对圆维曲线有关的一类问题的研完

马莉

美籍匈牙利数学家波利亚1959年提出，在数学研究与学习中合情推理占有很重要的地位，这里的合情推理及其模式，是指借助于归纳、模拟、限定、推广、猜测、检验等思维活动来认识事物、发现真理的推理形式。同學们在学习的过程中，也常常需要运用这-推理形式，对一个个具体问题恰当地进行归纳、猜想、推广，在这-过程中，培养大家的思维能力。

在解析几何的学习过程中，笔者发现了以下两个相似问题。

问题1：已知点P（1，2）是圆O：x2+y2=5上的点，过P作直线PA，PB分别交圆O于A，B两点，若直线PA，PB的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值。

证明：设直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为y-2=k（x-1）。

因为直线PA，PB的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，直线PB的方程为y-2=-k（x-1）。

设A（x1，y1），B（x2，y2）。

整理得（k2+1）（x-1）2+（4k+2）（x-1）=0，即（x-1）[（k2+1）（x1）+4k+2]=0。

问题2：已知点P（3，4）是圆O：x2+y2=25上的点，过P作直线PA，PB分别交圆O于A，B两点，若直线PA，PB的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值。

用问题1中的方法，容易得到直线AB的斜率为定值子，证明过程略。

观察问题1、问题2，不难发现有这样的相似之处：问题1中，点P的坐标为（1，2），

2问题2中，点P的坐标为（3，4），kg4。直线AB的斜率都是点P的横坐标与

纵坐标的比值。

猜想1：已知点P（xo，yo）（y0≠0）是圆O：x2+y2=r2上一点，过P作直线PA，PB分别交圆O于A，B两点，若直线PA，PB的倾斜角互补，则直线AB的斜率为定值C。

猜想2：已知点P（x0，yo）（yo≠0）是圆O：（x-a）2+（y-b）2=r2上一点，过P作直线PA，PB分别交圆O于A，B两点，若直线PA，PB的倾斜角互补，则直线AB的斜率为定值x。

猜想3：已知点P（xo，yo）（yo≠0）是圆O：（x-a）2+（y-b）2=r2上的点，过P作直线PA，PB分别交圆O于A，B两点，若直线PA，PB的倾斜角互补，则直线AB的斜

猜想1的证明：设直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为y-y。=k（x-xo）。

因为直线PA，PB的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，可设直线PB的方程为y-y0=-k（x-xo）。

设A（x1，y1），B（x2，y2）。

同理可以证明猜想2是错误的，猜想3正确，以下简要说明猜想3的证明过程。

不难看出，猜想1就是猜想3当α=0且b=0时的特殊情况。猜想1涉及的是以坐标原点为圆心的圆，其他的以坐标原点为中心的图形是否可以有相关结论呢？

猜想如下：

猜想1-1：已知点P（xo，yo）（yo≠0）是PA，PB分别交椭圆于A，B两点，若直线PA，PB的倾斜角互补，则直线AB的斜率为定值。

PA，PB分别交双曲线C于A，B两点，若直线PA，PB的倾斜角互补，则直线AB的斜率为定值。

猜想1-1的证明过程如下。

设直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为y-y0=k（x-xo）。

因为直线PA，PB的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，可设直线PB的方程为y-y0=-k（x-x0）。

设A（x1，y1），B（x2，y2）。

猜想1-2的证明过程如下。

设直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为y-y0=k（x-xo）。

因为直线PA，PB的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，可设直线PB的方程为y-y0=-及（x-xo）。

设A（x1，y1），B（x2，y2）。

由猜想1、猜想1-1和猜想1-2还可以得出更一般的结论：已知点P（xo，yo）（yo≠0）是有心圆锥曲线C：mx2+ny2=mn（mn≠0）上的点，过P作直线PA，PB分别交曲线C于A，B两点，若直线PA，PB的倾斜角互

既然有心圆锥曲线可以有这样的特性，那么圆锥曲线中的抛物线（无心圆维曲线）是否也可以有相似的特征呢？

猜想1-3：已知点P（xo，yo）（yo≠0）是抛物线C：y2=2px（p》0）上的点，过P引直线PA，PB分别交抛物线C于A，B两点，若直线PA，PB的倾斜角互补，则直线AB的斜率为定值。

证明：设直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为y-yo=k（x-xo）（k≠0），直线PB的方程为y-yo=-k（x-xo）。

设A（x1，y1），B（x2，y2）。

从以上证明过程可以看出，从对具体问题的学习研究中，发现、探寻一般意义下的共性结论，去研究事物变化中的不变性，这是-切科学探索活动中最具有生命活性的永恒话题。

（责任编辑 徐利杰）