微细铣刀位姿同轴全息重建方法

孙艺洋，许金凯，于占江，张向辉，程亚亚，于化东

（长春理工大学 跨尺度微纳制造教育部重点实验室，吉林 长春 130022）

1 引 言

在精密微加工过程中，微细铣刀位姿测量是精密/超精密加工领域的重要研究内容。刀具在主轴上存在装夹偏角时，不仅会造成单刃磨损严重、刀具使用寿命降低，还会直接降低工件的加工精度。对于微细铣刀的位姿测量，常用的仪器及方法有激光对刀仪、激光衍射法、光学成像测量法等[1-3]，上述方法的测量精度难以保证且容易损坏刀具，在实际加工中仍采用高精度弹簧夹头来保证刀具装夹精度。

随着微细铣刀制造技术的革新，刀具尺度也随之减小。机械微加工领域中目前常用的微细铣刀直径在0.5 mm以下，这对于刀具的位姿测量提出了更高的要求。数字同轴全息技术[4]通过干涉记录和衍射再现物体真实信息三维状态，具有记录光路简单、成像速度快等特点，已广泛用于形貌测量[5-7]、生物医学成像[8-10]、形变测量[11]、信息安全[12-13]等领域。随着微细铣刀直径的减小，刀具衍射现象越发明显，利用数字同轴全息技术对刀具进行全息成像，可以不受微细铣刀直径的限制，进而实现微细/超细刀具的高精度测量。

微细铣刀发生装夹倾斜时，全息再现像中会同时混合着聚焦区域和离焦区域[14]，此时无法由单一再现距离确定刀具准确的轴向位置获得精确的刀具状态。为了精确观测微细铣刀在机倾斜状态，提出了基于景深的微细铣刀三维位姿重建方法。利用刀具边缘点作为关键点进行位姿重建，通过模拟和实验分析了聚焦评价算子的性能，建立了基于最小二乘法的关键点拟合方法修正重建误差，通过实验验证了微细铣刀三维位姿重建的可行性。

2 数字同轴全息成像原理

数字全息成像原理可分为两个过程：波前记录和数值再现。微细铣刀数字全息记录光路如图1所示。用一束相干光源垂直照射物体，光波穿过物面后将形成强而均匀的透射参考光波和弱的衍射物光波，这两部分满足相干条件的光波发生干涉被CMOS图像传感器所记录，形成物体的数字全息图，记录面的光强分布为I(x,y)。

图1 数字全息记录过程示意图Fig.1 Schematic diagram of the recording process of the digital holography

数字全息再现过程如图2所示：计算机模拟光学衍射过程，用单位振幅平面波C(x,y)照射全息图。

图2 数字全息再现过程示意图Fig. 2 Schematic diagram of the reconstruction process of the digital holography

再现光波在全息图后的复振幅分布U(x,y)为：

根据菲涅尔衍射积分公式，此再现光波经距离d后在再现像面ξoη的复振幅分布为：

3 基于景深扩展的微细铣刀位姿重建方法

3.1 聚焦评价算子

聚焦评价算子是刀具全息再现像三维重建的关键判据，三维位姿重建实质是根据聚焦评价算子取值获取轴向位置的三维显示。通过合适的聚焦评价算子计算出每一点的聚焦程度，然后分析聚焦程度，确定其轴向位置。无论是光学图像还是全息再现像，图像聚焦越清晰，其灰度变化越剧烈。尤其是图像的边缘位置，聚焦清晰的图像较模糊图像有更高的锐度，前者往往也能体现更丰富的细节信息。所以图像的聚焦程度可以用灰度变化的平均程度即灰度方差来衡量，而采用局部灰度方差能够降低背景的干扰，进一步增强图像的对比度。

