含分数阶Bingham 模型的阻尼减振系统时滞半主动控制1)

张婉洁 *, 牛江川 *,, 申永军 *, 杨绍普 *, 刘佳琪

*(石家庄铁道大学交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室,石家庄 050043)

† (石家庄铁道大学机械工程学院,石家庄 050043)

引言

半主动控制系统[1-4]具有控制简单易操作,以及良好的控制效果等特点,在许多工程领域得到了广泛应用,如车辆悬架[5-6]、船舶可控浮阀[7]、结构振动控制[8]等.半主动控制策略的“开-关”切换条件中,通常需要采集系统的位移、速度等状态反馈信息进行规则判断,从而调整控制系统的阻尼、刚度以实现切换控制.

磁流变液阻尼器(magnetorheological fluid damper,MRFD)是一种典型的半主动控制装置,通过调整控制电流利用磁流变液提供可控阻尼力,有效地实现振动控制[9-10].常用的描述磁流变液阻尼器的模型主要包括Bingham 模型、双曲正切模型、Bouc-Wen 模型、黏性Dahl 模型和代数模型等[11-12].而基于分数阶的Bingham 模型已被证明能够以较少的参数更准确的描述磁流变液阻尼器的动力学特性,不但能够拟合磁流变液阻尼器力-位移间的响应关系,并且可以更准确地描述其速度-阻尼力的滞回特性[13-15].

对于基于磁流变液阻尼器的受控系统而言,传感测量、信号传递及作动机构执行均需要一定的时间,从而导致控制回路出现无法避免的时滞[16].时滞系统表现为系统输出相对于系统的输入具有一定的延迟,由于时滞的存在,可能会使系统的动态性能变差,降低控制系统的控制效果,甚至导致系统不稳定[17];也可能会改善系统的控制效果.王在华和胡海岩[18]从动力学角度对时滞动力系统的特点、研究方法、动力学等热点研究进展问题进行了综述.徐鉴等[19-20]深入讨论了时滞耦合系统的动力学研究进展.Yu 等[21]对天棚控制下磁流变阻尼器中的非线性和时滞特性进行了分析,得到了不同非线性和时滞参数下系统的分岔准则.Shen 和Ahmadian[22]分析了4 种含时滞的半主动动力吸振器的非线性动力学特性,以及时滞对控制系统性能的影响.Yan 等[23]分析了二自由度车辆悬架系统在时滞最优控制下的性能,并讨论了时滞对主动悬架系统控制稳定性的影响.Pyragas 等[24-26]提出的时滞状态反馈已成为有效调控系统性能的重要途径.Sun 和Xu[27]分析了一种二自由度的含时滞的可控机械吸振装置,实现了时滞反馈控制.Naik 和Singru 等[28]研究了时滞反馈控制下1/4 车辆悬架模型的共振、稳定性以及混沌振动问题.Taffo 等[29]分析了小时滞反馈控制下二自由度非线性车辆悬架的稳定性切换与分岔问题.Sun 等[30-31]分别提出了一种新型的时滞耦合非线性隔振-吸振复合结构,可有效抑制系统的共振,并分析了非线性隔振系统在多种不同激励下时滞主动控制的最优参数.

目前,大多数时滞减振控制策略是将含有时滞的位移、速度或加速度等反馈物理量直接引入系统的动力学方程.而当作动器的作用与时滞反馈物理量无关时,时滞对半主动控制的影响还需要进一步研究.因此,本文针对半主动控制过程中不可避免的时滞问题,在控制切换条件中引入时滞,将时滞作为一个可控变量,基于含有分数阶Bingham 模型的磁流变液阻尼器的线性刚度系统,构建含时滞的半主动控制系统模型.利用平均法对系统的主共振响应进行解析研究,采用Lyapunov 理论分析系统的稳定特性,并详细分析时滞对半主动阻尼控制隔振系统振动特性的影响.

