概念图和R语言在随机过程课程教学设计中的应用

唐风琴，王晓雨，司雨晨，安佰玲，吴 松

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

0 引言

随机过程作为概率论的一个重要分支，它是研究随机现象随时间变化规律性的数学理论.随机过程具有深刻的实际应用背景，广泛应用于经济、信息、生物、计算机及其他工程技术领域中［1-2］.该课程是统计学专业的一门主干课程，是概率论、测度论、数学分析等基础课程的动态延伸，也是时间序列和数理金融等后续课程的重要基础.作为集抽象性、科学性和应用性等特征为一体的数学类基础课程，学生普遍反映随机过程的理论晦涩难懂，解决实际问题能力不高，导致学生缺乏学习主动性，学习效果不甚理想.基于此，如何使学生在有限的课堂教学时间内掌握丰富的随机过程知识并能应用于实际是诸多教师追求的目标.已有部分一线教师对随机过程课程的教学设计和教学改革等方面进行研究，比如基于案例教学的角度探讨随机过程教学设计问题［3-4］，从精选教材、优化教学内容、提高学生实践能力和创新教学等方面讨论随机过程课程的教学改革［5-7］.本文通过问卷调查进一步分析学生学习该课程过程中存在的主要问题，并针对这些问题提出运用概念图辅助教学设计，并利用R语言等统计软件可视化一些抽象的概念，激发学生学习兴趣，培养学生探究式学习能力，优化教学效果.

1 随机过程课程教学现状调查

为给随机过程课程的教学研究提供有价值的参考，对淮北师范大学2017级和2018级统计学专业学生展开问卷调查，该问卷包含4个方面内容：随机过程课程学习的整体评估、随机过程学习过程中存在问题、随机过程的教学评价及该课程改进的意见和建议.其中第一部分重点调查学生对于这门课程难易程度等整体的认知，共设计5个问题；第二部分调查着重分析学生在随机过程过程学习中的盲区，问卷设计的问题具体到哪部分章节的概念抽象难懂、需要补充哪些专业知识等；第三部分内容调查学生对目前或者是已经学习过的随机过程课程教学的评价，包括对教师上课使用的辅助教学工具的满意度、对启发式或讨论式教学的认知等；第四部分是开放式调查，旨在了解学生期待的课堂教学方式和课后学习方式，对目前的随机过程提出意见和建议.前3部分内容均以单选或多选题的形式设计问题，第四部分以简答为主.问卷在“问卷星”后台进行发放与回收，数据处理借助“问卷星”统计和SPSS软件进行统计，本次共发放问卷110份，回收有效问卷100份.

从收集的数据上看，大部分学生认为随机过程课程难度系数大，仅有2%的学生认为该门课程简单，3%的学生认为该门课程比较简单，22%的学生认为该课程难度一般，54%的学生认为比较困难，认为该课程非常困难的学生占19%，这些数据再次表明该课程难度系数大.在学习该课程感到困难的学生中进一步分析其学习难点，设计4个选项（可多选），包括基础知识比较薄弱、基本概念晦涩难懂、知识无法融会贯通和例子缺乏可操作性，具体结果如表1所示.针对当前随机过程课程教学现状，对学生期待的教学内容和教学方式也做调查分析（多项选择），结果如表2所示.

表1 随机过程学习中困难点的频率分析

表2 希望教师增加相关知识的频率分析

调查问卷的数据表明部分同学学习随机过程课程确实存在困难，同时学生非常清楚欠缺之处，比如24.9%被调查学生认为基本概念晦涩懂，26.4%认为知识点多，无法融会贯通.被调查学生对现有的随机过程的教学内容和教学方式也提出意见和建议，比如他们希望在教学过程运用理论知解决实际问题，并能用统计软件模拟案例；希望利用概念图绘制知识点网络图，联立新旧知识，呈现概念的整合过程；期望在以教师讲授为主的课堂教学增加有效的师生互动等等.基于此，本文首先讨论通过概念图来辅助理论教学，将教学过程中零碎的知识点系统化，便于学生整体把握知识框架；其次，利用R语言将难以理解的概念、案例转化为直观的、易于理解的内容，并鼓励学生自己设置参数甚至设计简单程序更直观更深刻地理解随机过程中的基本概念，达到师生互动提高课堂教学效果，激发学生学习的主动性.

