云制造环境下考虑不确定性的产品配置优化

李 嘉,杨 东

(东华大学 管理学院,上海 200051)

云制造是在“制造即服务”的理念上,利用云计算技术为生产企业提供了一种低成本、网络化和全球化的制造服务,从而实现生产从大规模模式转向面向用户的个性化服务模式[1-2]。根据Einpresswire发布的统计数据,2018年全球云制造市场规模为387亿美元,预计到2024年全球云制造市场规模将增长至1 190亿美元。而2019 年国内云计算市场规模也达到了1 382亿元。典型的国内云制造平台有海尔公司的COSMOPlat 云制造平台、中国航天的“航天云网CASICloud”以及富士康工业互联网平台BEACON。随着制造业标准化和通用化的提高,现代制造企业已从单一的产品制造转向多个制造商分部件或分工序协作完成。因而,越来越多的企业开始转向云制造模式,从而实现产品和零部件的生产和制造。产品配置作为实现个性化定制的主要技术之一,可以利用云制造技术实现其对客户的个性化配置[3]。

产品配置是实现大规模定制的主要技术之一[4-5]。在大规模定制下,产品被设计成由实现了产品功能的各种模块所组成,而模块又分为共性模块、变型模块和可选模块等[6]。通过对这些模块的选择和组合,从而实现了对顾客个性化的配置[7]。传统上产品配置的研究主要都假定模块的生产制造均由本企业完成,因而其研究主要关注于如何获得一个可行的配置。所采用的方法是应用人工智能中的问题求解技术,包括基于规则的推理[8]、基于实例的推理[9]以及基于约束满足的方法[10]。然而,随着产品变型及其模块实例个数实例的增加,产品配置被当成一个优化问题[11-12]。Aldanondo 等[11]采用整数规划的方法建立产品配置优化模型,从而获得最优的配置。Dou等[12]采用交互式的遗传算法来优化顾客协同参与的产品配置。Badurdeen等[13]考虑产品模块的可回收性,从产品生命周期的可持续性角度出发,采用多目标优化遗传算法NSGA_II来优化产品配置决策。此外,随着全球供应链网络的兴起,一些学者将产品配置的研究和供应链管理的研究相结合,从而借助于供应链网络来实现产品模块的定制和生产。Khalaf等[14]提出将模块的制造由供应链上的制造厂来完成,其优化目标是最小化供应链总的成本,并建立了供应链环境下的混合整数规划模型。Yang等[15]提出将产品设计者和模块供应链看成是博弈决策的双方,产品设计者决策目的是最小化总的产品设计和制造成本,而供应链决策者的目标是最小化总的供应链成本,并提出了基于博弈论的决策优化方法。尽管基于供应链的产品模块定制提供了一种借助供应链上下游企业来实现模块生产和产品配置的方法,但供应链上下游企业属于一种紧耦合的状态,因而供应链下产品配置的优化目标通常是最小化供应链的总成本,包括模块的制造成本、设施的选址成本、库存管理和物流成本。与之对照,云制造是一种通过云服务的方式实现了产品模块化的定制,主企业和云制造商属于一种服务和被服务的方式,主企业只需支付云制造服务费用就实现模块的交付,而无需考虑云制造商的库存管理和设施选址等问题,属于一种松耦合的方式。

但是,上述研究都假定所有的参数都是确定的。在实际场景中,模块的制造成本、制造提前期都受市场、供应链的不稳定性等因素而不可避免地出现波动。因此,如何处理产品配置问题中的不确定性已引起研究人员的重视[16-20]。目前,主要有两种处理产品配置中不确定性的方法,即模糊数法和随机规划方法。Liu等[18]采用模糊数学的方法来表示产品模块提前期的不确定性,基于模糊表达的提前期采用多目标模糊优化方法进行产品配置模块的决策。文献[19-20]中考虑模块部件的提前期不确定性,提出采用随机规划的方法来建模不确定情况下的产品配置优化问题,从而可以用随机规划的算法(如Benders分解方法)来求解产品配置优化问题。然而,上述两种方法都存在一定的不足。基于模糊数的方法过于依赖主观因素,而基于随机规划的方法都假定参数的变化服从一定的概率分布。这一假设过于严格,因为实际中企业很难准确估计这些参数的概率分布。