局部灰度方差函数定义为：

式中u为m×n区域灰度的平均值，文中m，n的取值为3。

小波变换局部方差算子是基于小波分解后的高低频子图的梯度图像局部方差进行计算。阳静等人[15]采用该算子对倾斜碳纤维进行了较好的三维重建。实现过程是对全息再现像进行小波分解，并利用Sobel算子求取高低频系数子图的梯度图像。H表示高频，L表示低频，4张高低频子图像分别是：HH，HL，LH和LL。它们分别代表重建图像的对角线高频、水平高频、竖直高频和低频系数。则子图像的梯度矢量G可在x,y方向分别表示为:

再以m×n区域的高低频子图像的最大亮度梯度G的局部方差作为融合图像的聚焦判据,对重建图像进行景深扩展,依次完成重建图像上所有点的选取，最后实现了物体的位姿重建。

3.2 刀具位姿三维重建算法

刀具全息再现像三维位姿重建的核心思想与光学成像系统的景深扩展原理类似。首先通过一系列等步长的再现距离，获取刀具在不同轴向位置的再现像，使整个再现像序列覆盖刀具在光场中的全部信息。由于每幅再现像中不同区域的清晰程度不一，无法用一个再现距离得到所有点都聚焦清晰的轴向位置。故需要通过聚焦分析，使重建图像的每一点都精确聚焦，从而实现刀具三维场的重建和相关测量。

设I为全息再现像，d为再现距离，f(i,j)为再现像中(i,j)位置聚焦评价算子的取值。基于景深的全息再现像三维位姿重构步骤如下：

（1）得到全息图如图3(a)所示，保证再现距离在最小和最大记录距离之内。通过菲涅尔再现算法，记录n个再现距离d=d0+kΔd(k=0···n-1)，Δd根据再现区间选取合适值，对应的n张全息再现像I1～In，如图3(b)所示；

图3 刀具三维位姿重构流程图。(a)刀具全息图；(b) n张再现像；(c)滤波后的n张再现像；(d)点(i, j)的最佳再现距离；(e)刀具三维位姿示意图Fig.3 Flow diagram of three-dimensional pose reconstruction of the tool.(a) Tool hologram; (b) reconstruction images; (c) reconstruction images after filtering; (d) best reconstruction distance for point (i, j);(e) schematic diagram of the tool’s three-dimensional pose

（2）对n张全息再现像做基于改进自蛇模型滤波方法[16]处理如图3(c)所示，再利用Sobel算子提取待测刀具的边缘点；

（3）计算每张再现像中边缘点对应的聚焦评价算子的取值；

（4）以边缘点中(i,j)位置距离值的选取为例，比较n张再现像的聚焦评价值f(i,j)，通过n张再现像的聚焦评价值取最大法，获取该点的轴向位置。max(f1(i,j),f2(i,j),···,fn(i,j))对应的距离为dK，则dK为(i,j)的最佳再现距离，如图3(d)所示，依次获得所有边缘点的最佳再现距离；

（5）结合边缘点在再现像中的位置和其物理尺寸，以及对应的轴向距离，通过三维绘图，可直观显示刀具在三维空间中的位置和倾斜程度如图3(e)所示。

4 实验结果与分析

4.1 模拟实验

使用的数字全息实验装置如图4所示。数字全息成像系统主要由激光器、激光扩束镜、CMOS、滤波片等组成。激光器安装架、扩束镜安装架及相机安装组件的设计和安装过程，必须保证激光器中心、扩束镜中心和CMOS感光面中心三者共轴线。相机固定在精密滑台上，可以X向和Y向自由移动，调节相机感光面的位置。激光器波长为635nm，CMOS记录区域的像素数为2448×2048 pixels，为提高计算效率，截取再现像中600×1024 pixels像素大小作为计算区域。

图4 数字全息实验装置示意图Fig.4 Schematic diagram of the digital holography experimental device

利用图4所示实验装置，获得直径0.5mm铅芯的数字全息图。实验中调整铅芯与微调角度台垂直，如图5（a）所示，手动调节角度台至倾斜10°，如图5（b）所示。图6（a）为铅芯的全息图，图 6（b）为记录距离2 5.8mm处的再现像。

