夯实基础 感悟解法

赵倩倩

二次根式是初中数学“数与式”的主要内容之一，也是中考考查的重点。因此，同学们除了要牢固掌握基础知识、基本技能和基本思想方法外，还要能正确熟练地运用相关知识解决各类问题。

一、二次根式的概念

例1 若[x-1]有意义，则x的取值范围是 。

【分析】本题考查二次根式[a]有意义的条件：被开方数a≥0。

解：根据题意，得x-1≥0，解得x≥1。

故答案为x≥1。

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键。

例2 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）。

A.[8]与[3] B.[2]与[12]

C.[5]与[15] D.[75]与[27]

【分析】本题考查同类二次根式的概念，应先将各选项化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同进行判断即可。

解：A選项，[8]=[22]，和[3]不是同类二次根式，本选项不合题意;

B选项，[12]=[23]，和[2]不是同类二次根式，本选项不合题意;

C选项，[5]与[15]不是同类二次根式，本选项不合题意;

D选项，[75]=[53]，[27]=[33]，两者是同类二次根式，本选项符合题意。

故选D。

【点评】本题考查了同类二次根式的概念，解题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念。

二、二次根式的性质

例3 已知：a=（[12]）-1+（[-3]）0，b=（[3]+[2]）（[3]-[2]），则[a+b]= 。

【分析】本题考查二次根式的性质（[a]）2=a（a≥0），平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2以及零指数幂、负整数指数幂的计算。先计算出a、b的值，然后代入所求式子即可求得相应的值。

解：∵a=（[12]）-1+（[-3]）0=2+1=3，

b=（[3]+[2]）（[3]-[2]）=（[3]）2-（[2]）2=3-2=1，

∴[a+b]=[3+1]=[4]=2。

故答案为2。

【点评】本题考查了二次根式的化简求值、平方差公式、零指数幂、负整数指数幂，解题的关键是明确它们各自的计算方法。

例4 2、5、m是某三角形三边的长，则[（m-3）2]+[（m-7）2]等于（ ）。

A.2m-10 B.10-2m C.10 D.4

【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质[a2]=[a]=[a（a≥0），-a（a<0），]化简得出答案。

解：∵2、5、m是某三角形三边的长，

∴5-2

故3

∴[（m-3）2]+[（m-7）2]=[m-3]+[m-7]=m-3+7-m=4。

故选D。

【点评】本题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键。

三、二次根式的计算

例5 计算[24]-[65]×[45]的结果是 。

【分析】本题考查同类二次根式的合并以及二次根式的乘法运算。二次根式的乘法运算法则：[a]×[b]=[ab]（a≥0，b≥0）。

解：原式=[26]-[65×45]=[26]-[36]=[-6]。

故答案为[-6]。

【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键。

例6 计算[8]-[92]的结果是 。

【分析】本题考查同类二次根式的合并以及二次根式的除法运算。二次根式的除法运算法则：[a]÷[b]=[ab]（a≥0，b>0）。

解：[8]-[92]=[22][-92]

=[22][-32]=[22][-322]=[22]。

故答案为[22]。

【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键。

（作者单位：江苏省丰县初级中学）

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