基于SIR-MCMC 方法的新冠肺炎疫情评估与防控

周潜，欧宜贵，邓新春，黄振，黄玉兰

（1.湖南工业职业技术学院基础课部，湖南 长沙 410000；2.海南大学理学院，海南 海口 570228）

当前，我国处在对新冠肺炎疫情内防扩散、外防输入的重要阶段。因我国新冠肺炎疫情较早出现在湖北省，文章研究湖北省的新冠肺炎疫情相关数据，评估其发展进程和不同防控措施的效果，对未来有针对性地确定防控措施及资源调配提供参考。

目前，众多学者针对各类疫情展开了广泛的研究，其主要研究方法可分为四类。第一，基于确定性SIR 动力学模型思想的应用研究。喻孜等对经典SIR 模型进行修正，利用时变参数对新冠肺炎疫情发展进行预测，并分析了防控措施对疫情发展的影响［1］；Yang et al.应用SEIR 模型，采用多重拟合确定模型参数，对新冠肺炎疫情发展进行了综合预测［2］；Tang et al.基于新型冠状病毒的临床特征、传染性特征以及相关干预措施，对仓室模型进行了拓展，证明强化密切接触者的追踪、隔离可有效降低新冠肺炎疫情的传播风险［3］；Jia et al.基于SEIR 模型，针对我国对新冠肺炎疫情的群体隔离政策进行了建模，说明了隔离措施的有效性和必要性，同时分析了疫苗介入对疫情控制的影响［4］。第二，基于随机性传染病模型思想的应用研究。Gray et al.基于感染者数量建立随机微分方程，将经典的SIS 模型拓展到了随机模型［5］；Clancy 基于感染周期非指数分布的前提假设，构建了一个分段马尔可夫链模型，并用鞅推断出了传染病幸存者数量和感染者轨迹下的联合分布［6］；徐宝春以SARS 为研究对象，对比研究了确定性SIR 模型和随机性SIR模型［7］。第三，基于指数增长模型的应用研究。各学者采用指数增长模型分析新冠肺炎疫情发展及防控工作进展［8-10］。第四，基于统计学模型的应用研究。各学者挖掘新冠肺炎疫情的小样本数据预测评估总体［11-12］。

确定性SIR 动力学模型逻辑清晰，在实际中被广泛应用，但其忽略了病毒传播过程中的随机因素，仅探究整体发展规律，而实际情况中，新型冠状病毒的传播存在一定的随机性，且病毒感染、恢复或死亡数量都是以人员个体为单位，并非确定性SIR 动力学模型所假设的各群体数量连续性变化，同时，基于随机性传染病模型思想的新冠肺炎疫情应用研究较少。文章沿用经典SIR 仓室模型的理念，各群体数量的变化以人员个体为单位，将各类人群的数量视为随机变量，应用马尔可夫链蒙特卡罗方法（MCMC）［7，13］模拟新型冠状病毒在不同仓室进行转移的可能性，记为SIR-MCMC方法，以此评估湖北省新冠肺炎疫情发展进程和防控措施效果。

1 模型描述

1.1 模型建立

经典SIR 仓室模型［14］116-117将人群分为易感者、感染者和移出者三类，并假设疾病传播期内，所考察地区的总人口不变，假设β为单位时间内感染者传染易感者的概率，简称感染强度，γ为单位时间内从感染者变为移出者的概率，即移除率。

在以下三种假设条件下，文章沿用SIR 仓室模型来研究新型冠状病毒的传播：新型冠状病毒传播期内，我国政府及时采取管控措施，有效地控制了人员流动，故在忽略自然死亡及出生等因素的前提下，假设传播期内湖北省总人口不变；虽一旦成为疑似或确诊人员，就会被政府迅速隔离，但考虑到管控期间的大范围人际流动少，多为家庭内或小范围内的人际频繁流动，故假设新增确诊病例均由已确诊病例感染；考虑到新型冠状病毒二次感染情形相对较少，为了便于研究，这里假设患者康复后再次被感染的概率为0。