图5 铅芯数字全息实验装置示意图。（a）摆正状态；（b）倾斜指定角度Fig.5 Schematic diagram of the digital holographic experimental device for the lead core as simulated sample.(a) Straightened; (b) incline at a specified angle

图6 铅芯数字全息图及再现像。(a)数字全息图；（b）再现像（左）及计算区域放大图（右）Fig.6 Digital hologram and reconstruction image of the lead-core.(a) Digital hologram; (b) reconstruction image (left) and calculation area magnification(right)

选择重建距离区间为 24mm～28mm，重建距离间隔10 μm，等间隔重建401张局部聚焦的铅芯再现像。然后，分别以小波变换局部方差算子和局部灰度方差算子，计算再现像中600×1024区域每点对应的聚焦评价值，并通过聚焦评价曲线获得聚焦评价最大值，得到如图7（a）和图7（b）所示图像整体的轴向位置分布。

观察上述轴向位置分布结果发现，两种聚焦评价算子在低频区域点的重建均存在聚焦评价抗干扰性不佳的情况。小波变换局部方差算子重建结果中低频点（290,400）的聚焦评价曲线如图8（a）（彩图见期刊电子版）所示，可以发现该曲线单峰性不好，存在明显干扰峰值，容易带来重建距离的误判。反观边缘点（229,400）的聚焦评价曲线（如图8（b）所示彩图见期刊电子版），一般都能得到准确的重建距离。观察局部灰度方差算子重建结果中低频点（290,400）和边缘点（229,400）的聚焦评价曲线（如图8（c）和图8（d）所示），曲线的分布具有类似的特点。考虑到图像低频区域点重建距离的不准确性，在重建过程中舍去低频点。从再现像中提取铅芯的边缘点作为关键点，仅对关键点进行三维重建。

图7 (a)小波变换局部方差算子及 (b)局部灰度方差算子对应的的整体轴向位置分布Fig.7 Overall axial position distribution corresponding to (a) the local variance operator of wavelet transform and (b) local gray-scale variance operator

图8 (a)小波变换局部方差算子对应的低频点的聚焦评价曲线; (b)小波变换局部方差算子对应的边缘点的聚焦评价曲线;(c)局部灰度方差算子对应的低频点聚焦评价曲线; (d)局部灰度方差算子对应的边缘点聚焦评价曲线Fig.8 (a) Focus evaluation curve of low frequency points corresponding to the local variance operator of the wavelet transform; (b) focus evaluation curve of the edge points corresponding to the local variance operator of the wavelet transform; (c) focus evaluation curve of the low frequency points corresponding to the local gray-scale variance operator;(d) focus evaluation curve of the edge points corresponding to the local gray-scale variance operator

通过改进的自蛇模型[16]对图6（b）中再现像的计算区域做扩散滤波处理，用Sobel算子提取图像的边缘点，并计算边缘点对应的距离值。再根据物理尺寸与像元大小之间的关系(1pixel=3.45μm)，将xoy面的像素坐标转换为距离坐标系，并进行三维显示，可得到图9所示铅芯的三维重建结果。

从上述重建结果发现，边缘点中也存在少部分干扰点，使铅芯的重建结果不够理想。为了得到准确的倾斜程度，需要去掉明显的突变点。由于理论上大部分轮廓点的再现距离分布在同一平面上，故空间点到该平面的距离方差最小时，该平面可视为数据的主平面方向。如图10所示，将三维点投影到yoz面上，在该平面利用最小二乘法对关键点做直线拟合，可得到关键点所在直线的斜率，干扰点的取值由直线上的点插值得到。最后根据物理尺寸与像元大小之间的关系(1pixel=3.45μm)，将xoy面的像素坐标转换为距离坐标，可得到图11所示消除误差后铅芯的三维重建结果。由拟合结果知，小波变换局部方差算子测得铅芯与水平方向的夹角为9.55°，与真实倾角基本一致。而局部灰度方差算子测得铅芯与水平方向的夹角为9.32°，存在较大的重建误差。

