计算 发现 猜想 证实

王金坤

前面，我们学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，经历了从特殊的、具体的运算入手，探索、归纳普遍适用的运算法则的过程。

比如，学习有理数的加法时，教材提出了这样一个问题：

甲、乙两队进行足球比赛。如果甲队在主场赢3球，在客场输2球，那么两场比赛后甲队净胜1球。上述比赛的过程和结果怎么用算式表示？我们可以用算式（+3）+（-2）=+1表示。若改变主场、客场赢球数，类似地，我们可以列出算式（-3）+（+2）=-1，3+2=5，（-3）+（-2）=-5，3+0=3，0+（-3）=-3，（+3）+（-3）=0等。

观察上述算式，请思考：当两个有理数相加时，和的符号、和的绝对值是怎样确定的？经过比较，我们可以很容易归纳出有理数加法法则。

幂的运算的基础是有理数的运算。我们可以尝试借鉴已有经验来学习与探索。

根据乘方的意义，我们可以计算：

102×103=100×1000=100000=105，

102×105=100×100000=10000000

=107，

104×105=10000×100000

=1000000000=109。

那么，怎么计算10m×10n（m、n是正整数） 呢？

10m×10n

=（[10×10×…×10m個10]）×（[10×10×…×10n个10]）

=[10×10×…×10（m+n）个10]

=10m+n。

如果将底数10换成3或者[13]，我们还可以用类似的方法计算，发现：

3m·3n=3m+n ，（[13]）m·（[13]）n=（[13]）m+n。

观察上述算式，你有什么发现？

上述算式给了我们直观的、感性的认识。经过比较、思考，我们不难发现：am·an=am+n。那么，这个猜想是否成立呢？接下来，我们进行证明。

am·an=（[a·a·…·am个a]）·（[a·a·…·an个a]）

=[a·a·…·a（m+n）个a]=am+n。

这就告诉我们，对于任意的底数a，当m、n为正整数时，am·an=am+n。也就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。这就是同底数幂的乘法运算性质。

上述过程，是我们应用已有的知识“做”数学的过程。我们的探索活动大致分为3个层次：一是幂的底数和指数都是具体的数;二是幂的底数是具体的数，指数是用字母表示的数;三是幂的底数和指数都是用字母表示的数。探索这3个活动的过程是逐步由具体到抽象，由特殊到一般的过程。

再如，计算：

（32）3=32·32·32=3×3×3×3×3×3=36，

[（-10）4]2=（-10）4×（-10）4=（-10）8，

[（[12]）3]4=（[12]）3×（[12]）3×（[12]）3×（[12]）3=（[12]）12，

……

于是，我们发现：

（32）3=36，

[（-10）4]2=（-10）8，

[（[12]）3]4=（[12]）12。

从这些特殊的计算中，我们猜想：（am）n=amn。接下来，我们进行验证：

（am）n=[am·am……amn个am]=a[m+…+mn个m]=amn。

这样就证实了我们的猜想是正确的。于是，归纳得出：对于任意的底数a，当m、n为正整数时，（am）n=amn。也就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。这就是幂的乘方运算性质。

对于上面两个性质的探索过程，我们都是在具体的运算中首先发现了结论，这是一种感性的认识，是一种合情推理，然后通过一般推演来验证发现的结论，从而形成理性的认识。这样，我们不仅增强了解决问题的能力，而且感受了证明的乐趣。

同底数幂的乘法、幂的乘方运算性质的探索过程是一致的，思路都是通过具体的数字运算，发现规律，提出猜想，再用字母代替数字，运用已学的运算法则证实猜想。同学们不妨自己尝试一下，用类似的方法来探索同底数幂的除法、积的乘方运算性质。

（作者单位：江苏省盐城市毓龙路实验学校）

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