基于输入-状态稳定性理论的双馈风机稳定性分析

2022-03-27王若谷李恒毅高欣郭宁戴立森

电力工程技术 2022年2期

王若谷，李恒毅，高欣，郭宁，戴立森

(1. 国网陕西省电力公司电力科学研究院，陕西西安 710100；2. 西安交通大学电气工程学院，陕西西安 710049)

0 引言

随着全球能源短缺和环境污染问题的日益突出，大力发展可再生能源发电技术已成为全世界的共识。然而，近年来风电并网引起电力系统事故时有发生[1—2]，因此需要评估风电并网对电力系统的影响。双馈型风机具有成本低、控制灵活的特点[3—4]，被广泛应用于风力发电系统中。然而，双馈型风机对电网电压变化敏感，在系统故障时会恶化系统的动态响应[5—6]。因此，分析双馈型风机对电力系统的电压稳定性的影响具有重要意义[7]。

目前，已有相关文献对双馈型风机并网的电力系统暂态稳定性分析和控制开展研究。文献[8]分析了风力发电系统接入对电力系统功角稳定性的影响。文献[9]提出一种基于修正暂态能量函数的量化暂态稳定性评估方法。文献[10]研究了双馈型风机接入系统比例的增加对电力系统暂态稳定性的影响。为了抑制双馈型风机自身不稳定运行带来的功率振荡，文献[11]提出一种改进的离散控制器。然而，以上文献并未涉及双馈型风机并网对电力系统电压动态的影响。文献[12]研究了风机非线性特性对系统电压的影响。文献[13]通过时域仿真研究了静止同步补偿器等无功补偿装置对系统电压的影响。文献[14]分析了无功补偿装置在增强电力系统短期电压稳定性方面的作用。文献[15]研究了双馈型风机造成系统电压振荡的机理。上述研究均使用时域仿真方法对系统电压动态进行分析，计算量大，难以实现对系统电压稳定性的在线判断，且无法获得系统稳定裕度的量化分析结果。Lyapunov理论是评估电力系统电压稳定性的另一种方法[16]，通过计算初始状态到稳定域边界的距离可以得到量化的稳定性分析结果。然而，由于缺乏构造Lyapunov函数的系统算法，制约了该理论在实际系统中的应用。

输入-状态稳定(input-to-state stability,ISS)理论为研究非线性系统的稳定性问题提供了一种新的途径。该理论将状态空间稳定理论与输入-输出稳定理论相结合，通过将互联系统分解为若干子系统，利用子系统的ISS特性及其连接关系研究互联系统的稳定性[17—18]。ISS理论可以研究非线性系统在外部扰动下的动态响应特性以及量化系统可承受的外部扰动的大小，因此，ISS理论适用于含双馈型风机的电力系统电压稳定性分析。

基于上述分析，文中提出一种双馈风力发电系统的电压稳定性量化分析方法。基于小增益定理，对双馈风力发电系统稳定特性进行量化分析，为其运行和控制提供指导。首先对ISS理论进行介绍；其次以ISS理论为基础，提出了双馈风力发电系统的电压稳定性量化分析方法；然后通过时域仿真验证了量化稳定性分析方法的有效性；最后总结全文并指出未来的研究方向。

1 理论基础

文中给出局部输入-状态稳定(local input-to-state stability,LISS)和局部输入-输出稳定(local input-to-output stability,LIOS)的基本理论，并讨论与ISS等价的积分-积分估计，为子系统和互联系统的稳定性分析奠定基础。

考虑具有外部输入的非线性系统：

(1)

式中：x∈Rn；y∈Rp；u∈Rm；f:Rn×m→Rn；h:Rn×m→Rp。f和h在x和u上连续且满足局部Lipschitz条件，且f(0,0)=0,h(0,0)=0。

定义1：取ΩISS为LISS初始状态域，UISS为LISS外部输入域，则对于任意x0∈ΩISS∈Rn,u∈UISS∈Rm，如果存在比较函数βISS∈KL，γISS∈K∞，对于任意初始状态x0和外部输入u，式(2)成立，则非线性系统(1)是LISS的。

|x(t,x0,u)|≤βISS(|x0|,t)+γISS(‖u‖∞)
∀t≥0

(2)

式中：|·|为欧几里德范数；γISS为输入到状态渐近增益；‖u‖∞为外部输入u的上确界。

定义2：取ΩIOS为LIOS初始状态域，UIOS为LOSS外部输入域，则对于任意x0∈ΩIOS∈Rn,u∈UIOS∈Rm，如果存在比较函数βIOS∈KL，γIOS∈K∞，式(3)成立，则非线性系统(1)是LIOS的。

|y(t,x0,u)|≤βIOS(|x0|,t)+γIOS(‖u‖∞)
∀t≥0

(3)