鲁棒优化作为处理不确定性的优化方法[21],并不要求事先知道不确定参数的概率分布,它着力于优化在最坏情况下的目标值。因此,鲁棒优化适合于求解现实问题中参数概率分布难以准确估计的优化问题。Soyster[22]首次提出了鲁棒优化的概念来求解线性规划中的不确定性。随后,Ben-Tal等[21]提出了参数的不确定集分别为区间和椭球的鲁棒优化方法。然而,基于区间不确定集的鲁棒优化在实际中过于保守,因为它假定所有参数的最坏情形会同时发生。尽管基于椭球不确定集的鲁棒优化能够避免这种情况,但其鲁棒等价模型属于二阶锥规划,存在难于处理和求解等问题。针对基于区间和椭球鲁棒优化方法的不足,Bertsimas等[23]进一步提出了基于budget的鲁棒优化方法,它通过budget控制参数来调节鲁棒最优性和约束违背之间的关系,从而使得决策者可以根据自己的风险意识来平衡决策的保守性和目标的最优性。此外,基于budget的鲁棒优化由于其等价模型也属于线性规划模型,因而具有模型易于处理性和可解性等优点,已广泛应用于各种鲁棒优化问题的求解中。自从鲁棒优化问世以来,研究学者已将鲁棒优化应用于应急服务设施选址、呼叫中心的运营安排、供应链网络设计等包含不确定性的优化问题中。孙华丽等[24]考虑了需求不确定性和运输时间不确定性下的应急设施选址和路径的鲁棒优化。邱若臻等[25]扩展了报童模型,研究了需求参数的不确定集分别为区间和椭球情况下的多市场鲁棒优化模型。于淼等[26]针对呼叫中心实际运营中顾客到达不确定性的特点,采用鲁棒离散优化方法,建立呼叫中心人员配置的鲁棒优化模型。彭春等[27]考虑了各应急医疗服务站点的需求不确定性,分别构建了区间、椭球和多面体不确定集,比较了在这些不确定集下的应急医疗服务站鲁棒选址决策方案。于冬梅等[28]同时考虑了需求不确定性和设施毁坏情景,建立了服务能力有限情况下的可靠性设施选址鲁棒优化模型。张梦玲等[29]针对应急救灾情况下的资源配置优化,提出了不确定需求下考虑供应商参与的两阶段鲁棒优化模型。Baron等[30]考虑具有多个周期下的设施选址问题,提出了采用区间和椭球不确定集来刻画需求的不确定性,并建立了相应的鲁棒优化模型。Alem 等[31]研究了家具行业的生产计划,并考虑了生产成本和需求的不确定性,建立了基于budget的鲁棒优化模型。Zokaee等[32]提出采用鲁棒优化的方法来优化供应链设计,并考虑了需求、供应链产能和运输成本的不确定性,以面包供应链为例阐述了该方法的有效性。Lu等[33]研究了顾客需求不确定下的车辆路径问题,建立了基于budget的鲁棒优化模型,并开发了相应的分支-定价算法来求解该优化模型。

综上所述,鲁棒优化是处理优化问题中的不确定性的有效方法。针对现有产品配置研究的不足,考虑到云制造商的制造数据(如云制造成本和时间)的概率分布由于数据稀少或者企业数据保密问题难以精确获取,而云制造数据区间(即上下界)相对容易获得,故采用可调节的鲁棒优化方法研究云制造环境下的产品配置鲁棒优化问题,并考虑模块的云制造成本和云制造时间的不确定性。采用基于budget的区间不确定集来刻画云制造成本和云制造时间的不确定性,并建立了相应的鲁棒优化模型。通过对偶理论,将其转化为鲁棒线性等价模型。采用一个配置案例阐述了所提出的鲁棒优化方法的有效性,并进行了鲁棒控制参数、扰动比例的灵敏度分析。最后,采用蒙特卡洛仿真方法对鲁棒解进行数值实验,从而证明了鲁棒优化模型比确定性模型相比,具有能够保证约束满足、改进产品的交货期、鲁棒解更为稳定等优点。

