HPM课例研究中的教学研讨主题

汪晓勤

(华东师范大学教师教育学院 200062)

近年来，HPM课例研究的对象逐渐由单一的新课扩展到单元教学、复习课教学，教师对于数学史料的需求日益增加；而随着HPM课例的涌现，他们对于教学设计创新性的要求也在不断提高.HPM课例研究包含“选题与准备”“研讨与设计”“实施与评价”“整理与写作”四个环节，其中，“研讨与设计”环节是课例成败的关键，若研讨的方向不明确，效果势必会大打折扣.

另一方面，在后疫情时代，网络研修业已成为教师专业发展的重要途径之一.来自不同地区、不同学校、具有不同教育背景和不同教龄的一线教师和高校研究者定期相聚云端，针对同一主题的教学设计开展深入的研讨，这种无门槛、无费用、便利高效的教研形式深受那些有强烈学习动机的教师的欢迎，但如何让教师在网络研修中真正有收获，是组织者需要深入思考的问题.

“内容呈现”和“认知需求”是HPM课堂教学评价的重要指标，前者指的是数学史料的科学性、可学性、有效性、人文性和趣味性，而后者指的是数学史料的运用方式，也就是教师在教学中“用什么数学史料”和“如何用数学史料”的问题.本文以HPM网络研修的若干知识点为例，初步呈现教学研讨的一个内容框架.

1 追本溯源

HPM视角下数学教学的基本理念是“再创造”，即让学生亲历知识的发生和发展过程.数学史可以帮助教师在课堂上构建“知识之谐”，营造“探究之乐”，实现“能力之助”，为此，教师需要以数学史为参照系设计探究活动.因此，数学主题的源与流理应成为教学研讨最重要的内容.

以沪教版高中数学新教材中的“三角不等式”为例.该主题与正负数运算法则息息相关.众所周知，我国是世界上最早认识并应用负数的国家，汉代数学典籍《九章算术》“方程章”中提出了世界上最早的有理数四则运算法则，其中，非零两数的减法法则为“同名相除，异名相益”，非零两数的加法法则为“异名相除，同名相益”.虽然中国古代数学家没有明确提出“绝对值”的概念，但这里的“相益”说的就是绝对值相加，“相除”说的就是绝对值相减.设有两数

a

和

b

，若

ab

>0，则若

ab

<0，则|

a

-

b

|=|

a

|+|

b

|，|

a

+

b

|=

中国古代数学家尚未将数系从有理数扩充到实数，但上述运算法则显然也适用于实数.因此，对于任意非零实数

a

和

b

，绝对值不等式|

a

±

b

|≤|

a

|+|

b

|均成立.当

a

或

b

等于零时，上述不等式显然也成立.因此，绝对值不等式对于任意实数均成立.这里我们看到，绝对值不等式源于实数的运算，了解了这一点，我们就能理解数学史融入绝对值不等式教学的意义了.教科书将上述不等式称为“三角不等式”，对教师起了误导作用.例如，有的教师会从向量的不等式(真正的“三角不等式”)|+|≤||+||出发引入绝对值不等式，与绝对值不等式的历史序相悖.事实上，A.A.Bennett于1921年首次提出关于范数的三角不等式‖

r

+

r

‖≤ ‖

r

‖+‖

r

‖.之后，数学家根据向量减法的三角形法则提出关于向量的三角不等式，如J.L.Kelley在《近世代数引论》中将向量,和之间的关系|-|+|-|≥|-|①称为“三角不等式”(图1)，而将不等式|+|≤||+||视为①的特殊情形；N.D.Kazarinoff在《解析不等式》中则借助复平面建立了复数

w

和

z

之间的三角不等式|

w

±

z

|≤|

w

|+|

z

|(图2).

图1 向量的三角不等式 图2 复数的三角不等式

但是，实数的绝对值不等式与三角形并无关系，只因它与向量或复数的三角不等式形似，故编者采用了同样的名称.只有正本清源，才不会望文生义，误入歧途.

