张弛皆有度 动静总相宜
——圆锥曲线中的调和平均问题初探
2022-03-25冯广军郭琳芳
中学数学杂志 2022年3期
冯广军 郭琳芳
(广东省深圳科学高中 518129)
圆锥曲线中蕴藏着丰富的规律,如定点与定值问题等.这些规律大多都反映了圆锥曲线中的一种动态而和谐的平衡,正是“张弛皆有度,动静总相宜”,比如低调而绝妙的调和平均问题.
1 研教材,启示多从教材来
(人教A版教材2019版第45页)如图1,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连结AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?
图1
图2 图3
事实上,如果作出圆的另一条切线AM,易知点E即为过圆心的割线AC与切点弦DM的交点,一个自然的想法是:如果割线AC不过圆心,AE是否仍然是a,b的调和平均?结论是肯定的.
图4
结论1 过圆O外一点P作圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,过点P任作圆O的一条割线,交圆O于C,D两点,交切点弦AB于点Q,则PQ为PD,PC的调和平均.
2 善变通,味道尽在类比中
图5
该结论在双曲线和抛物线中仍然成立,证明略.
结论2 过圆锥曲线E外一点P作E的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,过点P任作E的一条割线,交E于C,D两点,交切点弦AB于点Q,则PQ为PD,PC的调和平均.
3 再寻觅,沿途处处有惊喜
图6
对于双曲线(交于同一支时的情形)和抛物线,可通过类似的证明过程得到这一结论,不再一一给出.
结论3 圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径的调和平均是其通经的一半.(双曲线中的焦点弦是指过焦点的直线与双曲线交于同一支的情形)
图7
调和平均原本是统计学中的术语,是一种某一特定条件下的平均量,我们能在圆锥曲线中不断发现它的存在,这为我们从多个角度去理解调和平均又打开了一扇门.或许数学的魅力也正在于此,而更多的美正等着我们去发现!