初等数论课程与高中数学对接的教学探索

2022-03-17杨帆

嘉应学院学报 2022年3期

杨帆

（嘉应学院数学学院，广东梅州 514015）

数论是一门古老的数学分支，在数学中占据着重要的地位，被大数学家高斯誉为“数学中的皇冠”.其初等部分以研究整数的基本性质为主，包括整数的可除性、不定方程、同余理论、平方剩余、原根与指标、连分数等内容.初等数论是一门十分重要的数学基础课程，因此大部分高等院校将初等数论设置为专业选修课程之一，在本科阶段的第6-7 学期开设.另一方面，初等数论作为中学数学中关于数的理论的继续和提高，与中学数学有着非常密切的联系，是中学数学与大学数学衔接的一座最好的桥梁.因此，本文将针对初等数论课程的特点，对初等数论如何与高中数学对接进行初步的探索.

1 改进教学内容，淡化陈旧部分

目前不少高等院校关于初等数论的教学内容相对陈旧，教学方式比较单一，并且与高中数学存在脱节问题，这些对于提高数论课程的教学质量，以及培养具有创造性思维能力的未来中小学数学教师都是十分不利.因此，在日常教学中要适当调整教学内容，突出教材中与中学数学联系比较紧密并能够启迪学生思维的章节，突出与生活联系比较紧密的内容，淡化以往传统教学中比较陈旧的部分.比如在讲同余式的基本性质时，可以和中学已经学过的一些判别因数的方法联系起来，对于一个正整数何时能够被3 或9整除的问题，大部分高中数学教材都有讲一个通用的判别方法，即这个正整数的十进位数码的和能否被3或9 整除.但限于当时中学生的认知能力，中学教材并没有给出关于这个定理的证明，所以在讲述初等数论相应内容的时候，就可以顺便提一下两者之间的联系，以便学生能够理解中学数学中数的理论是怎样和初等数论衔接在一起的.其实高中数学中一个计算公式的背后往往包含着初等数论的一个相关定理，在学习了这个定理的证明后，我们就能站在更高的角度去看待问题，这对于培养学生的思维能力乃至教学能力都是十分有益的.又比如在讲二元一次不定方程的求法时，可以把辗转相除法和中学教材讲的整数分离法进行比较，两种方法各有特点，通过一题多解可以拓宽学生的解题思路.

此外，要重视实例在数论教学中的作用，多讲一些例子帮助学生理解课本理论.初等数论主要研究整数的性质，整数是学生较为熟悉的对象，但教材中大多数篇幅是对定理的证明，并有少数定理的证明冗长且复杂，这一部分相对枯燥，难以激发他们学习的积极性.如果能适当补充一些例题的讲解，通过实例把抽象的理论具体化，用例子来验证定理的正确性，这是学生容易接受的方式.另外，还可引导学生思考某个定理的逆命题是否成立，若不成立是否可以举出反例.如在讲解费马小定理时，可让学生思考其逆定理是否成立，即若对于某个与p互素的正整数a有ap1{ 1(modp)成立，则p为素数.事实上，此逆定理并不成立，比如就是一个反例，由此可以引出伪素数的概念，并且给出了一个素性检验的方法，即所谓的费马检验.通过这个例子不仅可以加深学生对费马小定理的理解，还能学到新的概念和一个实际应用，有助于培养学生的创新意识和创新能力.

2 改进教学方法，激发学生兴趣

基础数学的理论对于绝大多数人来说，比较抽象且枯燥乏味，因而要调动学生学习数学的积极性，就需要采取各种特殊的手段.

首先，在课堂中增加关于数论的历史介绍，在讲某一章节时，可以把相关的数学家的贡献以及有趣的小故事讲给学生或者推荐一些科普读物给学生，让他们课外抽时间阅读.数论的研究历史十分悠久，早在公元前300 多年，古希腊的数学家就开始研究数论的问题.数论中充斥着大量的问题和猜想，许多问题往往叙述简单明了，但解决起来却异常困难，这些问题对于学生来说，理解起来相对容易，也容易激发他们的学习兴趣，从而感到数论是一门非常有趣的学科.例如在讲素数的概念时，介绍哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，这两个猜想在1900 年的国际数学家大会上被希尔伯特列为23 个数学难题之一，迄今仍未获得解决，我国数学家陈景润曾经在这个问题上做出过重大的贡献，他所证明的“1+2”仍然是目前最好的结果.通过这些故事，可以让学生体会到素数的概念虽然十分简单，但它的性质却是捉摸不透的，目前人类对于素数的理解还是比较浅显的，仍有许多性质无法证明.在讲不定方程时，可以介绍费马大定理曲折的证明过程，这个猜想由费马大约在1637 年提出，直到1995 年才最终由英国数学家怀尔斯所证明.费马大定理获得证明的历程，可以使学生感受到一个难题的解决所需要付出的努力和心血，数学家们不畏艰难、勇于探索的精神值得我们学习，同时一个难题的解决常常需要创造新的方法，而这就推动了数学的发展，甚至后者比解决难题本身更重要[1].在讲一次同余方程组时，介绍我国的《孙子算经》是世界上最早讨论一次同余方程组解法的著作，该求解方法也被称为中国剩余定理.