1 模型描述

1.1 问题叙述

某大规模定制企业采用了基于模块化的产品结构,即一个产品由实现了不同功能的多个模块所组成,包括共性模块、变型模块和可选模块。而变型模块又有多个可候选的模块实例,这些模块实例在产品性能、价格方面略有差异,从而体现了产品的差异化,以满足不同顾客的需求。同一模块的模块实例是“多选一”关系,即XOR(Exclusive OR)关系,配置时只能从中选择一个实例。此外,模块之间存在各种配置规则,包括互斥规则、条件选择规则等。其中,互斥规则是指两个模块的模块实例不能存在于相同的配置中。而条件选择规则是指如果选择一个模块实例,则必须选择另一个模块实例。由于云制造具有成本低廉、制造效率高、无需购买专用设备和一次性固定投资等优点,因而该定制企业采用云制造模式进行各种模块的制造和生产,即本企业只负责模块的配置设计,而模块的制造均由提供各个制造任务的云制造商所完成。由于云制造网络环境下制造任务的复杂性和多样性,模块的云制造成本和云制造时间具有不确定性,因而云制造环境下的产品配置问题就是如何在制造成本和制造提前期不确定的情况下,在保证顾客需求和配置规则的前提下,确定产品的模块配置方案,从而使得总的配置成本最小。

根据产品配置的特点,做出如下假设:

(1)由于共性模块在所有的产品中必须进行选择,它们并不影响配置决策结果,因而在配置决策中并不考虑。

(2)顾客需求通常表现为对产品功能或性能的需求。由于根据产品的设计特性,存在从功能域到物理域(模块)的映射关系,因而根据映射关系,顾客需求可以简化为对产品模块的选择要求。

(3)模块的制造均采用云制造的方式,主企业只负责模块的设计。并假定已完成云制造商的选择和匹配决策,因而每个模块的云制造商是已知的。

(4)模块的制造任务是顺序进行,只有前一个模块完成后,后一个模块的制造任务才能开始。但制造任务的排序是已知和给定的,因而本问题并不研究云制造任务的排序。

1.2 符号说明

建立优化模型时,将使用一些符合表示集合、参数、决策变量等,其中,“～”表示参数是不确定参数,如

集合及符号:

I——顾客订单的集合,i∈I

J——模块的集合,j,j＇∈J

K——模块实例的集合,k,k＇∈K

Uc——参数的不确定集合

Ut——参数的不确定集合

XORj——模块j的“多选一”候选实例集合

INC——互斥规则集合,(jk)∈INC

SEL——条件选择规则集合,(jk)∈SEL

CR——顾客需求表达的集合,rijk∈CR

jk——模块j的第k个实例

参数:

ACjk——模块实例jk的装配成本

——模块实例jk的云制造成本

ATjk——模块实例jk的组装时间

——模块实例jk的云制造时间

uj——产品中所包含的模块j个数

rijk——顾客i对模块实例jk的要求(=1,表示顾客选择该模块实例;=0,表示顾客不选择该模块实例)

DTi——订单i的交付时间

ai——订单i的产品数量

决策变量

xijk——对于订单i,是否选择模块实例jk(=1,选择;=0,否)

1.3 模型建立

根据上述参数和符号,建立如下不确定情况下的产品配置模型(P):

在模型(P)中,式(1)为目标函数,即配置总成本,它包括所有模块的配置设计成本和模块的云制造成本。其优化目标是最小化最差情况下的配置总成本,即Min-max问题。式(2)表示隶属于同一模块的可候选模块实例之间的XOR 关系,即只能从该模块的所有候选模块实例中选择一个。式(3)、(4)表示两种不同类型的配置规则,即互斥规则和条件选择规则。其中,式(3)为互斥规则,即一个模块实例和另一个模块实例不能同时选择在一个产品中。式(4)为条件选择规则,即如果选择一个模块实例,则必须选择另一个模块实例;反之,则不成立。式(5)为产品的交付期限制,即产品的生产总时间要满足顾客对该产品交付期的要求,其总生产时间包括模块的云制造时间和模块的配置设计时间。式(6)为顾客对模块的选择要求。式(7)为0-1整数变量约束。

2 鲁棒优化处理

由于模块的云制造成本、云制造时间存在不确定性,如果采用随机规划等方法,则存在着其分布函数难以估计、概率难以获取等问题。而鲁棒优化作为一种处理不确定性优化的方法,它主要关注在最差情况下的最优值,并不要求对不确定参数的分布函数或概率做出严格的估计。基于区间的鲁棒优化仅仅要求不确定参数在一个区间内取值。这对实际问题而言,获取每个参数的区间范围是相对容易的。因此,采用基于budget的区间鲁棒优化的方法处理云制造成本和时间的不确定性。