文章记S（t）为t时刻正常且易感的总人数，I（t）为t时刻现有确诊人数，R（t）为t时刻已经治愈和治疗过程中死亡的总人数，对应SIR 模型的三类人群。将S（t）、I（t）、R（t）当作取值为非负整数的随机变量，沿用经典SIR 模型的基本假设，假定S（t）+I（t）+R（t）=N，只研究其中两个随机变量即可，那么可将{S（t），I（t），t≥0} 视为二元随机过程来研究，设该随机过程是时齐的马尔可夫链［13］，其联合概率函数记为：

由经典SIR 模型的假设可知，当时间间隔Δt足够小时，至多发生一次状态转移，故转移概率的具体形式如下：

1.2 参数处理及模型求解

自2020 年1 月21 日开始，国家卫生健康委员会公布每日全国新冠肺炎疫情数据。文章样本数据选自2020 年1 月21 日至4 月26 日的湖北省新冠肺炎疫情数据，主要采集累计确诊人数、新增确诊人数、累计治愈人数、累计死亡人数等信息，数据来源于国家卫生健康委员会及湖北省卫生健康委员会官方网站①中华人民共和国国家卫生健康委员会官网：http：//www.nhc.gov.cn；湖北省卫生健康委员会官网：http：//wjw.hubei.gov.cn。。

对模型进行求解，首先确定参数取值，湖北省人口约6 000 万，因卫生管控措施影响，感染者真正能接触到的易感者人数未知，即S（0）未知，将2020 年1 月21 日定义为初始日，则确诊人数的初始值I（0）=338，假定R（0）=0，则三个待估参数分别是移除率γ，感染强度β和易感者初值S（0）。

1.2.1 估计移除率

图1 不同β 与S（0）组合下的SSE

图2 对比了确诊人数模型拟合值与实际观测值，不难发现，基于SIR-MCMC 的随机模型较好地拟合了确诊人数的发展变化。

图2 确诊人数拟合值与实际观测值对比

2 新冠肺炎疫情评估与防控

为评估新冠肺炎疫情发展进程及不同防控措施的效果，文章结合上文的已估计参数，分别从基础再生数、t时刻现有确诊人数可靠性、感染强度β、移除率γ和疫苗介入这五个方面来分析。

2.1 基础再生数

发展初期，基础再生数是用于预估新冠肺炎疫情是否可能暴发的重要指标，据SIR-MCMC 方法计算的参数估计值β=0.000 003，S（0）=114 000，结合γ=0.077，不难得出样本所属疫情阶段的基础再生数R0：

这表明每个感染者在其患病期内有可能感染4.441 6 个易感者，政府综合管控的压力较大，必须采取严格的综合防控措施。

为刻画新冠肺炎疫情发展进程及防控措施效果，结合已估计参数，基于SIR-MCMC 模拟出S（t）序列，同理可根据如下公式，计算新冠肺炎疫情发展过程中的有效再生数Rt：

据模型假设可知，易感者人数随时间增加而减少，故有效再生数呈下降趋势，具体趋势如图3 所示。2020 年2 月17 日、18 日的有效再生数分别为1.018 3、0.875 5，即2020 年1 月21 日至2 月17 日，有效再生数大于1，表明新冠肺炎疫情规模持续扩大；自2020年2 月18 日开始，有效再生数小于1，即每个感染者在之后预期感染的平均易感者人数小于1，表明我国政府严格的防控措施效果逐渐显现，疫情逐步得到控制，较好地吻合了实际观测值的变化。