2 想方设法

HPM视角下数学命题或公式的教学，注重命题或公式的不同证明方法，彰显“方法之美”、实现“能力之助”，是数学史的两类基本价值.教学设计研讨的目的之一在于提供丰富的素材，打开教师的思路，拓宽教师的思维.例如，关于均值不等式，常用的方法有赵爽弦图模型和欧几里得半圆模型等，但还可以尝试更多的方法，《九章算术》中的勾股容方问题可以用来构造新的几何模型.

如图3，在矩形

ACBR

中，

BC

=

a

，

AC

=

b

，

a

<

b

，正方形

FCED

和

VSUR

分别内接于Rt△

ACB

和Rt△

BRA

，延长

VS

，交

FD

于

T

.因

a

<

b

，故

TD

<

ST

，即于是得②或③.两边开方即得均值不等式④.

图3 均值不等式证明之一 图4 均值不等式证明之二

如图4，正方形

FCED

内接于Rt△

ACB

，过

D

作

AB

的垂线，交

BC

的延长线于点

K

，交

FC

于

G

.易证Rt△

ADG

≌Rt△

KDB

，故

S

△<2

S

△，即于是同样可得不等式②和③.如图5，正方形

FCED

内接于Rt△

ACB

，不难证明，Rt△

ACB

内接长方形的最大面积 为

ab

，故有于是得不等式③和④.

图5 均值不等式证明之三 图6 均值不等式证明之四

如图6，正方形

FCED

内接于Rt△

ACB

，过点

D

作

CD

的垂线，交

AC

于

H

，交

CB

延长线于

G

，过点

B

作

CB

的垂线，交

HG

于点

I

.因

a

<

b

，故

DB

<

DA

，由△

AHD

和△

BID

的相似性知，

BG

=

BI

<

AH

，若设

EB

=

p

，

AF

=

q

(

p

<

q

)，则即于是有故得不等式如图7，在Rt△

ACB

中，

CG

为斜边

AB

上的高，在

CG

上作正方形

CGHI

，边

HI

交

AC

于

J

，易知Rt△

CIJ

≌Rt△

CGB

，故

S

<

S

△.设则有由此可得不等式④.

图7 均值不等式证明之五 图8 均值不等式证明之六

如图8，在Rt△

ACB

的直角边

CB

上作等腰Rt△

CBD

，过点

A

作

CB

的平行线，交

CD

的延长线于点

E

，则

S

<

S

△+

S

△，设则得不等式④.

上述证明表明，古为今用，数学史料可以帮助我们揭示均值不等式丰富的几何内涵.

关于正弦定理，教师通常采用作高法进行证明，简洁却不够直观.我国清初数学家梅文鼎(1633—1721)在其《平三角举要》中已运用了转化思想证明正弦定理.实际上，翻开历史的画卷，正弦定理的证明丰富多彩，其基本思路是通过构造相似三角形，将角的正弦之比转化为相似三角形对应边的比.

证法1 如图9，在△

ABC

中，

AC

>

AB

，延长

BA

至

E

，使得

BE

=

AC

，分别过点

A

和

E

作

BC

的垂线，垂足为

D

和

F

，于是sin

B

∶sin

C

=

EF

∶

AD

=

BE

∶

AB

=

AC

∶

AB

.

图9 正弦定理的证明之一 图10 正弦定理的证明之二

证法3 如图11，在△

ABC

中，过点

B

和

C

作

AC

和

AB

的垂线，垂足分别为

D

和

E

，则sin

B

∶sin

C

=

CE

∶

BD

=

AC

∶

AB

.

图11 正弦定理的证明之三 图12 正弦定理的证明之四

证法4 如图12，在△

ABC

中，

AC

>

AB

，在

AC

上取点

E

，使得

AE

=

AB

，过点

A

作

BC

的垂线，垂足为

D

.又过点

A

作

BC

的平行线

AF

，过点

E

作

AF

的垂线，垂足为

F

，则sin

B

∶sin

C

=sin

B

∶sin∠

EAF

=

AD

∶

EF

=

AC

∶

AE

=

AC

∶

AB

.