2.1 云制造成本的不确定性处理

其中,cjk和为云制造成本的名义值和最大偏离值。引入budget控制变量Γ1,其目的是根据决策者的风险意识来调整参数的变动个数,从而调整模型的鲁棒性和最优性。其含义是不可能所有参数的不确定性都同时发生,最多可能有Γ1个参数发生变化、且另一参数其值改变(Γ1-Γ1。引入集合J1={(j,k)＞0}表示具有不确定变化的参数下标集合。由于产品配置中模块具有XOR 结构,故Γ1的取值为区间为[0,|J|],其取值可以为整数或实数。

根据目标函数中包含不确定参数的鲁棒优化处理方法,对于目标表达式(1),引入变量η,则目标函数等价于:

式(9)包含不确定参数,根据其不确定集Uc的定义,可以转化为

由于制造成本的鲁棒budget控制系数为Γ1,引入保护函数β(Y,Γ1),则式(10)的鲁棒表达可以写为

式中,

定理1式(10)等价于如下线性优化问题:

证明观察β(Y,Γ1)表示的极值问题采用基于集合的表达方法,它表示从集合J1中选取Γ1个参数,其取值为1;而从集合中选取剩下的一个参数,其取值为(Γ1-Γ1)。引入[0,1]区间的实数决策变量Yjk,以表示是否从该集合中选取或部分选取该参数cjk。显然,β(Y,Γ1)也可以用如下线性规划模型表示:

根据对偶理论,模型式(13)的对偶问题可以表示为:

式中,变量ρ、λjk分别为与原问题模型式(13)中第1条和第2条约束相对应的对偶变量。根据强对偶理论,原问题模型式(13)和对偶问题模型式(14)的最优目标值是相等的。因此,将模型式(14)代入式(11)中的β(Y,Γ1)可得模型式(12),问题得证。

2.2 云制造时间的不确定性处理

模型(P)中式(5)包含云制造时间的不确定变量,定义其取值范围为即～T的不确定集

其中:Tjk为名义值;为最大偏离值。引入budget控制变量Γ2,令集合J2={(j,k)＞0}表示具有不确定变化的参数下标集合。由于产品配置中模块具有XOR 结构,故Γ2的取值区间为[0,|J|],其取值可以为整数或实数。

参照鲁棒优化模型约束右边存在不确定变量的转化方法,根据其不确定集Ut的定义,式(5)可以转化为

由于云制造时间的budget控制系数为Γ2,引入保护函数Ψi(T,Γ2),故式(15)的鲁棒表达可以写为

式中,Ψi(T,Γ2)是保护函数,令其等于:

定理2式(15)等价于如下线性优化问题:

证明观察Ψi(T,Γ2)所表示的极值问题采用基于集合的表达方法,它表示从集合J2中选取Γ2个参数,其取值为1;而从集合中选取剩下的一个参数,其取值为(Γ2-Γ2)。引入[0,1]区间的实数决策变量Zjk,以表示是否从该集合中选取或部分选取该参数～Tjk。显然,Ψi(T,Γ2)可以用如下线性规划模型表示:

根据对偶理论,模型式(18)的对偶问题可以表示为:

式中,变量ρi、σijk分别为与原问题模型式(18)中的第1条和第2条约束相对应的对偶变量。根据强对偶理论,原问题模型式(18)和对偶问题模型式(19)的最优目标值是相等的。因此,将模型式(19)代入式(16),问题得证。

根据定理1和定理2,同时考虑模块的云制造成本和时间不确定性,产品配置模型(P)的鲁棒优化等价模型(P_RO)为:

该模型中,如果令Γ1=Γ2=0,则鲁棒优化模型(P_RO)变为确定性的产品配置模型(P);如果令Γ1=Γ2=|J|,则变为基于区间的鲁棒优化模型。由于鲁棒优化模型(P_RO)是一个线性规划模型,故用商业求解器(如CPLEX)对模型进行求解。