图3 有效再生数

2.2 评估t 时刻现有确诊人数

文章为便于掌握疫情观测数据的可靠性，采用SIR-MCMC 方法，结合已估计参数，模拟1 000 条I（t）散点图，易得I（t）的均值、标准差、频率分布等统计信息。因确诊人数的观测数据受诸多因素影响，离散程度偏大，不宜采用基于置信度的置信区间来衡量，故采用偏离均值n倍标准差的形式来描述I（t）。表1 截取了2020年3 月1 日—9 日的确诊人数相关指标，据此可知，I（t）的实际观测值均处在偏离均值2 倍标准差的区间内，其中大部分处在偏离均值1 倍标准差的区间内，说明实际观测值的可靠性较好。

表1 t 时刻现有确诊人数相关指标

2.3 感染强度β 分析

感染强度β是影响病毒传播的重要因素，现有确诊人数是防疫措施制定及医疗资源调配的重要参考指标，为衡量β改变对确诊人数影响的数量化程度，假定其他参数均不变，仅将β分别降低20%、50%，分别对其采用SIR-MCMC 模拟1 000 条I（t）散点图，并取t时刻的均值作为确诊人数的拟合值，对比不同β下，确诊人数随时间的变化情况。如图4所示，相比原模型，且β降低20%、50%时，确诊人数峰值分别下降了17.56%、56.39%，抑制效果均较明显，同时推迟了峰值时间，缓解了卫生防疫压力，而β降低时，基础再生数变小，新冠肺炎疫情也更易得到控制。这表明降低感染强度β的措施有利于对新冠肺炎疫情的控制，也有利于对医疗压力的缓解，具体措施包括重点提高卫生防疫水平，提高筛查率，早隔离、早治疗，保护一线医务人员等高危易感群体。

图4 β 改变下的确诊人数动态

2.4 移除率γ 分析

为衡量γ改变对确诊人数影响的数量化程度，同样假定其他参数均不变，仅对γ分别增大20%、50%，对比不同γ下，确诊人数随时间推移的变化情况。如图5 所示，相比原模型，当γ增大20%、50%时，确诊人数峰值分别下降了14.28%、32.48%，抑制均较明显，峰值时间变化不大，且γ增大时，基础再生数变小，新冠肺炎疫情更易得到控制。这表明增大γ的措施，同样有利于对新冠肺炎疫情的控制，也有利于对医疗压力的缓解，具体措施包括重点提高治疗水平，同时防治并发症。

图5 γ 改变下的确诊人数动态

2.5 疫苗介入分析

为衡量疫苗介入对确诊人数影响的数量化程度，同样假定其他参数均不变，将疫苗保护率从0%分别提高到20%、50%，即易感人群分别下降20%、50%，对比不同疫苗保护率下，确诊人数随时间的变化情况。如图6 所示，相比原模型，当疫苗保护率为20%、50%时，确诊人数峰值分别下降了33.94%、77.82%，抑制非常明显，同时推迟了峰值时间。这表明较大面积接种疫苗，对防控新冠肺炎疫情是非常有效的。

图6 不同疫苗保护率下的确诊人数动态

3 结语

文章基于SIR-MCMC 方法，采用实时数据拟合得出湖北省新型冠状病毒感染强度β=0.000 003，易感者初值S（0）=114 000，较好地吻合了实际数据，同时从五个方面研究了湖北省的新冠肺炎疫情发展和不同防控措施的效果，得出如下结论及建议。

（1）湖北省新型冠状病毒的基础再生数为4.441 6，必须对其采取严格的综合防控措施。自2020 年2 月18 日开始，有效再生数小于1，政府严格的防控措施效果逐渐显现，疫情逐步得到控制。

（2）通过模型仿真数据验证了t时刻现有确诊人数的可靠性，此方法亦可用于预测。

（3）降低感染强度β、增大移除率γ以及疫苗介入的措施，均有利于对新冠肺炎疫情的控制，有利于对医疗压力的缓解。当β降低20%、50%时，确诊人数峰值分别下降了17.56%、56.39%；当γ增大20%、50%时，确诊人数峰值分别下降了14.28%、32.48%；当疫苗保护率为20%、50%时，确诊人数峰值分别下降了33.94%、77.82%。