金融数学专业数学分析课程线上线下混合式教学模式探索

谢富生 李克典

（上海师范大学天华学院 上海 201815）

0 引言

“数学分析”课程是金融数学专业最重要的一门基础课，在金融数学专业的人才培养过程中具有举足轻重的作用。通过“数学分析”课程的学习，学生能够掌握运用数学工具分析经济、金融问题及解决经济、金融问题的思想和方法，为学习后继课程提供必要的基础知识、基本技能及思想方法。

2019年10月，教育部正式发布关于一流本科课程建设的实施意见，目标经过三年左右时间，建成万门左右国家级和万门左右省级一流本科课程（“双万计划”），其中线上线下混合式课程6000门左右。近年来，围绕“双万计划”网络课程平台的大量涌现，混合式教学模式越来越得到各级教育部门和高校的高度重视，教学效果明显，也越来越受到师生的普遍欢迎。混合式教学模式是传统线下教育的一种优化，通过利用丰富的互联网教学资源，将线上自主学习与线下实体教学有机结合。目前，基于学生的异质性来探讨数学分析混合式教学较多，但基于专业衔接视角探讨数学分析混合式教学是空缺的，本文结合了以上两方面的分析，以金融数学专业人才培养为基础，优化运用线上线下两个课堂，以学生为中心，探索具有创新性、高阶性和挑战度的数学分析线上线下混合式精品课程建设。在“互联网+”时代背景的大力推进下，针对当前金融数学专业数学分析课堂进行“线上+线下”核心教学体系的优化升级，发挥线上和线下两种教学的优势，拓展教与学的时间和空间，关注学生的个性化学习和多样化发展，为金融数学专业的学习奠定坚实基础。

1 数学分析在金融数学专业的作用

1.1 奠定数学基础

数学分析课程的主要任务是让学生获得基本的数学知识、思想和方法，培养逻辑思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。数学分析课程是金融数学专业的一门重要基础课，其内容包括极限论，一元函数微分学，多元函数微积分学与无穷级数等。数学分析中极限、导数、积分运算以及连续性和级数等问题的解决方法，可以直接用来处理经济、金融中的边际分析、消费者或生产者选择、一般均衡、金融计算与投资等问题。数学分析课程也是该专业进一步学习数学实验、概率论、数理统计、微分方程、微观经济学、宏观经济学、经济模型与实验、计量经济学、投资学、金融衍生品定价、金融计量学、数据分析、时间序列分析、机器学习等后继课程的阶梯。通过本课程的学习，使学生理解数学分析的基本概念，掌握必要的论证方法和演算技能。

1.2 提升数学素养

数学分析课程学习有利于提升学生的数学素养。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。包括数形结合思想、分类讨论思想、归纳推理思想、整体思想、化归思想、类比思想、极限思想、建模思想、函数方程思想等。数学思想方法在课程学习及科学研究中都具有非常重要的作用，具体体现在：一是提供数量分析及计算的方法；二是提供简洁精确的形式化语言；三是提供逻辑推理的工具。[1]数学分析教学的目的不仅要使学生掌握数学知识与技能，更要注重提升学生的数学思想素养。苏芳和覃学文（2012）[2]探究了数学分析课程中的化归与转化思想。谭伟明、李连芬和苏芳（2009）[3]从数学分析课程中的概念、问题解决、命题教学等教学环节探讨蕴涵在数学分析中的数学思想方法。数学分析教学有助于提升学生数学素养，让数学思想在形成良好认知结构和知识转化为能力中发挥纽带和桥梁作用。

2 数学分析课程与高中课程衔接

2.1 教学内容的衔接

数学分析课程是用极限的方法研究实变量的函数，这与高中课程学习的内容有着密切的联系，大学一年级学习的数学分析课程与高中课程内容有效衔接是一个意义的研究课题。龚小兵（2015）[4]认为中学数学与数学分析教学衔接困难源于中国教育模式转型。高校《数学分析》教材按照苏联教育模式编写，强调知识的系统性；基础教育教材按照欧美教育模式编写，强调知识的发生、发展、形成和应用过程，不再强调知识的系统性，而是强调学习数学知识的循序渐进性及有用性。这两者之间不一致性导致知识脱节和重复问题。 在吕琳琳（2019）[5]对知识点衔接问题现状进行了归纳整理的基础上，认为知识点衔接问题主要表现在：一是三角函数知识点衔接，缺少余切函数、正割函数、余割函数定义、性质及图像内容。但在数学分析课程中却直接出现了这三个三角函数的极限、微分和积分等运算，给学生学习后面知识造成了障碍。二是反三角函数知识点衔接，反函数概念在高中数学教材中仅有提到，数学分析教材中介绍了反函数的概念，但太过简单粗略，学生未能很好的理解与消化，对反函数与原函数关系理解一知半解。由于学生反函数内容学习的缺失，数学分析中涉及的反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等性质讲述较少，基本上就是以比较生硬的方式塞给学生。而在后续课程学习中，与这四个反三角函数相关的内容又占据了不少篇幅。三是极限概念、导数定义及相关知识点衔接。高中已简略介绍了极限与导数，但对于其概念是描述性的，并未用严格的数学语言阐述，大学里将极限与导数重新学习，学生总认为自己已学习过，学习态度及重视度不够，导致对其理解不够，学习效果不理想。四是极坐标的相关知识点衔接。在新课标下，高中数学已删除极坐标内容，数学分析中平面图形面积的计算、二重积分的计算等都与极坐标有关。