3 案例分析

某制造企业采用基于模块的产品设计,从而便于实现对客户的个性化配置。该产品由7个功能模块(A、B、C、D、E、F、G)组成(见表1),分别实现了产品的不同功能特性。而每个模块又提供了两个可候选的模块实例,体现在产品性能或价格差异化的特征,以满足客户个性化的需求。例如,模块A 具有两个候选的模块实例A1和A2,配置时只能从中选择一个。该企业采用了云制造生产模式,即这些模块的制造均云制造给制造商,本企业只负责模块的配置设计。由于云制造生产任务的多样性和复杂性,因而存在着云制造任务成本和时间的不确定性。表1给出了云制造不确定成本以及时间的名义成本和名义时间。表2、3分别给出了产品的配置规则和顾客的配置要求。

表1 产品的模块构成及名义数据

表2 产品配置规则

由表3可以看出,为简化计算,假设顾客订单数量为1,顾客指定要求选择模块G1。此外,顾客要求的交货期为1 540 h。

表3 顾客需求

3.1 不确定性对产品配置的影响

(1)云制造成本的不确定性。将上述参数代入模型(P_RO)采用CPLEX 求解,并令Γ2=0,χ2=0。表4给出了当扰动幅度χ1为80%、鲁棒控制参数Γ1取不同值时的产品配置结果。Γ1=0即为确定模型的解。

由表4可以看出,鲁棒模型的配置总成本要高于确定模型的配置总成本。随着控制参数Γ1的增大,决策者越来越倾向于保守和谨慎,为了应对不确定性的风险,鲁棒成本也不断增加。此外,随着鲁棒控制参数Γ1的取值不同,模块的配置结果也发生改变。例如,当Γ1=2,配置结果为选择模块编号为1、3、6、8、10、12和13的模块实例,即(1,3,6,8,10,12,13),对应的模块为A(1)—B(1)—C(2)—E(2)—F(2)—G(1)。即模块A,B,G 均选择其第1个实例,模块C,D,F均选择其第2个实例。当Γ1=4,配置结果为(1,4,6,8,9,12,13),即对应的模块为A(1)—B(2)—C(2)—E(1)—F(2)—G(1)。与Γ1=2时的配置结果相比较,其区别在于Γ1=4时的配置结果中模块实例B 选择了实例2,模块E 选择了实例1;Γ1=2时模块B选择了实例1,模块E选择了实例2。其原因是,模块B(1)和E(2)的扰动成本(名义成本的80%)大于模块B(2)和E(1)的扰动成本,如果Γ1=4时仍然选择B(1)和E(2),将会导致约束式(9)不能满足,所以Γ1=4时选择了扰动成本更低的B(2)和E(1)。此外,在某些情况下,Γ1值的改变并不会导致配置结果的改变。例如Γ1=2和Γ1=3时的配置结果并没有发生改变,这是因为Γ1=2配置中模块的扰动量能够满足Γ1=3时保护函数的要求,即对于约束式(9),Γ1=2配置结果仍有足够的保护值(保护函数β(Y,Γ1)取值),从而使得约束式(9)而不违例。图1所示为Γ1取值分别为2、4和6时的模块实例选择结果。

表4 扰动幅度χ1=0.8下的模块配置结果

(2)云制造时间的不确定性。为更好地研究云制造时间的不确定性对产品配置结果的影响,令Γ1=0,χ1=0,即不存在云制造成本的不确定性。将上述参数代入模型(P_RO)并采用CPLEX进行求解,扰动比例为0.3 情况下的产品配置结果如表5所示。其中,Γ2=0即为确定模型下的配置解。

表5 扰动幅度χ2=0.3下的模块配置结果

由表5可以看出,鲁棒配置总成本高于确定模型下的配置成本。此外,随着鲁棒控制参数Γ2的增加,模块的总的配置成本也不断增加。其原因是,随着Γ2的增加,表示扰动的模块个数越多、总的制造时间不确定性增大。为应对这种不确定性,满足产品交付期的限制,将选择成本高、但制造时间较短的模块,从而导致总成本的增加。例如,在Γ2=4时的配置结果为(1,4,5,8,9,12,13),即A(1)—B(2)—C(1)—D(2)—E(1)—F(2)—G(1)。在Γ2=6时的配置结果为(1,4,6,8,9,11,13),即A(1)—B(2)—C(2)—D(1)—E(1)—F(2)—G(1)。两者的区别在于前者选择了模块C(1)和F(2),而后者选择了模块C(2)和F(1),其余模块选择均相同。这是因为模块C(1)和F(2)的云制造时间的扰动值(名义值的20%)比模块C(2)和F(1)的云制造扰动值更大,会导致约束式(5)不能满足,所以当Γ2=6时,将选择扰动值更小、但制造成本更高的模块C(2),从而导致配置总成本的增加。图2所示为Γ2取值为2、4和6时的模块实例配置结果。

