具有脉冲效应和随机扰动的Markov 跳跃主从多智能体系统固定时间一致∗

2022-03-27夏孟瑶蒋海军于志永

新疆大学学报(自然科学版)（中英文） 2022年2期

夏孟瑶，蒋海军，于志永

(新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐 830017)

0 引言

近几十年来,多智能体系统的协同控制因其在无人机、航天器姿态协调、电网电源管理[1-3]等领域的广泛应用而引起了人们的广泛关注.一致性行为是一种合作控制行为,其目的是使智能体之间通过信息交换从而达成某种统一的协议.到目前为止,为了解决多智能体系统一致性问题,学者们从不同的方面提出了不同的有效的控制协议,如事件触发控制、滑模控制等[4-5].

在实际环境中,像物理系统、机械设备系统等网络系统往往会受到不确定性环境的影响,这种干扰可以称为随机干扰.文献[6]为了处理未知和时变问题提出了时变一致性方案,解决了一类不确定随机非线性多智能体系统的时变一致性问题.在另一个学术领域,Markov 跳跃系统受到了广泛的关注,因为它是一种混合系统,具有描述大多数物理系统结构突变的优势,如意外事件和不受控制的结构型变化.它是在不同时间从一种模式切换到另一种模式的切换系统,不同模式之间的切换可以通过Markov 链来实现.文献[7]研究了一类具有Markov 特征的二阶多智能体系统的一致性问题,其中随机切换拓扑和随机通信时滞由两个相互独立的Markov 链所控制.直到现在,研究Markov 跳跃的随机多智能体系统较少.因此,本文考虑了具有Markov 跳跃的随机主从多智能体系统.

在动力系统的演化过程中,由于受外部环境干扰或者机器发生故障,系统在某一时刻发生的突然变化称为脉冲效应[8-10].脉冲效应作为一种普遍存在的现象,有很多优点和缺点,它的优点是提高数据安全性,降低控制成本.缺点是它会破坏系统的性能.文献[10]设计了一种混合有限时间稳定控制器,利用Lyapunov 函数给出了脉冲动力系统的有限时间稳定条件.

与现有的研究相比,本文的主要贡献如下:(1) 本文考虑了具有脉冲效应的Markov 跳跃和随机扰动的主从多智能体系统；(2) Markov 跳跃函数不仅存在于系统中,而且应用于所设计的控制器中.同时,本文还考虑了脉冲效应.从而使得系统在固定时间内达到一致.

1 模型建立及预备知识

首先,给出本文所用到的记号.其中Rn表示n 维欧几里得空间.‖·‖ 表示欧几里得范数.IN表示N 维单位矩阵.对于矩阵 A,AT,λmax(A) 和λmin(A) 分别代表矩阵A 的转置、最大特征值和最小特征值.A>0 表示矩阵A 是一个正定矩阵.diag(·) 表示对角矩阵.sign(·) 代表符号函数.E{·} 表示数学期望.

考虑由N 个智能体所组成的网络,网络拓扑图由图G=(V,E) 表示,其中V={1,2,···,N} 表示节点集,E={(i,j)|i,j ∈V} 表示边集,记智能体i 的邻居节点集为Ni={j|(i,j)∈E}.A=[aij]∈RN×N是图G 的邻接矩阵,若(i,j)∈E,则aij>0,否则,aij=0.对于无向图G 来说,aij=aji.记节点的度矩阵为D=diag{d1,d2,···,dN},其中P 则图G 的拉普拉斯矩阵定义为L=D-A.令矩阵H=L+B,其中B=diag{b1,b2,···,bN},如果智能体i 能够接收到领导者的信息,则bi=1,否则,bi=0.

Markov 链r(t)(t ≥0) 在概率空间(Ω,F,Ft≥0,P) 上是右连续的,它在有限集S={1,2,···,s} 上取值且算子θ=[θdρ]s×s(d,ρ ∈S) 满足

第i 个跟随者智能体的随机动力系统描述为

其中r(t),t ≥0 表示在t 时刻马尔可夫过程的模态演变过程.A(r(t)),B(r(t))∈Rn×n表示模态为r(t)的常数矩阵.xi(t)∈Rn,(i=1,···,N) 表示第i 个智能体的状态,ui(r(t))∈Rn代表第i 个智能体的控制输入向量.f(·)∈Rn表示i 个智能体的连续函数.g(·)∈Rn×n为跟随者智能体的噪声强度函数.w(t)∈Rn表示布朗运动,并且满足E{dw(t)}=0 和E{[dw(t)]2}=dt,假设Markov 链r(·) 与布朗运动w(·) 是相互独立的.

领导者x0(t) 的随机动力系统描述为其中x0(t)∈Rn表示领导者的状态,f(x0(t),t)∈Rn表示领导者的连续函数,g(x0(t),t)∈Rn×n表示领导者的噪声强度函数.

下面给出一些假设、引理和定义.

假设1对于任意的向量x ∈Rn,y ∈Rn,假设函数f(·) 是Lipschitz 连续的,则存在一个常数k1>0 使得

‖f(x(t),t)-f(y(t),t)‖≤k1‖x(t)-y(t)‖.

假设2对于噪声强度函数g(xi(t),t),xi(t)∈Rn满足以下Lipschitz 条件

定义1对于一个时间T(0) 不依赖于系统初值xi(0),x0(0),如果说系统(2) 和系统(3) 在固定时间内达到一致,则有limt→TE{‖xi(t)-x0(t)‖}=0 和E{‖xi(t)-x0(t)‖}≡0,t ≥T 成立.其中T 为停息时间.

2 主要结论

为了实现固定时间一致,设计以下切换反馈控制器

则根据引理2 得到停息时间T 为

根据以上分析,存在一个与智能体的初值状态无关的时间T,使得

根据定义1 可得随机多智能体系统(2) 和(3) 在控制协议(4) 下能够在固定时间内达到一致.

当系统不带有随机干扰时,则可以将系统(2) 和(3) 改写为以下模型

注1推论1 的证明与定理1 的证明相同,但是α1(r(t))的取值范围不同.因为系统(2)和(3)中存在随机干扰,所以定理1 中的α1(r(t)) 取值与k2有关.而推论1 中的α1(r(t)) 取值与k2无关,所以在随机系统(1)和(2)中α1(r(t)) 的取值范围比系统(14)和(15) 中的更为严格.

3 数值模拟

在本节将以数值模拟来验证本文所提出的控制算法的正确性.

考虑具有Markov 跳跃的主从随机多智能体系统,令n=2,N=5,并选取如下的转移概率矩阵P

脉冲增益矩阵选取为

非线性函数fi(xi(t),t) 选取为

噪声强度函数g(xi(t),t) 为

令智能体的初值状态为x0=(-30,12)T,x1=(25,-20)T,x2=(14,-23)T,x3=(-10,-5)T,x4=(-40,-6)T.

图1 表示系统维纳过程.图2 表示定理1 中的Markov 切换过程.图3 和图4 描述了在系统不受控制的条件下智能体的状态轨迹图.

图1 维纳过程

图2 Markov 切换过程

图3 无控制下的智能体xi1(t) 状态轨迹

图4 无控制下的智能体xi2(t) 状态轨迹

通过选取满足假设定理的合适参数k1=1,k2=2,α1(1)=0.73,α1(2)=0.69,β1(1)=0.9,β1(2)=1.15,β2(1)=1.2,β2(2)=0.8,qd=1.02,并令ν=0.4,u=1.2,得到了固定时间一致的图,其中图5 和图6 表示控制下的智能体的状态轨迹.从数值模拟中可以看到本文所设计的控制器的有效性.