由于大学学生来自全国的不同省市，高中数学教材有差异，高考对知识要求有些地方不一致。同时金融数学专业在高考招生中的专业是文理兼收，而文科与理科在知识的深度与要求也存在较大差异，进一步加大了教学内容的衔接的难度。

2.2 学习方式的衔接

进入大学，由于生活学习环境的改变，学生学习方式的衔接有待调整。由于高考选拔机制的存在，高中授课方式多以知识灌输形式，学生习惯被动接受教师传授知识，无形中消磨了学生求知欲望与探索精神。其表现在通过重复训练，题海战术对知识进行巩固，很难激发学生的学习热情。并且学习一直在教师和家长的监督下进行，自我管理意识完全被家长和老师的监督管理所取代。而一旦进了大学，生活方式自理、学习方式自主，家长的放手与远离，教师也不再像高中老师那样盯着学生学习，基本上只有上课时才能与老师接触，除了课堂练习和少量课后练习外，更多的是需要学生课前的预习与课后的巩固、深化。这需要学生能够进行自我管理、自我监督和自我学习，很多学生十分不适应这种学习方式的转变，如果不能及时进行学习方式的调整，跟上节奏，一旦数学分析课程落下，由于知识衔接紧凑，想要补上就比较困难。[6][7]

3 数学分析课程与专业学习的衔接

数学分析是金融数学专业的基础课，它是后续课程学习的必备基础，与专业学习有效的衔接是非常必要的，有利于激发学生的学习动力和热情。数学分析教学质量的好坏直接影响到学生在概率统计、经济学、资产定价等后续经济理论课程的学习进度和掌握程度。数学分析课程中的基本理论和基本技能、思想方法为学生学习后续课程和解决具体问题提供了思维的方法与工具。其系统严密的论证方法也对学习理论知识及解决经济金融问题具有借鉴意义。数学对于经济与金融学来说，是一个透过现象看本质的必不可少的工具。只有结合数学方法进行数理分析，才能更好地探究隐藏在表象下的深层次经济学规律。所以，我们在教学过程中，应该创设情境、启发诱导，让学生知其然、更知所以然，认识到有用的价值且做到运用自如，从而激发学习积极性，提高教学效果。

数学分析课程教学中融入现实生活中与金融经济有关实例，既可以提高学生学习兴趣，又能够使学生明确金融与数学基础的联系，达到训练学生建立金融数学模型的思维方式。如在第二重要极限公式教学中，可以结合生活中的案例引入，假如你获得国家奖学金8000元，按以下方式进行投资（年利率为a），请计算本金与利息收入总和。（1）按年计算利息，现在存起来，试计算一年之后本利和多少？（2）利息按月结算，本利和是多少？（3）利息按天结算，本利和是多少？（4）当利息结算次数趋于无限大，本利和是多少？然后引导学生对问题进行归结为连续的复利问题，进而让学生了解资金的时间价值和利息理论，体现数学分析课程对后续专业课的服务功能。

学习导数与微分的内容时，可以加入边际函数的实例讲解，例如边际成本、边际收益，边际利润和边际效用等。为加深对边际效用递减的理解，早上饥饿的人吃包子是很好的例子，第一个包子比第二个包子带来更多的满足感。在导数的基础上引入弹性概念，并结合相关例子进行弹性分析，弹性分析中应强调其经济含义。

学习了定积分，可以利用定积分求总量函数问题。一般情况是已知边际成本、边际收益，边际利润函数，求总成本、总收益、总利润。还有经济学中利用定积分求消费者剩余与生产者剩余，金融学中利用定积分计算资本现值和投资问题。在课程讲授中可以配以一定例题及练习题，并给予一定的课外阅读材料，既可以提高学生学习兴趣也能够提高教学效果。

在学习泰勒级数后，可以将债券定价作为例子引入到数学分析的课程中。学习拉格朗日乘数后，可以用消费决策为例，例如：消费两种产品，其效用函数为凹函数，假定两者产品的价格给定，收入给定，问如何选择两种产品使效用最大化？