1 近似解析解

基于磁流变液阻尼器的半主动阻尼控制隔振系统的物理模型如图1 所示,其中磁流变液阻尼器的阻尼力采用分数阶Bingham 模型进行描述.

图1 半主动阻尼控制隔振系统模型Fig.1 Model of semi-active damping on-off vibration isolation system

根据牛顿定律得到运动学方程为

其中,磁流变液阻尼器的阻尼力为

式中,fc为可变库伦阻尼力,与磁流变液的剪切屈服强度成正比,通过输入电压或电流改变磁场强度进行调节;c0为系统的等效黏性阻尼系数,cf为磁流变液阻尼器的黏性阻尼系数,由其制造尺寸和磁流变液的黏度系数决定.Dp(x-z)表示位移差的p阶导数,且 0＜p≤1 .依据Gerasimov-Caputo 定义[32],分数阶微分项可以表示为

其中,Γ(z)为Gamma 函数,满足 Γ(z+1)=zΓ(z) .

选取简谐激励z=Bcos(ωt) 作为基础激励,其中,B为简谐激励的幅值,且为常数,ω 为简谐外激励的角频率.令y=x-z,代入式(1)可得

依据平均法,设式(5)的解满足

其中,ψ=ωt+φ .根据平均法可得到一阶近似解振幅和相位满足的方程

由于振幅和相位是随时间变化的 ε 的同阶小量,因此将式(7a)和式(7b)在一个周期内进行平均处理,得到近似解析解振幅和相位的显式,即有

采用天棚阻尼半主动控制策略[33-35]对基于磁流变液阻尼器的隔振系统进行阻尼控制,磁流变液阻尼器所提供的阻尼力可表示为

其中,b为半主动控制参数(0≤b≤1),F1为磁流变液阻尼器所能提供的最大阻尼力.考虑到磁流变液阻尼器在电压为零时仍可提供一定的阻尼力,因此设定b=0.1 .

然而,基于磁流变液阻尼器的半主动控制系统在信号采集、信号传输、控制器决策、磁流变液阻尼器的响应过程中,存在的时滞会造成半主动控制信号滞后于理想状态.当采用半主动控制策略,系统在进行相应动作执行切换时,可控阻尼力FMR与当前时刻的系统速度x˙(t) 同步.而由于实现目标的控制系统和作动机构均需要一定的反应时间,具有时间滞后量 τ＞0,使得控制判断条件并非与当前时刻的速度(t) 同步,而是依赖于之前从传感器中获得的参数,与前面某一时刻的速度(t-τ) 同步.基于磁流变液阻尼器隔振系统的时滞半主动控制流程如图2所示.

图2 基于磁流变液阻尼器隔振系统的时滞半主动控制流程图Fig.2 Flow chart of the semi-active control of the MRFD based vibration isolation system with time delay

将系统中的时滞综合表示为时滞 τ,含时滞的天棚阻尼控制策略如下

其中xτ=x(t-τ),zτ=z(t-τ) .控制条件为

对于周期函数,其周期为T=2π/ω,式(8a)和式(8b)中第一部分的积分为

根据文献[36-37],可以得到稳态响应时分数阶项的近似表示

因此,第二部分在一个周期内的积分可以为:

当β ≥0 时

当β ＜0 时计算类似,由此可以得到第二部分在一个周期内的积分为

当考虑时滞对半主动控制的影响时,计算第3 部分在一个周期内的积分需要分别考虑8 种情况.当β ≥0 时,包括如下4 种情况:情况(1) (记作q1)

情况(3) (记作q3)

情况(4) (记作q4)

当β ＜0 时,同样包含4 种情况:

情况(5) (记作q5)

情况(6) (记作q6)

情况(7) (记作q7)

情况(8) (记作q8)

