平行四边形的存在性

何晓明

真题呈现

例 如图1，在平面直角坐标系中，直线[y=-34x+3]与x轴、y轴分别交于点A，B，点C的坐标为（0，-2），若点D在直线AB上运动，点E在直线AC上运动，如果以点O，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标.

破解策略

A，O两点是确定的，D，E两点是不确定的，可以先在直线AB上任取一点D，再将点D看作定点，这样就转化为三个定点了，然后以對角线为标准分类：①AO为对角线;②OD为对角线;③AD为对角线. 再分别画出符合题意的图形求解.

模型构建

第一步，分别以OA为对角线、OD为对角线、AD为对角线分类;第二步，画出标准图形;第三步，准确进行计算.

（1）OA为对角线.

画出标准图形：先在直线AB上任取一点D，作出平行四边形，如图2，当然这个图形并不符合题意，其目的是借助图形帮助思考，虽然此时点E不在直线AC上，但利用此图可以更直观地发现各条边的关系，如OE[⫽]DA，因为点D在直线AB上运动，所以当点D运动时，点E在过点O且平行于AB的直线上运动，如图3，这样可以确定点E，再画出标准图形，确定点D，如图4.

方法一：联立直线OD与直线AB的解析式.

∵A（4，0），C（0，-2），易得[yAC=12x-2]，∵OD[⫽]AC，[∴yOD=12x]，将直线OD与直线AB的解析式联立可得方程[12x=-34x+3]，得[x=125]，[∴D125 ， 65].

方法二：利用中心对称计算.

∵直线AB的解析式是[y=-34x+3]，直线AC的解析式是[y=12x-2]，可设[D ][m， -34m+3]，[E] [n， 12n-2]，当AO为对角线时，可得[xO+xA=xD+xE，yO+yA=yD+yE， ]

即[0+4=m+n，0+0=-34m+3+12n-2， ]解得[m=125，n=85， ]

再将[m=125]代入[y=-34m+3]，得[y=65]，[∴D125 ，65].

（2）OD为对角线.

方法与第一种情况相同，画出标准图形：先在直线AB上任取一点D，作出平行四边形，如图5;借助图形帮助思考，发现OE∥AB，可以确定点E轨迹，如图6;确定了点E，再画出标准图形，确定点D，如图7.

方法一：联立直线OE与直线AC的解析式，求出点E的坐标，再利用坐标平移求出点D的坐标.

易得[yAC=12x-2]，∵直线AB的解析式是[y=-34x+3]，且OE[⫽]AB，∴[yOE=-34x]，解方程[12x-2=-34x]，可得点E的横坐标为[85]，∴点D的横坐标为[xD=85+4=285]，进而可得[D285 ，-65].

方法二：利用中心对称计算.

设[D ][m，-34m+3]，[E ][n，12n-2]，当OD为对角线时，可得[xO+xD=xA+xE，yO+yD=yA+yE. ]请同学们自己完成计算过程.

（3）AD为对角线.

画出标准图形：先在直线AB上任取一点D，作出平行四边形，如图8;借助图形帮助思考，发现DE[⫽]OA 且DE = OA ，可以确定点E轨迹，如图9;确定了点E，就可以确定点D，如图10. 经计算可得[D125 ，65].

问题变式

如图11，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，顶点A，C分别在x轴、y轴上，顶点B的坐标为（3，4），点E在OC边上运动，点F的坐标为（2，4）.  将矩形OABC沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点G处.

（1）直接写出点G的坐标和直线EF的解析式;

（2）若点N在x轴上，点M在直线EF上，如果以点M，N，F，G为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.

解析：（1）（3，4 - [3]），[y=3x+4-23].

（2）点F和点G是定点，点M和点N是动点，所以此问可转化为图12，然后按照之前的办法求解.不妨将x轴上的点N看作定点. 第一步，确定分类标准（类比上题的经验，以对角线为标准分类：①FG为对角线;②GN为对角线;③FN为对角线）;第二步，画出标准图形，三种图形的具体情况如图13.

第三步：准确进行计算，过程略.

答案：[（1+433，8-3）]，[（1-433，-3）]，[（3-433，3）].

（作者单位：辽宁省沈阳市浑南区教育研究中心）