式中：γIOS为输入到输出渐近增益。

对于非线性系统的LISS/LIOS分析，估计初始状态的局部域和外部输入的局部域是至关重要的。在实际系统中，非线性系统的稳定域可以用Ω和U来表示，其中Ω=ΩISS∩ΩIOS，U=UISS∩UIOS。

渐近增益能反映外部输入对系统状态和输出的影响，并可量化系统对外部扰动的承受能力。由于定义1和2中外部输入由其上确界表示，因此仅能反映外部扰动的幅值信息，不能反映其随时间的波动信息。为解决该问题，文中采用与ISS等价的积分-积分估计[19]。

定义3：对于任意x0∈ΩIOS∈Rn,u∈UIOS∈Rm，若式(4)成立，则称系统(1)满足局部状态积分-积分估计。

(4)

定义4：对于任意x0∈ΩIOS∈Rn,u∈UIOS∈Rm，若式(5)成立，则称系统(1)满足局部输出积分-积分估计。

(5)

由积分-积分估计的定义可见，系统状态、外部输入和系统输出均由积分表示，因此该分析方法能包含外部扰动的幅值信息以及在时间尺度上的波动信息。

文献[20]给出了子系统的量化LISS/LIOS评估的详细算法，基于此，提出互联系统的量化稳定性评估准则，量化评估双馈型风机接入对电网稳定性产生的影响。

2 双馈风力发电系统稳定性量化评估准则

考虑一个由n个子系统组成的互联系统，在双馈风力发电系统中，子系统可以选取双馈型风机、同步发电机、感应电动机等，其中第i个子系统数学模型表达式如下：

(6)

式中：xi∈RNi，ui∈RMi为与其他子系统的状态和输出相关的内部输入；ωi∈RWi为外部扰动；yi∈RPi为各子系统的输出。研究双馈风力发电系统电压稳定性时，电源、负载子系统将选择电压、电流作为输入和输出，外部扰动对应双馈风力发电系统中受故障影响产生的电压波动。

假设每个子系统都满足LISS/LIOS属性，并且子系统之间的连接关系可以表示为输入ui和输出yi的关系。通常，电力系统模型由微分代数方程组成，每个子系统的输入和输出满足一系列代数方程g(u,y)=0，子系统连接关系Z由系统的节点导纳矩阵消去运算获得[21]。

文中给出基于积分-积分估计的互联系统量化稳定性评估准则如下。

如果由n个子系统组成的互联系统，满足下列2个准则，则该互联系统是LISS和LIOS的。

(1) 小增益条件成立，即：

G(v*) <

(7)

G(p)

(8)

式中：G=ΓIOS∘Z,ΓIOS为I/O增益矩阵；v*为满足(7)的局部稳定域边界；p为(0,v*]区域内一点。

(2) 系统稳定裕度M大于0，即：

(9)

式中：μ∈K∞；ϑIOS为外部扰动的近似增益；γ为满足稳定性评估准则(1)的最大输出集合。

接下来证明量化稳定性评估准则。

第一步，证明当系统(6)即式(6)满足局部小增益定理，即稳定性评估准则(1)时，互联后子系统依然满足积分-积分估计。由文献[22]可知，当系统(6)满足量化稳定性评估准则(1)时，存在一个函数

μ∈K∞使得式(10)成立。

(10)

(11)

考虑到μ，ϑIOS为K∞函数，对于有界输入a≤A，b≤B，f(a,b)≤F，则f(a,b)单调有界，那么对于有界输入a≤A，b≤B，一定存在函数g(a,b)，满足g(a,b)≥f(a,b)。

(12)

因此，互联系统(6)是LIOS的。接下来证明互联系统(6)是LISS的。

子系统满足式LISS属性，式(13)成立。

(13)

将子系统连接关系Z代入式(12)，同时代入式(14)。

(14)

结合式(12)，可得：

(15)

(16)

(17)

因此，互联系统(6)是LISS的。

(18)

结合式(10)，可得：

(19)

式(18)表明输出既满足自然约束，也满足工程约束。

量化稳定性评估准则(2)可通过计算复合函数进行校验。因此，还需验证评估准则(1)中的局部小增益条件。

由文献[22]中的定理可知，小增益条件可以通过验证序列{v(k)}的收敛性来判断。由于文中使用积分-积分估计，如果系统的状态和输出收敛到平衡点附近区域，则可认为该系统是稳定的。设系统存在保持稳定的最小输入能量v0，则局部小增益的验证条件可以转换为当k→∞ 时，v(k)→v0。