假设a＞ 0,在情况(1)下计算和可以得到

其他情况下可以进行类似的计算.由此可以得到第3 部分在一个周期内的积分为

其中

可以看出U和V既与控制参数b有关,又与时滞τ有关.因此,当β≥0和β＜0时,a˙和aφ˙可统一表示为

将系统原参数代入可得

2 系统的定常解

研究系统的定常解,假设和分别是稳态解对应的振幅和相位,令式(20a)和式(20b)中=0,=0,可以得到系统的稳态方程

依据式(21a)和式(21b)可以得到系统的稳态幅频响应方程为

以及相频响应方程

根据幅频响应方程可以得到

3 定常解的稳定性分析

采用Lyapunov 一次近似理论判断系统的稳定性,对稳态解引入小扰动,令a=+Δa,φ=+Δφ,代入式(20a) 和式(20b),略去高阶项进行线性化,可得

则特征方程为

因此,系统定常解稳定的充要条件为

4 数值解验证

根据参考文献[13,38-39]选取一组示例参数值,具体参数为m=240 kg,c0=50 N·s/m,k=15 000 N/m,磁流变液阻尼器的参数选择为:cf=300 N·s/m,fc=1000 N,分数阶阶次p=0.84,基础激励幅值为B=0.1 m.利用文献[32]中的数值求解方法对系统进行数值计算,时间总长设定为188.5 s,以h=π/5000为步长,并将后62.8 s 响应的最大值作为稳态响应的峰值.通过计算发现,系统对于所有 τ≥0 始终满足稳定性条件(29),说明当隔振器的作用与时滞反馈物理量无关时,时滞的引入未改变系统的稳定特性.

当系统处于被动控制(b=1)、不考虑时滞半主动控制(b=0.1,τ=0)、小时滞半主动控制(b=0.1,τ=40 h)、较大时滞半主动控制(b=0.1,τ=300 h)及(b=0.1,τ=580 h),以及大时滞半主动控制(b=0.1,τ=2000 h)时,根据数值解和近似解析解得到的幅频响应曲线分别如图3(a)～ 图3(f)所示,图中圆圈表示数值解,实线表示近似解析解.从图3 中可以看出,系统在被动控制以及时滞较小的半主动控制时,近似解析解都与数值解具有很好的一致性,而时滞较大时,在共振峰值附近具有很好的一致性.系统在低频(频率小于 7rad/s)时数值解接近为0,是因为传递到磁流变液阻尼器的外力不足以克服其内部剪切摩擦力,使得系统几乎没有运动[14],此时半主动控制策略也不作用于系统.在半主动控制下,随着时滞的增大,系统出现了明显的高频颤振,如图3(d)～图3(f)所示,而且时滞越大,高频颤振问题愈加突出,振动控制效果恶化,因此,对于考虑时滞的天棚阻尼半主动控制系统而言,小时滞下的半主动控制才具有振动抑制的实际意义.

图3 数值解与解析解的幅频响应曲线比较Fig.3 Comparison of amplitude-frequency response for numerical solution and analytical solution

图3 数值解与解析解的幅频响应曲线比较(续)Fig.3 Comparison of amplitude-frequency response for numerical solution and analytical solution (continued)

5时滞对半主动控制的影响

为分析时滞对半主动控制(b=0.1) 的减振效果,对比图3(a)～ 图3(d) 4 种不同控制状态和不同的小时滞控制参数时系统的幅频响应曲线,如图4 所示.可以看出,当时滞为0,40 h (25.1 ms)时在半主动阻尼控制下系统的稳态振幅在一定的激励频率范围内优于被动控制(b=1)下的系统稳态振幅,可以有效地降低共振幅值.而当时滞为300 h (188.5 ms)时,反而会导致系统振幅的增大.相较于被动控制系统的幅频响应曲线,不同时滞下的半主动阻尼控制不但会改变系统振动的峰值,其相应的共振频率也会发生变化.

图4 被动控制与不同时滞半主动控制的幅频响应曲线对比Fig.4 Comparison of amplitude-frequency response curves between passive control and different time delay semi-active control

进一步研究时滞对系统振幅的影响规律.在天棚阻尼半主动控制策略下取时滞间隔为 5h,利用近似解析解获得图5 所示的激励频率为 ω=9 rad/s 和ω=10 rad/s 时系统稳态幅值-时滞响应曲线.在固定激励频率下系统的振幅呈现出与频率相关的固定周期的变化规律,频率越大所对应的变化周期越小.