上述证明表明，正弦定理背后蕴含着转化的数学思想，相似三角形是沟通几何学与三角学的一座桥梁.

3 探赜索隐

众所周知，任何数学主题都不可能是孤立的存在，碎片化的教学不足以让学生达到关系性理解.教学设计(特别是单元教学设计)中，教师需要揭示知识之间的联系，而数学史可以帮助我们建立这样的联系，从而为学生提供探究机会，提升理解层次，落实高阶思维，发展核心素养.

以圆锥曲线为例，古希腊数学家梅奈克缪斯用垂直于圆锥母线的平面截圆锥，当圆锥的顶角分别为锐角、直角和钝角时，所截得的曲线分别称为锐角、直角和钝角圆锥曲线.后来，阿波罗尼奥斯用与母线具有不同位置关系的平面去截同一个圆锥，分别得到同样的三种曲线，根据毕达哥拉斯学派的面积贴合理论，更深刻地揭示了三者之间的统一性，并据此重新对其进行了命名，这就是ellipse(椭圆)、hyperbola(双曲线)和parabola(抛物线)的起源.在圆锥曲线单元教学中，我们可以从标准方程出发来揭示三种曲线之间的统一性.

如图13，已知椭圆的左、右顶点分别为

A

和

B

，

P

(

x

,

y

)为椭圆上异于

A

,

B

的任意一点，

PQ

⊥

AB

，垂足为

Q

.

CD

为垂直于长轴

AB

的焦点弦(称为椭圆的通径)，易知过

A

作

AB

的垂线，且在垂线段上(位于

x

轴下方)取

AE

=

CD

，连结

BE

，交

PQ

的延长线于

F

，利用相似三角形性质易得

MUSIC算法是现代谱估计中的一种功率谱估计方法，基本原理是对信号Tx进行特征分解，获取两个相互正交的子空间，分别对应信号子空间Ts和噪声子空间Tn，再利用其正交性构造出空间谱函数.过程可表示为

图13 椭圆方程的几何意义

由椭圆方程得此即

PQ

=

AQ

×

QF

.故得椭圆方程的几何意义：矩形

AGFQ

的面积等于

PQ

.根据面积贴合理论，在长度为通径的线段

AE

上作一个长为

AQ

、面积等于

PQ

的矩形，该矩形的宽

AG

小于

AE

，且不足于

AE

的部分矩形

GERF

与长为

AB

、宽为

AE

的矩形

AETB

相似.因矩形

AGFQ

未填满矩形

AERQ

，故称椭圆为亏曲线.如图14，已知双曲线的左、右顶点分别为

B

和

A

，

P

(

x

,

y

)为双曲线上异于

A

,

B

的任意一点，

PQ

⊥

AB

，垂足为

Q

.

CD

为垂直于实轴

AB

的焦点弦(称为双曲线的通径)，易知过

A

作

AB

的垂线，且在垂线段上(位于

x

轴下方)取

AE

=

CD

，连结

BE

并延长，交

PQ

的延长线于

F

，利用相似三角形性质易得

图14 双曲线方程的几何意义

由双曲线方程得此即

PQ

=

AQ

×

QF

，故得双曲线方程的几何意义：矩形

AGFQ

的面积等于

PQ

.根据面积贴合理论，在长度为通径的线段

AE

上作一个长为

AQ

、面积等于

PQ

的矩形，该矩形的宽

AG

大于

AE

，且超出

AE

的部分矩形

GERF

与长为

AB

、宽为

AE

的矩形

AETB

相似.因矩形

AGFQ

超出矩形

AERQ

，故称双曲线为盈曲线.如图15，已知双曲线

y

=2

px

(

p

>0)的顶点为

A

，

P

(

x

,

y

)为抛物线上异于

A

的任意一点，过

P

向

x

轴引垂线，垂足为

Q

.