图9 铅芯的三维重建结果。（a）小波变换局部方差算子的三维重建结果；（b）局部灰度方差算子的三维重建结果Fig.9 Three-dimensional reconstruction results of lead core.(a) Three-dimensional reconstruction results calculated by local variance operator of the wavelet transform; (b) three-dimensional reconstruction results calculated by local gray-scale variance operator

图10 像素坐标下铅芯三维重建结果。（a）小波变换局部方差算子的三维重建结果；（b）局部灰度方差算子的三维重建结果Fig.10 Three-dimensional reconstruction results of the lead core in pixel coordinates.(a) Three-dimensional reconstruction results calculated by local variance operator of wavelet transform; (b) three-dimensional reconstruction result calculated by local gray-level variance operator

图11 距离坐标下铅芯三维重建结果。（a）小波变换局部方差算子的三维重建结果；（b）局部灰度方差算子的三维重建结果Fig.11 Three-dimensional reconstruction results of the lead core in the distance coordinates.(a) Three-dimensional reconstruction result calculated by local variance operator of the wavelet transform; (b) three-dimensional reconstruction results calculated by local gray-level variance operator

4.2 微细铣刀位姿重建实验

实验中待测铣刀与竖直方向之间的夹角为2.5°，如图12（a）所示。使用图4数字全息实验装置获得图12（b）所示的铣刀数字全息图，图12（c）为记录距离为21 mm处的菲涅尔衍射再现像。CMOS记录区域的像素数为1024×1024，为了提高计算效率，截取再现像中451×840像素大小作为计算区域。首先选择再现距离区间为20.65～21.20 mm，以1 μm为距离间隔，等间隔重建551张再现像。在重建中选择模拟实验中效果较好的小波变换局部方差算子进行聚焦评价，重建过程与上述铅芯重建相同。

图12 (a)待测铣刀及其(b)数字全息图和(c)再现像Fig.12 (a) Tested tool and its (b) digital hologram and (c)reconstruction image

观察刀具再现像中低频点的聚焦评价曲线，如图13（a）所示，可以发现曲线单峰性不好，存在明显的干扰峰值，容易带来重建距离的误判。图13（b）所示为再现像中边缘点的聚焦评价曲线，能得到准确的重建距离。与模拟实验相同，在重建过程中舍去低频点，即从再现像中提取刀具的边缘点作为关键点，仅对关键点进行三维重建。

对关键点进行三维重建后，通过干扰点去除和关键点拟合后，最后可获得图14所示铣刀的三维位姿。实测待测铣刀与竖直方向之间的夹角为2.43°，铣刀的三维重建误差在0.1°以内。

图13 (a)铣刀再现像低频点的聚焦评价曲线;(b)铣刀再现像边缘点的聚焦评价曲线Fig.13 (a) Focus evaluation curve of the low-frequency point of the milling tool's reconstruction image; (b)focus evaluation curve of the edge point of the milling tool’s reconstruction image

图14 铣刀三维位姿重构结果Fig.14 Three-dimensional reconstruction results of the milling tool

5 结 论

针对现有对刀方法存在的不足，提出一种基于数字同轴全息成像技术的微细铣刀对刀方法。在对刀过程中，为了可视化观察刀具在主轴上的倾斜状态，提出了一种基于景深的刀具三维位姿重建方法。使用小波变换局部方差算子和局部灰度方差算子在模拟实验中进行分析，得到小波变换局部方差算子的实验结果更加准确。使用小波变换局部方差算子求出微细铣刀再现像中关键点的聚焦程度，然后分析聚焦程度，确定其对应的轴向位置，实现了微细铣刀的三维位姿测量。最后利用最小二乘法进行干扰点去除和关键点拟合后，对重建结果进行了误差分析与消除，实现微细铣刀三维重建误差优于0.1°。