二元函数连续性与沿曲线的连续性之间的关系

2022-03-21常建明

常熟理工学院学报 2022年2期

关键词：四边形单调定理

刘雪，常建明

（常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500）

0 引言

根据连续函数的定义，平面区域 Ω 上的二元连续函数z=f（x，y）对自变量x和y分别都是连续的.但反之未必，也就是说，二元函数z=f（x，y）对每个自变量x和y的连续性尚不能保证它是一个连续函数.

例1[1]考察二元函数

函数f（x，y）在原点（0，0）处关于x和y都是连续的.但是函数f（x，y）在原点处是不连续的：沿直线y=mx（m为任意实数）趋于点（0，0）时，极限

与m有关，从而不存在.

因此当一个多元函数关于各个变量都连续时，如何寻求恰当的条件使得该函数连续的问题就值得去研究.关于此，我们熟知下述结果（见文献1 习题10）.

定理1设二元函数z=（fx，y）在 ℜ2上关于自变量x和y都是连续的，并且关于y是单调的，则f是 ℜ2上的连续函数.

我们指出定理1对一般的平面区域Ω也成立.

本文中，我们将推广定理1.我们先对定理1的条件做一些分析.二元函数z=（fx，y）关于自变量x和y的连续性相当于二元函数沿任何直线y=C1和任何直线x=C2的连续性；关于自变量y的单调性相当于二元函数沿任何直线x=C2的单调性.值得注意的是，这两族直线具有如下性质：（1）每族中任何两条直线都互相平行；（2）每族直线均覆盖了整个平面 ℜ2；（3）不同族中的任两直线互相垂直，从而在区域Q⊂ ℜ2内至多有一个交点.

我们考虑更一般的连续曲线族来代替直线族y=C1和直线族x=C2.如果族中任何两条曲线l1和l2不相交，我们称平面曲线族Г={l}是不自交的.如果区域Ω中的任何点都有族中某条曲线l通过，称平面曲线族Г={l}覆盖了区域Ω.如果Г1中任何一条曲线l1和 Г2中任何一条曲线l2在区域Ω内的交点至多只有一个，我们称两族平面曲线Г1和Г2于区域Ω严格相交.另外，如果对曲线l上任何按序排列的三点P1，P2，P3，f（P2）介于f（P1）和f（P3）之间，我们称函数f沿一条连续曲线l是单调的.

现在，我们的主要结果可叙述如下：

定理2设函数f在平面开区域Ω上有定义，Г1和Г2为严格相交的两族不自交连续可求长平面曲线，都覆盖了区域Ω.如果f沿两族中各曲线均连续，且沿Г2中曲线单调，则函数f在区域Ω上是连续的.

我们指出，很多微分方程的解在平面上就呈现出不自交曲线.因此，定理2具有较好的应用.

1 引理

为证明定理2，我们需要先证明如下辅助引理.

引理 1设Г1和Г2为严格相交的两族不自交连续可求长平面曲线，都覆盖了区域Ω，则对Ω任何内点P0，在Г1和Г2中各有两条曲线，使得这4条曲线围成的区域是Ω的子区域，并且P0是其内点.

证设P0∈Ω 为一内点，则存在δ0>0，使得U（P0,δ0）∩Ω.如图 1 所示，根据条件，曲线族Г1中有曲线l0通过点P0.由于曲线l0为可求长，在l0上存在点A0、B0位于P0的左、右两侧，使得以及如图 2 所示，过点A0、B0分别有曲线族 Г2中曲线m1、m2通过.

图1 引理1证明参考图1

下证：在m1上存在两点位于l0的两侧，使得通过该两点的曲线族Г1中曲线与m1、m2所围四边形区域含于U（P0,δ0）.

先证存在点D0∈m1于l0上侧，使得过D0的曲线l1与l0、m1、m2所围区域含于U（P0,δ0）.取点A1∈U（P0,δ0）∩m1（如图2所示）.则过点A1有曲线l1∈Г1.

图2 引理1证明参考图2

若l1满足要求，则得证.

若l1不满足要求，设l1与m2交于点B1，则存在点P1∈曲边四边形A0A1B1B0，使得P1∉U（P0,δ0）.设四边形A0A1B1B0中上距离最远的点（一定存在，为有界闭集，距离为连续函数）为Q1，过Q1有Г2中曲线m3（可能与m2重合）.

若l2满足要求，则得证.

若l2不满足要求，则同上.因此可定义一列点 {Pn}:Pn∉U（P0,δ0），Pn∈四边形A0A1B1B0.于是有

由致密性定理得：Pn有子列收敛于P0*∈A0B0，这与Pn∉U（P0,δ0）矛盾.

所以l0上侧存在四边形A0A1B1B0含于同理l0下侧也存在四边形A0A1B1B0含于U（P0,δ0）.于是存在四边形A2A1B1B2含于U（P0,δ0）.

引理1证毕.

2 定理2的证明

只要证明f(x，y)在区域Ω上任何一点P0(x0，y0)是连续的.根据引理1，我们可在如图3所示的四边形A2A1B1B2中考虑.由于曲线是可求长的，因此都是可参数化表示的.

图3 定理2证明参考图1

在点M处，按条件函数f(X1(t)，Y1(t))在t1处连续，从而存在δ2﹥0 使得当 |t-t1| ≤δ2时有

同样点N处，δ3﹥0，使得当 |t-t2| ≤δ3时有

在曲线m1'上取定点D(X1(t1-δ2)，Y1(t1-δ2))和C(X1(t1+δ2)，Y1(t1+δ2))，在曲线m2'上取定点A(X2(t2-δ3)，Y2(t2-δ3))和B(X2(t2+δ3)，Y2(t2+δ3)).

设通过点A的Г1中曲线l1'与Г2中曲线m1'交于点D'，通过点D的Г1中曲线l2'与Г2中曲线m2'交于点A'，按条件，曲线l1'与l2'是不相交的.我们假设靠近(x0，y0)的曲线为l2'.通过点B的Г1中曲线l3'与Г2中曲线m1'交于点C'，通过点C的Г1中曲线l4'与Г2中曲线m2交于点B'，并且设靠近(x0，y0)的曲线为l3'，如图4所示.这样，曲边四边形A'BC'D区域形成点P0(x0，y0)的一个邻域.