2 概念图在随机过程教学中的应用

近年来，概念图在各专业学科教学中得到广泛应用［8-11］，概念图是用来组织和表征知识点间关系的工具，旨在改变传统教学的机械式学习，实践教学表明，利用概念图可以帮助学生形成系统性、层次清晰的知识结构，将枯燥的学习变为有意义的学习［12-13］.随机过程课程知识点较为零碎，调查问卷结果也表明学生在学习过程中难以构建完整的知识体系，短时间内难易消化和理解这些知识点，削弱教学效果.因此，在随机过程教学过程中利用概念图辅助教学是非常必要的.

以中国人民大学出版社的“应用随机过程”的第三章泊松过程为例构建概念图.泊松过程是最基本的随机过程之一，本章结束后，教师应以齐次泊松过程为核心，从其成立的条件、具有的特性、实际应用及其推广出发创建概念图，引导学生明确关键知识点及其延伸范畴，逐步把相关概念进行组合，构建本章的整体知识构架，最终得到图1所示的概念图.该图明确各基本概念之间的关系及其特征，层次清晰，利于学生对泊松过程这一章相关知识点的理解.

期末的复习阶段是非常关键的教学环节，“应用随机过程”一书介绍泊松过程、更新过程、马尔科夫过程、鞅和布朗运动等常见的随机过程，知识点非常丰富，利用概念图将各类随机过程串联便于学生复习记忆.基于随机过程，从其2个子类——平稳随机过程和独立增量过程拓展，图2给出随机过程的概念图，该图简洁明了地刻画几类常见的随机过程之间的特征及相互关系.在此基础上，学生根据自己的知识结构再对具体的随机过程构建更详细的知识点层次结构，比如图1所示的泊松过程的概念图.在构建概念图的过程中教师应鼓励学生以小组讨论和课堂展示等多种形式进行，构建概念图是一种开放性的学习过程，对同一教学主题没有绝对的标准图例，学生通过反复讨论完成的概念图会很有成就感.

图1 泊松过程概念图

图2 常见随机过程的概念图

3 R语言在随机过程教学中的应用

随机过程理论性强、抽象性高，实际教学和调查报告均显示学生在基本概念的理解和实际应用上有所欠缺.研究表明，在教学中对抽象的数学概念引入可视化演示，有助于对内容的理解［14-15］.鉴于R语言简单易学、功能强大且开源等优势，本文利用R语言以泊松过程中3个基本概念为例演示可视化在实践教学中的重要性.

由图1可知，齐次泊松过程{N(t),t≥0}的2个重要推广是非齐次泊松过程{M(t),t≥0}和复合泊松过程{X(t),t≥0}，其中复合泊松过程在保险金融中有广泛的应用背景.从定义上看，M(t)是将N(t)中的强度函数γ推广为t的函数γ(t)，而，其中随机变量序列独立同分布且与[N](t)独立.因此，只有在理解N(t)的基础上，才能把握M(t)和X(t)的内涵，进一步地在实际中应用X(t).基于理论视角，图1显示满足3个条件的随机过程{N(t),t≥0}即为齐次泊松过程，那么它是如何计数的？如果能将{N(t),t≥0}的样本路径可视化，无疑会加深对该概念直观上的理解.下面给出上述3个随机过程的应用背景并利用R语言演示它们的样本路径.

