有限元阻抗计算曲线，其与平面波模型及实验测量曲线对比如图8～图11所示。

图7 磁机耦合特性测试平台的模态仿真

图8 6.9 MPa预应力下的阻抗曲线

图9 10MPa预应力下的阻抗曲线

图10 15MPa预应力下的阻抗曲线

图11 20MPa预应力下的阻抗曲线

由图8～图11可得，在这四组不同预应力下，建立的平面波模型和有限元仿真结果都能较好地拟合实验曲线，特别是在谐振频率附近，仿真曲线与实验曲线较为吻合，表明通过压电换能器与超磁致伸缩换能器有限元控制方程的数值比拟，并利用复参数来考虑损耗的有限元仿真是可行的。通过对比有限元仿真和平面波模型和实验测量结果可以看出，有限元仿真结果与平面波模型结果完全拟合，表明可以直接通过平面波模型提取超磁致伸缩材料磁-机耦合特性参数代入有限元中进行仿真分析，这对于超磁致伸缩换能器的设计研究有重要的意义。

由图8～图11可以看到，平面波模型和COMSOL有限元仿真曲线与实验曲线没有完全拟合，存在误差。本文以阻抗幅值的方均差和相角的方均差来衡量模型之间以及模型与实验测量结果的误差大小，如图12所示，其中mse1、mse1分别为平面波模型阻抗幅值、相角与实验测量的误差；mse2、mse2分别为有限元仿真阻抗幅值、相角与实验测量的误差；mse3、mse3分别为平面波模型阻抗幅值、相角与有限元仿真结果之间的误差。

图12 仿真模型与实验误差

平面波模型和有限元仿真中，均没有考虑频率和漏磁的影响。本文通过设置一固定常数值作为超磁致伸缩材料特性参数的虚部来表示损耗。实际上，这些损耗，尤其是影响较大的涡流损耗是与频率相关的。为了降低平面波模型参数提取与有限元仿真的计算成本，本文将与频率相关的虚部设置为与频率无关项，在谐振频率附近较窄的范围内进行参数提取来拟合实验曲线。另一方面，本文所利用的磁-机耦合特性参数测试平台的磁路开放，而棒材本身的相对磁导率并不大，存在漏磁。但在平面波建模和有限元仿真中为了能忽略漏磁的影响，在实验中将线圈紧绕于棒材上，且线圈绕满整根棒材，使漏磁尽可能的小；而且在建模过程中忽略了永磁体的影响，永磁体为超磁致伸缩棒材提供了偏置磁场，且在交流磁场作用下，永磁体也存在一定涡流损耗，对换能器的阻抗特性的也有影响。因此，利用粒子群算法，根据本文所建立的平面波等效电路模型去辨识参数，所得的模型阻抗结果与实验测量仍有一定误差，这体现在远离谐振峰附近的区域。

4 结论

本文通过搭建磁-机耦合特性参数平台的平面波模型提取了不同预应力下的带虚部的超磁致伸缩材料特性参数，将所提取的材料的复参数代入COMSOL进行阻抗分析，实现了有限元计算结果对实验阻抗曲线的拟合，验证了考虑损耗的数值比拟方法的可行性及参数提取的准确性。本文结论如下：

1）通过粒子群算法拟合实验曲线得到材料特性参数，此方法相比于直接根据定义进行材料参数测量的方法相比更为简单快捷。且超磁致伸缩材料存在的损耗可通过相应的材料特性参数的虚部表示，通过此方法还可直接得到表征材料损耗的材料参数的虚部。

2）不同预应力下的超磁致伸缩材料的磁-机耦合特性参数提取结果表明，超磁致伸缩材料的柔顺系数、压磁系数和相对磁导率随预应力的变化而变化。对不同工作条件下的磁-机耦合特性参数进行提取，可为后续超磁致伸缩换能器的研究与设计提供关键的数据支撑。

3）本文所用模型未对永磁体进行考虑，忽略了磁路中漏磁的影响，且还未考虑涡流损耗的频率相关性，模型仍需进一步改进。今后将以此进行下一步的研究。

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Parameter Extraction and FEM Simulation of Giant Magnetostrictive Transducer Considering Losses

Wei Yanfei1Yang Xin1Chen Yukai1Yang Mingzhi1Yao Rui2

（1. National Engineering Research Center for Power Conversion and Control Hunan University Changsha 410082 China 2. Hunan Aerospace Magnetoelectric Co. Ltd Changsha 410219 China）

Finite element method (FEM) is an important means for transducer design. As the core of the giant magnetostrictive transducer, giant magnetostrictive rods generate electromagnetic losses, mechanical losses and magnetic coupling losses in operation. The magnetostrictive module in the existing FEM simulation software is unable to calculate the losses of the giant magnetostrictive transducer under multi-field coupling, and what’s more, the parameters of the giant magnetostrictive material under different working conditions are unavailable, which causes huge errors in transducer design. Therefore, compared with the piezoelectric module, magnetostrictive module in FEM software is still not widely used. In this paper, by comparing the FEM governing equations of piezoelectric electromechanical coupling and magnetostrictive electromechanical coupling, the FEM simulation of giant magnetostrictive transducer is realized by using the piezoelectric module, and losses are considered by using complex quantities of material parameters. For characteristic parameters of giant magnetostrictive material, the plane wave method (PWM) is applied on the test platform of magneto-mechanical coupling characteristics for impedance modeling analysis, material parameters are extracted through the particle swarm algorithm under different pre-stress conditions, and these parameters are used in COMSOL Multiphysics for harmonic response analysis. The results obtained are in good agreement with those obtained in experiments and PWM model, which proves the feasibility and accuracy of the proposed method.

Complex material constants, losses, impedance modeling, particle swarm optimization, finite element method (FEM)

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210357

TM271；TM134

韦艳飞 女，1996年生，硕士研究生，研究方向为电声变换技术与装备。E-mail：wyf_8866@163.com

杨 鑫 男，1987年生，教授，博士生导师，研究方向为电力电子技术、电力电子器件应用、电声换能系统。E-mail：xyang@hnu.edu.cn（通信作者）

国家自然科学基金重点资助项目（51837005）。

2021-03-15

2021-06-17

（编辑 赫蕾）