一类拟线性方程弱解的存在性

陈文文，沈自飞

(浙江师范大学 数学与计算机科学学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

拟线性薛定谔方程因在等离子物理、流体力学、超流体、量子论等方面的广泛应用而受到了学者们的高度关注.文献[1]得到了具有非线性凹凸性项的有界区域半线性椭圆问题：

-Δu=λ|u|q-2u+g(x,u),

(1)

并对参数λ的范围进行分类讨论，得到了不同类型的解.文献[2]利用上下解及分歧理论证明了当q=2和g(x,u)=-b(x)|u|p-1(p>1)时，方程(1)正解的存在性、不存在性和唯一性.文献[3]考虑了方程(1)在q>0和g≡0时解的问题，并证明了解的存在性和唯一性.文献[4]利用边界层校正项构造问题，并用微分不等式原理讨论了二阶拟线性奇摄动方程解的存在性.在文献[5]的启发下，本文主要研究拟线性椭圆方程弱解的存在性：

(2)

其中,Ω⊂RN是N>3的光滑有界区域，10是一个实参数.通过观察发现，方程(2)有非齐次项uΔu2，对有些空间是不能直接应用到相应能量泛函上的.本文将引入文献[6]的变量替换u=f(w)，把原问题转换到合适空间并进行讨论.

1 预备知识

引理1假设函数f是常微分方程初值问题的解：

令f(-t)=-f(t),t≤0，使得函数f具有以下性质[7]：

(Ⅰ) 当t>0时，f″(t)=-2f(t)(f′(t))4；

(Ⅱ)f是唯一可逆的C∞函数；

(Ⅲ) 对任意的t∈R,0

由此可得方程(2)对应的能量泛函为：

利用引理1对上式进行变量替换，u=f(w)，可得：

函数Iλ与下述方程有关：

(3)

利用这种新结构证明关于上下解的引理2，其中f:(0,∞)→(0,∞)的连续非线性函数为：

由于g是非增的非负函数，由上述引理1中的(I)和f(w)的单调性：

t→g(f(t))f′(t),t>0,

可知函数g(f(t))f′(t)是单调递减的.其理由是：由引理1知f′(w)>0,那么f(w)是单调递增的；因为u>v,所以f(u)>f(v)；因为g(s)是非增的非负函数，所以g(f(u))f′(u)

所以，

但这是不可能的，因此Ω0=Ø.

2 主要结论证明

本文主要结论如下：

定理1当1

证明事实上，存在r0>0和δ0>0.令λ0>0且充分小，使得

Iλ0|∂Br0≥δ0>0.

同样可得:

所以,

又由

和上述不等式可得：

c0=Iλ0(wj)+o(1)，

即Iλ0(w0)=c0<0.

下面证明w0是方程(3)的弱解.首先，在Ω上w0>0的前提下，证明-Δw0≥0.

由引理1可知：

的测试函数，当ε→0时，有：

用-ψ替代上式不等式中的ψ，即可证明方程(3)存在弱解.

证毕.

3 结 语

本文研究了一类拟线性薛定谔方程弱解的存在性.利用变量替换将拟线性问题转换到在零点处是奇异的和在无穷远处是超线性的半线性问题，并利用上下解和比较原理的方法证明拟线性方程弱解的存在性.本文只在1