带形状参数的三次三角DP曲线的构造

彭兴璇， 王 研， 宋九锡

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

在计算机辅助几何设计中,随着曲线曲面设计的不断发展和完善，人们对新型曲线的构造产生了兴趣，Delgado和Pea[1]提出了一类全新的DP-NTP曲线，这类曲线具有端点插值性、数值计算稳定性、线性计算复杂度等性质,在一定程度上弥补了已有曲线的不足，在几何设计中有着良好的应用前景.陈杰等[2]给出一类带形状参数的DP-NTP曲线及其应用；吴晓勤等[3]给出三角域上带双参数的四次DP基函数，是三角域上三次DP基函数的扩展；陈福来等[4]给出广义三次DP曲线及其形状分析；彭兴璇等[5]给出带两个形状参数的三次DP基函数，并讨论了关于形状参数的曲线G1和G2连续条件；张迪等给出带两类形状参数的三次λη-α-DP曲线[6]以及三次DP曲线定义区间的拓展及其形状优化方法[7].

三角多项式曲线具有多项式曲线的特点，此外它还有三角函数的优点，无需有理形式即可精确地表示圆、椭圆、抛物线等二次曲线，方便实际应用. 在这方面的工作如张纪文[8]以1,t,sint,cost为基函数构造了C-Bézier曲线；韩旭里[9]先后构造了带一个形状参数的二次、三次三角多项式曲线；韩西安等[10]提出一种类似三次Bézier曲线的带两个形状参数的三次三角Bézier曲线；Uzma Bashir等[11]构造了具有两个形状参数的有理二次三角Bézier曲线，利用G2和C2连续性给出了两段曲线的拼接条件；彭兴璇等[12]得到了切点可调的带形状参数的二阶三角Bézier曲线.

受上述思想的启发，本文基于DP曲线，将其推广首次构造了三角多项式DP曲线，该曲线具有三次多项式DP曲线的优良性质，而且还带有两个形状参数，使得曲线具有更强的表现能力，也更适用于曲线设计. 除此以外，在无需有理形式的情形下，该曲线能精确地表示圆、椭圆、抛物线等圆锥曲线.

1 预备知识

(1)

为带两个形状参数μ,ν的TC-Bernstein基函数，简称μν-TC-B基函数.

定义2[14](全正基)称基函数{u0,u1,…,un}为闭区间[a,b]上的全正基，若对任意的节点序列a≤t0

定义3[15](最优规范全正基)对于一组规范的全正基B=(b0,…,bn),如果满足：对任何一个(规范的)全正基U=(u0,…,un)都有U=BK,这里K是一个Stochastic全正矩阵，那么这组规范的全正基(b0,…,bn)就是最优(规范的)全正基.

对于具有全正基的函数空间，最优规范全正基是唯一的.最优规范全正基乘以全正转换矩阵，可以生成其余全正基.

Tμ,ν={1,sin2t,(1-sint)(1-μsint),(1-cost)(1-νcost)}

中的最优规范全正基.

2 三次三角DP基函数的构造及性质

定义4[1]三次DP基函数定义为

(2)

其端点性质如下：

在μν-TC-B基函数中取μ=ν=1，得

其端点性质如下：

设三次三角DP基函数为

令三次三角DP基函数在端点处满足：

(3)

将式(3)中的条件写成矩阵形式：

得到

故

即

(4)

下面讨论矩阵H的全正性.

其余二阶子式都为0，Hij,kl表示H的第i,j行，第k,l列形成的子式.H的三阶子式分别为

其余三阶子式都为0，Hijk,lmn表示H的第i,j,k行，第l,m,n列形成的子式，从而得H为全正矩阵.

三次三角DP基函数具有如下性质：

(3)端点性质，即为式(3).

(7)对参数的单调性，即固定参数t，X0(t)和X3(t)分别是α,β的递减函数，固定参数t和其中一个参数α或β，X1(t)和X2(t)是β或α的递增函数.

3 三次三角DP曲线

定义6给定4个控制顶点pi∈d(i=0,1,2,3,d=2,3)，则当时，称曲线

(5)

为三次三角DP曲线，其中,Xi(t)(i=0,1,2,3)为三次三角DP基函数.

三次三角DP曲线具有如下性质：

(1)端点性质，即

(2)拟对称性，即当α=β时，由控制多边形p0p1p2p3和p3p2p1p0生成的曲线形状相同，方向相反.

(3)凸包性，由三次三角DP基函数的非负性、权性知，曲线落在控制顶点生成的凸包内.

(4)几何不变性与仿射不变性，由三次三角DP基函数的规范性可得到.

(5)变差缩减性，由三次三角DP基函数是规范全正基可得到.

下面讨论曲线形状参数α,β对于曲线P(t)形状的影响.

(1)固定β的值，当α逐渐增大时，曲线靠近p0p1；固定α的值，当β逐渐增大时，曲线靠近p2p3，如图1所示.

图1 固定其中一个参数时的曲线形状变化

(2)当α,β同时增大时，曲线靠近控制多边形，α,β同时减小时，曲线靠近线段p0p3；当α=β=0时，曲线退化成线段p0p3，如图2所示.

图2 两个参数同时增大或减小时的曲线形状变化

4 三次三角DP曲线的应用

以p0(x0,y0),p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3)为控制顶点，则带参数的三次三角DP曲线为

P(t)=(x(t),y(t))=p0X0(t)+p1X1(t)+p2X2(t)+p3X3(t).

则有

(1)椭圆与圆的精确表示

图时的椭圆弧

图时的圆弧

图时的抛物线弧

(2)抛物线的精确表示