3.2 扰动比例的影响

进一步分析不确定参数的扰动比例对配置结果的影响。扰动比例χ1和χ2分别为20%、40%、60%、80%和100%。对于模块云制造成本的不确定性,图3所示为在不同扰动比例下目标函数(配置总成本)随鲁棒控制参数Γ1的灵敏度分析结果。在给定扰动比例下(如χ1=0.2),配置总成本随控制参数Γ1的增加而逐步增大。在给定控制参数Γ1(如Γ1=4),云制造成本的扰动幅度越大,配置总成本也越大。因此,决策者应准确地预测云制造成本的扰动幅度、并根据风险预测情况合理地选择配置结果。

在扰动比例变化情况下考虑云制造时间不确定情况下的产品配置结果,图4所示为在不同扰动比例下目标函数(配置总成本)随鲁棒控制参数Γ2的灵敏度分析结果。

由图4可以看出,在扰动比例固定的情况下(如χ2=0.4),配置总成本随着控制参数Γ2阶梯型增长。这是因为在某些情况下,尽管云制造时间出现扰动,但交货期约束式(5)仍然可以满足,所以不会导致配置解的改变。因此,在这种情况下,尽管控制参数Γ2增加(例如,当χ2=0.4时,Γ2从2改变到3),但总的配置成本仍然保持不变。此外,随着扰动比例的增大,总的配置成本也不断增加,但配置解越来越少。例如,当χ2=1.0时,仅仅在Γ2≤2有最优解,当Γ2取其他值时模型都无解。其原因是,随着扰动比例的增加,云制造时间的扰动值增大,为应对这种时间上的不确定性,保护函数的值也相应增大,从而导致满足交货期约束式(5)的配置解越来越少。由上述分析可以看出,根据扰动比例合理设置鲁棒参数的值,从而可以避免出现模型无解的情况。

3.3 同时考虑不确定性和扰动比例

前面分别分析了鲁棒控制参数和扰动比例对产品配置结果的影响。下面将同时考虑鲁棒参数Γ1、Γ2和扰动比例χ1、χ2变化时对配置决策的影响:扰动比例分别设置为0.1～0.5之间变化。图5所示为配置总成本随鲁棒参数和扰动比例的变化趋势。

由图5可以看出,随着鲁棒控制参数Γ1、Γ2以及扰动比例χ1、χ2的增加,不确定参数个数和参数的扰动值范围都不断增加。为抵御这种风险,决策者越来越倾向保守,因而配置总成本更高。此外,由于同时考虑云制造成本和时间的不确定性,鲁棒参数和扰动比例的可行取值范围也相应缩小。例如,当Γ1=Γ2=7时,扰动值＞0.2时,模型已无可行解,故与单独考虑其中一个因素相比,同时考虑云制造成本和时间不确定性的鲁棒控制参数和扰动比例的可行取值范围会更小。因此,决策者应理性地设置鲁棒控制参数和扰动比例。

3.4 约束违例概率

由鲁棒优化的定义可知,当鲁棒优化问题的不确定参数变化个数不超过鲁棒控制参数Γ时,鲁棒优化模型能够确保相应的约束100%满足,而不违背约束。但是,当不确定参数的变化个数超过Γ时,该约束可能会被违例。该约束违背的概率为[21]

其中,Φ是累积标准正态分布函数。

为进一步分析约束违背概率和配置总成本的关系,随机生成一个配置问题实例:模块数为20个,每个模块的变型实例为3个,模块的云制造成本、云制造时间、组装成本和组装时间均从[20,300]区间内随机产生。为研究约束式(5)的违背概率,保持鲁棒控制系数Γ1=0,而仅仅Γ2发生改变,即云制造成本是一个确定的参数,而云制造时间是一个扰动的参数。表6列出了当Γ2变化时,约束式(5)的违背概率。