其次，在教学中增加关于数论的竞赛题的讲解.本校数学与应用数学专业以培养中小学数学教师为主，而初等数论的内容与高中数学竞赛的联系十分紧密，例如整除、素数与合数、带余除法、不定方程、欧拉函数等内容，这些知识点常作为中学奥数试题的数论部分的考点.因此，我们的教学可以以此为出发点和高中数学进行对接，在讲基本理论的同时，适当补充一些中学数学竞赛的题目，一方面可以提高学生的解题能力，激发其学习兴趣，另一方面也能为学生今后从事中学数学竞赛的辅导工作提供宝贵的经验.比如在讲不定方程的解法时，可以介绍无穷递降法，并且讲解一些可以用无穷递降法解决的竞赛题.无穷递降法是费马创造的一种证明不定方程无正整数解的方法，其背后原理是最小数原理，具有很强的技巧性，在一些高次不定方程中应用十分广泛，学生如果能熟练掌握该方法，对于解决数论证明题是很有利的.

再者，采用问题激发教学法.伟大的物理学家爱因斯坦指出：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许仅是一个数学上的或实验上的技能而已.而提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力而且标志着科学的真正进步”[3].由此可见，问题在知识获取过程中的重要地位是不可替代的.因此，教师在授课过程中可以抛出一些启发式的问题，引导学生进行思考，然后再采取专题讨论的形式，让学生自主进行探索.例如，在讲“素数有无穷多个”这一重要性质的时候，除了欧几里得经典的反证法以外，还可以抛砖引玉地提出别的方法让学生尝试去推导：（1）如何利用费马数两两互素的性质来证明；（2）如何利用关于群的拉格朗日定理来证明；（3）如何利用整数集合的拓扑性质来证明等等[4].此外，还可以进一步提问：某种类型的素数是否也有无穷多个，如最简单的等差级数中是否包含无穷多个素数等.这种探究式的教学活动有利于加强师生互动，活跃课堂氛围，并且可以促使学生养成勤于思考的良好习惯.

最后，加强实践环节，锻炼学生的实践能力.数论虽然是一门以研究纯理论为主的学科，但在实际生活中也有重要的应用，例如RSA 公钥密码系统等.在传统的理论教学之外，教师可以适当安排一些实验课，让学生去编写一些解决问题的程序代码，例如利用埃拉托色尼筛法编程求解(适当大的整数以内的)素数表，用计算机验证冰雹猜想，求多个正整数的最大公因数等等，在实践中加深对概念和定理的理解.这些活动既锻炼了学生的编程能力，又能激发他们的兴趣，可谓一举两得.此外，还可以介绍一些和数论有关的数学小游戏，比如Nim 游戏、Epstein 的取平方数游戏等，让学生在游戏中学习，思考如何获得最佳策略，体会数学的好玩之处，彻底释放他们的求知欲.

3 改进教学手段，提高教学效果

传统的教学手段以黑板板书为主，已经无法完全适应信息时代的教学，因此，教师必须将现代化教学手段与传统教学手段结合起来，才能进一步提高教学质量.在授课过程中可应用多媒体技术辅助教学，制作直观生动、图文并茂的多媒体课件进行展示，便于学生的理解以及增添课堂乐趣，同时也可以播放与数论相关的视频，让学生通过网络资源了解国际数论研究的最新成果，拓宽他们的视野.当然采用现代化教学手段的同时，也不能完全忽视传统教学手段的作用，一些定理的证明和题目的演算推导过程，这些内容还是用板书在黑板上讲解效果会更好，这样学生更容易跟得上进度，也有利于知识的汲取[5].