CD

为垂直于

x

轴的焦点弦(称为抛物线的通径)，易知

CD

=2

p

.过

A

作

x

轴的垂线，且在垂线段上(位于

x

轴下方)取

AE

=

CD

，过

E

作

x

轴的平行线，交

PQ

的延长线于

F

，

QF

=

AE

=2

p

.

图15 抛物线方程的几何意义

由抛物线方程得

PQ

=

AQ

×

QF

，故得抛物线方程的几何意义：矩形

AEFQ

的面积等于

PQ

.根据面积贴合理论，在长度为通径的线段

AE

上作一个长为

AQ

、面积等于

PQ

的矩形，该矩形的宽恰好等于

AE

.因矩形

AEFQ

恰好占满

AE

，故称抛物线为齐曲线.

可见，三种圆锥曲线方程的几何意义揭示了它们之间的统一性.

又如，今日教科书并未揭示正弦定理和余弦定理之间的密切关系，而历史上数学家已经证明了两者之间的等价关系.

由余弦定理，不难得到 sin

A

=1-cos

A

=,sin

B

=1-cos

B

=,sin

C

=1-cos

C

=.于是有故得正弦定理的结论.又由正弦定理得

a

sin

B

=

b

sin

A

，于是有

a

sin

B

=

b

sin

A

，即

a

=

b

+

a

cos

B

-

b

cos

A

=

b

+(

a

cos

B

+

b

cos

A

)(

a

cos

B

-

b

cos

A

)=

b

+

c

(

c

-2

b

cos

A

).同理可得另两个等式.实际上，平面三角中的和角公式、射影公式、正弦定理和余弦定理之间有着密切的内在联系，如图16所示.

图16 平面三角公式与定理之间的联系

4 登高望远

对于一个知识点的教学，不能仅仅照本宣科，作茧自缚，为知识而知识，而需转换视角，从更高的观点对该知识点加以审视，从而进一步构建“知识之谐”.用函数的观点来看绝对值不等式，不难发现，它不过是函数

f

(

x

)=|

x

|的凹凸性的一种表达方式(图17)：或即

图17 函数观点下的绝对值不等式

类似地，若考察函数

f

(

x

)=ln

x

和

g

(

x

)=

x

的凹凸性，则分别有即得不等式人们熟悉的均值不等式链也可以从高观点加以审视.可以证明，函数为单调递增函数.又因故定义则

F

(

x

)为(-∞,+∞)上的单调递增连续函数.由

F

(-1)≤

F

(0)≤

F

(1)≤

F

(2)可得可见，中学数学课程中出现的一些不等式，不过是有关函数性质的推论而已.

HPM课例研究的主要目的是利用数学史料来改善教学，但教学设计研讨不可能仅仅局限于古代的数学史料上.事实上，在德国数学家F·克莱因(F.Klein,1849—1925)之前，函数概念并非中学数学课程的核心概念，人们很少用函数观点来看待中学数学课程中的主题.因此，HPM研究者还需要以更宽广的视野去研究有关主题的历史.

5 质疑问难

正如做一道好菜既需要好的食材也需要好的烹饪技术一样，从HPM的视角上一节好课，既需要好的数学史料也需要好的运用策略.如何将数学史料融入教学设计，特别是如何利用数学史料编制理想的数学问题，是教学研讨的重要主题.

基于数学史的问题提出策略包括复制式、情境式、条件式、目标式、对称式、串联式和自由式七类，表1给出了不同类型的史料与问题提出策略之间的对应关系.

