基于广义Bouc-Wen模型的压电叠堆迟滞特性建模*

邱 卓，华顺明，彭 宇，王义强，张 宇

(1.浙大宁波理工学院 机电与能源工程学院，浙江 宁波 315100；2.浙江大学 机械工程学院，浙江 杭州 310027；3.宁波博尔法液压有限公司，浙江 宁波 315502)

0 引言

压电陶瓷执行器具有响应速度快、频带宽和分辨率高等优点，在高速伺服阀、精密定位、微流控等机械工程领域被广泛应用。但是，其固有的迟滞特性会严重影响控制精度，必须加以克服，其中通过建立迟滞模型来构造控制器是最常见的减小迟滞方式[1]。

根据工作原理的不同，可以将常见的迟滞模型分为静态模型和动态模型[2]。静态模型只能静态描述压电执行器的输出位移，主要有神经网络模型[3]、Preisach模型[4，5]、Prandtl-Ishlinski模型[6]；动态模型可以动态跟踪压电执行器的输出位移，但一般误差较大，常见的动态模型有Maxwell模型[7]、Duhem模型[8]和Bouc-Wen模型[9]。

为了能够更好地模拟压电叠堆在不同速率输入信号下的位移输出特性，应采用动态模型，其中Bouc-Wen模型的基本形式是一阶非线性微分方程，模型比较简洁直观。但是经典Bouc-Wen模型对非对称迟滞效应的描述效果较差，且随着输入信号速率的升高，压电执行器的非对称迟滞特征越明显[10]。为解决上述问题，在经典Bouc-Wen模型的基础上引入松弛函数，提出一种广义Bouc-Wen模型。

1 经典Bouc-Wen模型基本原理

迟滞效应曲线可以看作是线性分量X(t)和迟滞分量h(t)复合而成，所以经典Bouc-Wen模型可以表示为：

y(t)=X(t)+h(t)=k·uA(t)+h(t).

(1)

(2)

其中：y(t)为压电叠堆的输出位移；uA(t)为压电叠堆的作用电压；k、α、β、γ和n是决定迟滞曲线形状的模型参数，n通常设置为1。

那么根据式(2)，迟滞分量可以表示为：

(3)

由式(1)～式(3)可知，经典Bouc-Wen模型的模型参数主要为k、α、β、γ，但是根据已有的研究成果可知，β和γ是常数，参数k和α都随着输入频率的增加而减少，所以这种频率依赖性不能用经典Bouc-Wen模型来描述[11-13]。

2 广义Bouc-Wen迟滞模型构建

为使Bouc-Wen模型可以描述压电叠堆迟滞特性在频率增加时的变化，可引入松弛函数来表征速率相关的迟滞效应[14，15]，由此建立的广义Bouc-Wen模型可以表示为：

(4)

(5)

(6)

(7)

其中：a≥0，b≥0，a、b、ε、δ均为常数。

(8)

(9)

为使迟滞模型与压电叠堆的实际迟滞效应更加匹配，也即要求模型预测位移输出与压电叠堆实际位移输出的方差尽量小，得出目标函数如下：

(10)

(11)

其中：N为样本总数；yi为第i个采样周期中压电叠堆实际位移输出。

显然，g(uA)是关于a、b、ε、δ、β和γ的非线性函数，目标函数可看做是一个非线性最小二乘法问题[16]，由此可利用MATLAB/Simulink确定参数值，具体如表1所示。

表1 广义Bouc-Wen模型参数

根据以上分析，建立的压电叠堆的迟滞模型如图1所示。

图1 基于广义Bouc-Wen模型的压电叠堆仿真模型

3 实验验证

为了验证模型的有效性，将前述迟滞模型的仿真值与压电叠堆输出位移的实际测量值进行对比。

实验装置主要有：AE0505D16型压电叠堆，驱动电压为0 V～100 V，最大输出位移为11.6 μm±2.0 μm，其他参数见表2；哈尔滨芯明天XE-500D型压电陶瓷伺服功率放大器，由放大器模块、传感器控制模块和显示与接口模块组成，实现对压电叠堆的驱动控制；DG4102型信号源，可提供任意频率的激励信号；日基恩士LK-H020型激光位移传感器，工作电压24 V，分辨率0.001 μm，可精确检测压电叠堆的输出位移；北京普源精电公司的DP1308A型可编程直流稳压电源，用于激光位移传感器供电。实验测试系统如图2所示。

图2 实验装置

表2 AE0505D16压电叠堆主要性能参数

为了验证前述广义Bouc-Wen迟滞模型在不同速率下的有效性，采用u(t)=50+50sin(2πft)格式的正弦输入信号来驱动压电执行器，分别测量1 Hz、10 Hz、50 Hz、100 Hz信号下压电叠堆的输出位移，并将测量数据与迟滞模型仿真结果进行比较，结果如图3所示。

由图3可以看出，本文所述广义Bouc-Wen迟滞模型的仿真结果可以较好地与实验结果吻合，仿真值与实验值的误差如表3所示。

表3 仿真值与实验值误差对比

图3 不同频率下仿真值与实验值结果比较图

1 Hz、10 Hz、50 Hz和100 Hz对应的平均绝对误差分别为0.023 μm、0.10 μm、0.34 μm和0.93 μm，相应的误差率分别为0.19%、0.81%、2.88%和8.02%。由上述结果可知，该模型在低频范围内可以精确地与实验结果相拟合，在高频范围内，误差率随着频率的增加而增大，但是可以控制在10%以内，说明对于高频信号同样有着很好的拟合效果，证明该模型具有较好的可行性。

4 结束语

本文在经典Bouc-Wen模型的基础上提出了一种广义Bouc-Wen模型，利用松弛函数对经典模型中随输入频率而变化的参数进行描述，使得广义模型可以表述不同速率输入信号下的输出特性。通过将仿真值与实验值对比可知，输入信号频率为1 Hz～100 Hz时，模型的误差率随频率的增加而增大，最大平均误差为0.93 μm，最大误差率为8.02%，表明该模型在不同速率下是有效的，为设计前馈控制器奠定了基础。