图5 固定激励频率下系统稳态幅值-时滞响应曲线Fig.5 Steady-state amplitude with time delay under the fixed excitation frequency

根据近似解析解得到系统主共振峰值-时滞响应曲线如图6 所示.从图中可以看出,主共振峰值amax随时滞 τ的变化是非简谐的,但amax出现了明显的周期性变化规律,而且随着时滞 τ 的增大,主共振峰值所能达到的最小值越大.对比被动控制下主共振峰值(约为0.255 m),当时滞为364.4 ms (τ=580 h)时系统的主共振峰值也小于被动控制下的主共振峰值.但是由图3(e)可知,由于时滞的增大系统会出现高频颤振,因此只考虑第一个时滞周期内的时滞量作为时滞参数.由图6 得到,当系统的固有时滞小于44 ms (τ=70h)时,在此范围内的时滞半主动控制均可以达到优于被动控制的目的;当系统的固有时滞大于44 ms 时,半主动控制在时滞的影响下,会导致系统的振动抑制效果恶化,此时被动控制效果则优于半主动控制.特别地,在时滞为28.3 ms (τ=45h)时,时滞天棚阻尼控制策略可以达到最优减振效果,即当系统的固有时滞小于此最优时滞时,可以对控制系统引入时滞使其达到此最优时滞,使得系统主共振峰值最低.

图6 主共振峰值随时滞的变化曲线Fig.6 Primary resonance peak with time delay

改变半主动控制参数b为0.3 和0.6,绘制主共振峰值随时滞的变化曲线如图7 所示.可以看出,随着半主动控制参数b的减小,时滞变化时主共振峰值的变化增大,但是对最优时滞区间没有影响.在最优时滞区间内,半主动控制参数b越小,主共振振幅越小.

图7 不同参数 b时系统主共振峰值随时滞的变化曲线Fig.7 Primary resonance peak with time delay of differentb

主共振峰对应的共振频率-时滞响应曲线如图8 所示,其对应的共振频率 ωr随时滞 τ 的变化也是非简谐的,半主动控制参数b越小,主共振峰对应的共振频率变化范围越大.

图8 不同参数 b时共振峰值对应的频率-时滞曲线Fig.8 Frequency corresponding to resonance peak with time delay of differentb

6 结论

本文对基于磁流变液阻尼器的隔振系统在含有时滞的半主动控制策略下的系统共振响应及其振动特性进行了分析.针对含有磁流变液阻尼器的半主动阻尼控制系统中存在的时滞问题,将时滞引入半主动控制切换条件中,利用平均法对基于分数阶Bingham 模型的线性刚度系统在天棚阻尼控制下的主共振响应进行了解析研究,得出系统的近似解析解,并通过数值计算验证了解析结果的准确性,解析结果与数值解具有较好的一致性.采用Lyapunov 方法分析了系统的稳定特性,而且在全频域内,时滞的引入并不会改变原系统的稳定性.通过分析时滞对系统幅频响应曲线的影响,表明在一定的小时滞范围内,与被动控制相比,时滞半主动控制策略可以有效地降低主共振峰值,达到系统减振的目的.并且存在一个时滞量的取值区间,使系统的振幅在一定的激励频率范围内低于被动控制系统,且在这个区间上会存在一个时滞点,使得系统的振幅得到最大幅度的降低.当系统固有时滞小于最优时滞时,在半主动阻尼振动控制系统的实际应用中即使不考虑时滞,也会使系统在一定的激励频率范围内得到满意的振动控制效果.然而大时滞的引入会导致系统的颤振,使系统的减振效果变差.本文的分析为实际工程应用中的半主动阻尼振动控制系统时滞选取提供了依据.