表1 基于数学史料的问题提出策略

类别数学史料问题提出的策略含有条件和目标公式、定理或法则复制式、条件式、目标式、对称式、自由式数学问题复制式、情境式、条件式、目标式、对称式、串联式、自由式不含条件和目标概念定义自由式作图工具自由式其他史实自由式

例如，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中给出以下命题：如图18，设

P

是圆、椭圆或双曲线上一点，过

P

向对称轴引垂线，垂足为

Q

，

T

是对称轴上位于曲线外的一点，满足

TB

∶

TA

=

QB

∶

QA

，则

TP

为曲线在点

P

处的切线.由该命题可得圆锥曲线切线的尺规作图方法：如图18，设点

P

是圆、椭圆或双曲线上一点，

AB

为直径、长轴或实轴，在

AB

延长线(或

AB

)上取一点

C

(

C

位于曲线外部)，使得

BQ

=

BC

，过点

B

作

AP

的平行线，交

AB

在点

C

处的垂线于点

D

，连结

DP

，交

AB

延长线或

AB

于点

T

，则

TP

即为所求的切线.事实上，根据作图法有

TB

∶

TA

=

BD

∶

AP

=

BC

∶

AQ

=

QB

∶

QA

.据此我们可以采用自由式策略提出以下解析几何问题：

图18 圆和圆锥曲线切线的作图

设点

P

是圆

x

+

y

=

a

上一点，

AB

为直径，

PQ

⊥

AB

，垂足为

Q

.在

AB

延长线上取一点

C

，使得

BQ

=

BC

，过点

B

作

AP

的平行线，交

AB

在点

C

处的垂线于点

D

.试证明：

DP

为圆在点

P

处的切线.类似地，你能给出椭圆和双曲线的切线作图法吗？

数学史为数学问题的编制提供了取之不尽、用之不竭的资源.

6 归根结底

在教学研讨中发现，许多教师在运用数学史料时往往忘了“初心”，即未能深入思考为什么要采用HPM的视角、数学史究竟有什么独特的价值、用HPM和不用HPM究竟有何不同，在实际教学中，也缺乏对整节课的提炼和升华.教学研讨中，对于HPM视角下的一份教学设计，至少可从数学思想(方法之美)、核心素养(能力之助)、数学文化(文化之魅)、学科德育(德育之效)等角度加以总结.

例如，“绝对值不等式”的一种教学设计如下：从历史上的等周问题中，抽象出等周矩形的最大面积问题，从而引出均值不等式；引导学生用代数方法和几何方法(勾股容方模型)对不等式加以证明；再用海伦公式和均值不等式来解决古希腊的三角形等周问题：底边固定的所有等周三角形中，面积最大的三角形具有什么形状？这样一份教学设计运用了三种数学思想——从特殊到一般、数形结合和化归，落实了三种核心素养——数学抽象、逻辑推理和直观想象，呈现了三种文化元素——知识源流、社会角色和多元文化，体现了三种德育价值——理性、信念和品质.

又如，“正弦定理”的一种教学设计如下：根据10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希(al-Kuhi)测量流星的方案，提出流星测量问题，引出解三角形问题；再从《几何原本》卷一中的“等边对等角”“等角对等边”“大边对大角”“大角对大边”四个命题出发，引出三角形边角定量关系问题；然后引导学生从图19所示的特殊三角形中得到特殊的边角关系进而猜想出一般三角形的边角关系；然后引导学生探究正弦定理的各种几何证明；最后利用正弦定理解决流星测量问题.这份教学设计运用了一种数学思想——转化，落实了两种核心素养——逻辑推理和直观想象，呈现了三种文化元素——知识源流、学科联系和多元文化，体现了四种德育价值——理性、信念、情感和品质.

图19 特殊直角三角形中的边角关系

以上我们呈现了HPM视角下教学研讨的一个较为完整的内容框架，其中，“追本溯源”“想方设法”“探赜索隐”和“登高望远”解决的是“用什么数学史料”的问题，“质疑问难”解决的是“如何用数学史料”的问题，“归根结底”解决的则是“为何用数学史料”的问题.我们有理由相信，在HPM教学理念广泛传播和教师在线学习研修常态化的今天，基于该框架的教学研讨，对于确保HPM课例质量、促进教师专业发展、深化HPM实践研究必将产生积极的影响.