做好数学分析课程与专业学习的衔接，创设一个应用环境，让学生了解到知识的有用性，有利于激发学生学习的热情，提高学生学习的主动性，提升教学质量。

4 数学分析线上线下混合式教学

现阶段如何克服数学分析课程与高中课程衔接问题？怎样将数学分析课程与专业学习的更好地衔接？如何解决内容多、学时少问题？线上教学优势与线下传统教学优势有机结合的混合式教学模式，由于其包容性和拓展性，将是一个很好的解决方案。混合式教学模式充分承认个体在学生基础及学习速度的差异性，注重教学的异步性，使得个性化教学成为可能。[8]同时利用互联网丰富的现有教学资源，进一步拓展数学分析知识在经济、金融的应用，以此拓展课堂形式，营造沉浸式学习氛围，从而收到数学分析内容与应用相呼应的良好效果。

依据“数学分析”课程的特点，采取线下课堂教学为主，线上网络教学为辅的基本思路。线下课堂教学着重讲解基础知识、基本方法和基本技能，线上网络教学做好数学分析课程与高中课程及专业学习的衔接。具体可归纳为“课前补齐知识，课中讲授主题，课后拓展专业”。

4.1 课前补齐知识

课前网上教学应注意引导学生补齐知识，做好预习。孙露和方辉平（2016）[9]基于翻转课堂的视角探讨了混合式教学在衔接重叠内容教学中的必要性。由于教改与历史原因，数学分析课程与高中课程衔接出现不少问题，例如内容衔接不上，同时由于招生中学生来自五湖四海，文理兼招等原因，致使衔接问题更加严重。但由于大学课程课内课时有限，无法在课堂上补齐大学所需知识，线上网络教学就成了很好的补充。可以利用网络视频资源、教师录制视频讲解相关知识，学生也可以依据各自需求，进行自主学习。与此同时，选定线上数学分析优质课程（如中国大学MOOC平台课程），结合数学分析学习内容，课前网上教学安排相关预习，采取学习任务单确定课前学习任务和学习要求，指导学生课前线上学习，教师做好网络监控及检查学生线上学预习完成情况。

4.2 课中讲授主题

线下的课堂讲授应突出主题，提高授课效率。课中讲授要基于课前知识补齐及预习情况展开，由于学生已经具备了一定的知识基础，教师引围绕课程主题进行，合理设计课程教学目标、教学内容，针对性的讲解核心概念、主要方法。课程以研讨式教学为主，充分发挥学生学习的主动性，交流线上学习遇到的问题，帮助学生梳理知识点，引导学生归纳课程中用到的基本思想方法。借助多媒体教学技术，创设有趣的教学情境，阐明课程讲解内容核心思想的重要起源以及内容在经济学中的主要应用场景。例如导数在边际分析中的作用，无穷级数在计算银行复利存款及债券定价的应用原理等。积极引导学生主动提出问题，讨论问题和解决问题，形成良好的师生互动，充分激发学生学习热情，调动学生自主学习的积极性，提高课堂教学效率。

4.3 课后拓展专业

针对数学分析学习的知识点，通过线下作业进行学习巩固，对教师课堂内容进行必要的框架性提炼，达到复习、总结、提升目的。课后网上教学还应将课程内容与专业应用相结合，激发学生的学习热情。数学分析混合式教学能够充分贴近专业需求，积极创设典型、案例化的教学情境，激发学生的学习兴趣，满足专业学习需求。因课时原因，数学分析课堂内容的应用无法全部在课堂上进行讲授，而且由于部分专业课程还未开设，其应用环境需要用到专业的经济或金融术语，并不是每个学生都有兴趣，或者可以做到无障碍的学习，可以将相关的应用素材放到线上，能更好地满足学生个性化学习需要，按照个人优势与偏好选择合适的学习内容和节奏进度。网上资源建设，力求保证每个知识点都配备相应教学微视频和微课件，建立完善的网络教学系统的练习题库和在线测试题库，用来查缺补漏，巩固课堂所学。当学生完成在线作业与测试后，网络系统能自动给出正确答案和具体解析。同时老师可以要通过网络统计分析学生短、中、长期的学习情况，以便给学生提供合理的学习建议，提高学生学习效率。

5 小结

随着信息技术的快速发展，教育模式改革也势在必行。混合式教学作为教学模式创新的新趋势，它能够持续优化教学内容，完善教学设计，提高教学质量。本文基于学习金融数学专业数学分析课程的意义，在分析了数学分析课程的前后衔接问题的基础上，采用混合式教学模式能够很好地解决以上问题。通过以上分析我们知道，可以将混合式教学模式直接迁移到经管类专业微积分的教学中。只需做好相应专业衔接，也可将其推广到高等数学等课程的教学中。