图3 样本路径图

4 利用概念图和R语言辅助教学设计的教学效果

对2019级金融数学专业随机过程课程的教学设计进行改进，教学实践和调研数据显示，利用概念图和R语言辅助随机过程课堂教学设计是非常有意义的，具体表现在如下2个方面：

1）激发学生的学习兴趣，促进主动学习.利用概念图可以帮助学生进行理解性和发散性的学习，在不断完善概念图的过程中构建整体性的知识结构；利用R语言将抽象的随机过程概念或案例变得直观、具体，易于学生理解和掌握.这2种辅助教学方法都尝试将学生从传统的死记硬背的学习中解放出来，让学生体会到抽象、枯燥和繁冗的随机过程知识一方面有着层次清晰的关联，同时也可以将这种关联性或者独立的概念可视化，激发学生的学习兴趣，鼓励他们开展探索性学习.

为更好地对比教学效果，《应用随机过程》一书中第三章泊松随机过程的课堂教学和课后习题中均融入概念图和R语言，而第四章更新过程按照传统教学方式进行.这2章学习结束后，针对学生关于课堂教学内容的理解和知识点应用等方面展开调查分析.共有75位学生参与调查，其中66位同学表示以概念图展示的第三章知识层次结构清晰，课后习题错误率低，62位同学表示第四章知识点抽象难以直观理解，书上的例题可以看懂但是课后习题有难度.这些数据表明，以学习小组形式进行协作构图、合作编写简单R语言程序的学习方式是有效果的，这种学习方式进一步提高学生探究式的学习能力.小组成员对指定的题目进行讨论、汇总、记录，找到构图或者编程的最佳方式和方法，最终形成组内一致的结果.每位同学都参与讨论，在不断思考改进构图、校正程序的过程中获得成就感，激发学生学习该课程的主动性.参与调查的75位学生有72位同学非常希望后续课程的学习中继续结合概念图和R语言，说明学生对有效利用概念图和R语言可视化的随机过程课程的教学方式是满意的.

2）优化教学设计，提高课堂教学质量.随机过程是理论性较强的一门基础课程，教师在教学中仍占主导作用.教师通过指导学生构建概念图和R语言编程能够及时发现学生存在的问题，比如在构建泊松过程一章的概念图时，部分学生只关注齐次泊松过程、非齐次泊松的定义，并没有根据强度函数的性质区别这2个过程的本质差异，另外部分学生对复合泊松过程只记概念而忽略其在金融中的应用等，这样会构建出一个扁平化的缺乏知识点相关性的概念图.在用R语言对3类泊松过程进行可视化时，部分学生对随机过程和随机变量概念混淆导致代码错用等.这些都是传统的课堂教学中发现不了却不容忽视的教学问题.在实际教学中，通过概念图和R语言可视化辅助教学，帮助教师及时发现学生存在的知识盲区，根据学生的学习情况和教学大纲，适时适度地调整课程进度，优化教学设计.

引入概念图和R语言可视化辅助教学设计后，学生的平时作业质量更高，表现在正确的解题方法不再单一，对部分应用题给出模拟结果.第三章和第四章学习结束后分别进行2次小测验，每份测验的基础理论知识和应用各占50分，2份测验的难易程度相当.测验结果为：第三章90分以上的同学28人，80～90分23人，60分以下9人；第四章90分以上的同学15人，80～90分18人，60分以下17人.这些数据在一定程度上表明第三章的教学效果更好，也再次证实基于概念图和R语言的教学法的优越性，该教学方式把传统的填鸭式课堂教学变为学生主动学习的场所，有效地提高学生的归纳、演绎、推理和实践能力，提升教学效率.

5 结论

随机过程是统计学专业的一门重要的基础必修课程，其抽象难懂的理论概念让不少学生望而却步.基于调查问卷数据提供的学生对该门课程的学习诉求，在随机过程课堂教学中引入概念图辅助教学，帮助学生从错综复杂的零碎知识点中形成层次清晰的知识结构，同时，引入R软件，对抽象的基本概念和实际案例进行可视化教学.概念图和R语言可视化教学法将传统的单一的理论授课模式变为学生主动学习的场所，鼓励学生构建概念图和利用R语言进行实证模拟，使学生参与到教学活动中，激发他们的学习积极性，同时也提升学生的创新能力、分析问题和解决问题的能力.