原来，它们的本质是一样的

成维嘉

在有理数的学习中，我们知道，“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，这便把有理数的减法转化为加法，使得有理数的加减混合运算统一成加法。因此，加法与减法本质是一样的。而根据“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，我们便把除法轉化为乘法。因此，乘法与除法本质上也是一样的。那么，在本章的学习中，同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法吗？它们的本质也是一样的吗？

同底数幂的乘法运算性质是：am·an=am+n（m、n为正整数）。同底数幂的除法运算性质是：am÷an=am-n（a≠0，m、n为正整数，m>n）。在规定了零指数幂a0=1（a≠0）和负整数指数幂a-n=[1an]（a≠0，n为正整数）的意义后，幂的运算性质的适用范围随之扩大到整数范围，同底数幂的除法运算性质扩展为am÷an=am-n（a≠0，m、n为整数）。这时不再需要强调m、n为正整数，也不再需要关注m与n的大小关系。同时，我们可以用同底数幂的乘法运算性质推导出同底数幂的除法运算性质。具体思路是：首先，把除法转化为乘法，am÷an=am⋅[1an];其次，根据a-n=[1an]（a≠0，n为正整数），得到am⋅[1an]=am⋅a-n;再次，根据同底数幂的乘法运算性质，得到am⋅a-n=am+（-n）=am-n;最后，am÷an=am⋅[1an]=am⋅a-n=am+（-n）=am-n。这个过程中，有am÷an=am⋅a-n，同底数幂的除法就转化为同底数幂的乘法了。原来，同底数幂的乘法、除法本质上是一样的。

根据乘方的意义，我们还可以发现（[ba]）n=[bnan]（a≠0，n是整数）。同学们，你能用类似上述的方法推导出这个结论吗？

教师点评

小作者不仅能正确地认识与理解幂的运算性质，而且能借助已有的知识，以理驭算，研究发现新问题，体现出数学的理性思考，是一种创新意识。“原来，它们的本质是一样的”是一个了不起的发现。

（指导教师：宋志娟）

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