表6 约束违背概率(χ2=0.4)

由表6可以看出,随着Γ2的增加,决策者越来越偏向保守,约束违背概率越来越低,但配置总成本也显著增加。由图6可以看出,配置总成本随控制参数Γ2边际递增。因此,设置合理的Γ2及约束违背概率对决策者至关重要。如果Γ2设置太高,则表示决策者偏向保守,约束违背率将减少,但将会导致配置总成本增加;如果Γ2设置过低,则表示决策过于冒险和乐观,尽管配置总成本将降低,但约束违背概率增加,将会导致产品的交货期不能满足顾客的要求。例如,由表6可见,约束违背概率仅为0.36%。在实际生产中,设置大于13 的Γ2值已无十分必要。诚然,决策者可以根据自己所承受的约束违背概率,合理选择合适的Γ2值。表7所示为与约束违背概率相对应的Γ2值选择,其中变动比例θ是指发生扰动的模块实例数占所有模块实例数的比值。例如,如果决策者希望约束违背概率小于0.5%,只需设置值为13。即决策者只需从60个模块实例中选择出风险最高的13个模块实例进行风险扰动分析。

表7 鲁棒参数Γ2 的选择

4 鲁棒解的质量验证

为验证鲁棒模型所求得的配置解的有效性,随机产生3个具有不同规模的配置问题实例。其中:模块的云制造名义成本cjk为[50,300]之间的均匀分布,模块的云制造名义时间Tjk为[40,160]之间的均匀分布;模块的组装成本ACjk为[20,60]之间的均匀分布,模块的组装时间ATjk为[10,40]之间的均匀分布;订单数量为1。并假定鲁棒控制参数Γ1=Γ2,扰动比例χ1=χ2。对于每个配置问题实例的不同鲁棒参数组合(Γ,χ),采用蒙特卡洛的仿真方法产生扰动的云制造时间和云制造成本,使其值落在所定义的扰动区间内。并随机仿真100次,共仿真27 000次。为了验证鲁棒解的有效性,使仿真产生的扰动模块个数小于或等于Γ,表8给出了鲁棒解和确定模型解的仿真结果比较。表8中问题实例编号|J|×|K|×|I|分别表示模块数、实例数和订单数。名义数据下的目标值是分别通过求解确定模型和鲁棒模型而得到的。

表8 鲁棒模型解与确定模型解的比较

由表8可以看出,不论是名义目标值还是仿真目标均值,鲁棒模型的目标值均高于确定模型的目标值。这是因为决策者为避免风险而付出的成本代价。但是,在仿真数据的场景下,鲁棒模型能够保证100%的满足约束,即违例解个数为0,而确定模型违背约束的比例相当高。例如,对于20×3×1 实例,当Γ=10和χ=0.35时,100次仿真中有41次都存在着违背约束的情况。平均来讲,确定模型解100次仿真有36次仿真中都存在违例解。可以看出,鲁棒模型比确定模型更能抵御不确定因素的冲击,因而其解也更为稳定,能够保证在Γ内百分之百的满足模型的约束。但鲁棒模型的配置总成本也高于确定模型的总成本,因而决策者应该平衡目标的最优性和决策的保守性,在满足产品交货期和服务质量的前提下,进行理性的最优决策。

5 结语

本文针对云制造模式下的产品配置优化问题,考虑了模块的云制造成本和时间的不确定性。采用基于budget和区间来刻画不确定集,以配置总成本之和为目标,建立了云制造模式下的产品配置鲁棒优化模型。案例分析表明,随着鲁棒budget控制参数和扰动比例的增加,决策者越来越倾向于谨慎,产品交货期的约束违背率降低,这表示产品的交货服务质量提高,但随之配置总成本会不断增加。因此,决策者应该对云制造成本和时间做出更为准确的预测,将有助于降低配置总成本。此外,决策者也应避免过度保守,过度增大budget控制参数和扰动比例,也会导致模型无解。进一步采用蒙特卡洛仿真方法,验证了鲁棒模型尽管比确定性模型具有更高的配置成本,但能够保证产品交货期约束的满足,因而鲁棒模型也更为稳健。

需要指出的是,云制造过程中模块的运输物流、环境因素(如碳排放等)以及云制造中的服务定价问题,本文并没有涉及,这将是后续研究所应该研究的内容。