不动点v*可由各子系统的输入向量表示。一般地，系统的安全运行约束范围总是小于系统的稳定范围，因此不动点v*可以由系统的安全运行约束表示。在双馈风力发电系统中，设系统的电压、电流安全运行约束为Ulim和Ilim，则不动点v*可表示为[Ilim,Ulim]T。

综上所述，仅需验证序列{v(k)}的收敛性，其中v(k+1)=G(v(k))，v(0)=v*。具体地，给定一个最大迭代次数kmax，校验序列{v(k)}是否能够在kmax次迭代内收敛至v0的某一邻域内。若可以，则系统满足小增益条件；反之，系统不稳定。

为验证小增益条件，增益函数应是平滑的。因此利用一个满足下列条件的光滑非线性增益函数来逼近分段线性渐近增益函数：

(20)

双馈风力发电系统可视作由双馈型风机、同步发电机、负载等子系统构成的互联系统，各子系统的LISS/LIOS属性均可通过估计得到，因此所提出的互联系统稳定性量化评估准则可应用于双馈风力发电系统的电压稳定性量化分析。具体地，对双馈风力发电系统的电压稳定性评估可从2个方面展开：(1) 在子系统层面，需研究各子系统在外部扰动下的稳定特性，根据式(4)、式(5)对其LISS/LIOS属性进行估计，结合运行约束得到各子系统的最大输入能量及输出能量；(2) 在互联系统层面，需充分考虑各子系统电压稳定特性及子系统间互联特征，根据式(8)、式(9)验证系统是否满足小增益定理以及对应的系统稳定裕度，进而得到互联系统电压稳定性判据，从而实现双馈风力发电系统电压稳定性的量化评估。双馈风力发电系统的电压稳定性量化分析研究框架如图1所示。

图1 量化稳定性分析研究框架

3 双馈风力发电系统电压稳定性量化分析

为验证所提出的互联系统稳定性量化评估准则的有效性，将在含双馈型风机的电力系统中进行测试及分析，测试系统的总体结构如图2所示。

图2 测试系统的总体结构

图2所示电力系统的子系统包括双馈风机风场WF1、WF2，同步发电机G1，感应电动机M1、M2、M3和恒阻抗负载。为评估风电并网对电力系统电压稳定性的影响，须合理选择输入与输出，并且估计子系统外部输入和初始状态的局部域。其中，同步发电机的输入和输出分别选择为端电流和端电压，双馈型风机风场的输入和输出分别选择为端电压和定子电流，负载整体的输入和输出分别选择为端电压和端电流。设定电力系统的安全运行约束为：在故障清除后系统内各节点电压应不小于0.8 p.u.，双馈型风机的转子电流最大值为2.0 p.u.。

3.1 子系统的LISS/LIOS属性估计

图3 双馈型风机风场的渐近增益估计

图4 初始状态、外部输入和系统输出的关系

3.2 量化稳定性分析和仿真结果

图5 检验小增益条件

根据量化稳定性分析结果，定义：

(21)

(22)

(23)

不满足量化稳定性评估准则(2)。

时域仿真验证上述理论分析结果，首先设置风电场均含9台双馈型风机，在t=3 s时，B4发生三相接地短路故障，短路故障持续时间为0.27 s，风电场端电压的动态响应如图6所示。由图6可知，在故障清除后，端电压降到0.8 p.u.以下，电压越过安全稳定约束，与理论分析结果一致。

图6 风场端电压动态变化

图7 不同风机数量的 with different n of fans

(24)

分析结果表明，当n=7时，系统在故障清除后将满足安全稳定约束。仿真设置相同的故障条件，风场的端电压仿真结果如图8所示。由图8可知，将风电场1中双馈型风机的数量减少到7台时，风场的端电压保持在安全稳定约束内，仿真结果验证了理论分析的正确性。

图8 n=7时风电场端电压的动态变化

由算例结果可知，文中所提互联系统稳定性量化分析方法可在互联系统层面对双馈风力发电系统的电压稳定性进行定量评估，揭示了系统的动态响应与外部扰动之间的关系，同时量化系统能够承受的最大扰动，从而能够有效促进双馈型风机在电力系统中的应用。此外，由于子系统的稳定性特征可通过离线仿真获得，降低了互联系统稳定性分析的计算量，从而使系统电压稳定性的在线判断成为可能。