关于Duhamel 积分的进一步讨论1)

王怀磊

(南京航空航天大学振动工程研究所，南京 210016)

(南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，南京 210016)

现有国内外振动力学教程在介绍求解线性系统任意激励响应的Duhamel 积分时，大都是基于物理概念的分析，先求解单位脉冲响应函数，然后将任意激励分解和理解成无穷多个微冲量(脉冲) 作用，再对求得的各脉冲响应进行积分求和[1-9]。具体说来，考虑如下单自由度受迫振动系统

则每一τ ∈[0, t] 时刻脉冲f(τ)dτ所激发的系统在t时刻的响应为

其中h(t-τ) 为系统的单位脉冲响应函数。根据线性叠加原理，系统在t时刻的响应x(t) 应为所有τ ∈[0, t] 时刻的脉冲响应之和，即

一般振动力学教程中对Duhamel 积分的介绍到此就结束了。然而，笔者在教学实践过程中发现，此处尚有两个较为深入的问题需要讨论。

第一个问题：应如何理解脉冲激励的作用过程？具体说来，是应按照串行累计方式还是按照并行叠加方式理解？所谓串行累计是指，将[0, t] 内的连续激励分解为一系列沿时间线首尾相接的脉冲激励的连续作用，则系统的响应应为各脉冲激励持续作用、串行累计的结果，即后一个脉冲f(τ+Δτ)dτ在前一个脉冲f(τ)dτ产生的响应基础之上继续作用产生下一个响应，然后不断累计直至得出t时刻的响应。所谓并行叠加，正如Duhamel 积分的导出过程所见，是指将所有脉冲激励都独立看待，它们分别作用在零初值系统上，然后将各自响应进行叠加而得到系统的整体响应。这两种对脉冲激励作用过程的理解和处理方式结果是否一致，其各自的理论依据是什么，现有振动力学教程没有给出明确的说明。

第二个问题：Duhamel 积分是根据力学系统的物理意义构造出来的，但一般说由物理分析所得到的数学公式最初只能认为是一种猜想，必须要经过严格的数学验证才能予以确认，尤其是这种将外激励分解为无穷多个脉冲激励的无穷分割问题，对其直接使用初等有限相加思想所得出的结论并不一定正确。如何进一步严格证明Duhamel 积分的确就是系统方程的解，现有振动力学教程一般也不做这方面的论证。

针对上述两个问题，本文对Duhamel 积分作更为深入的分析和讨论。

1 脉冲激励作用的两种理解方式

若以串行累计方式理解脉冲激励的作用，则在此过程中，除了在计算第一个脉冲响应时系统具有零初值外，后续各个脉冲都是在前一脉冲激发的非零状态之上发生作用，因此后续响应的计算必须将非零初值的影响纳入进来。可以想象，这种累计计算过程应该相当复杂，但幸运的是，线性系统具有一个非常好的性质，即：线性系统脉冲激励的非零初值响应为自由系统非零初值响应与脉冲激励的零初值响应之和[10]。这就可以使得整个响应计算过程得到大大简化。为此，以三个等间隔脉冲激励为例进行讨论，如图1 所示。

图1 脉冲响应串行累计示意图

第一脉冲f(τ1)Δτ在t=τ1= 0 时激发出一个非零初值的自由振动x(t)=Δx1(t), t>τ1。该自由振动延续至t=τ2时，系统响应为x(t) = Δx1(τ2)，以此为初始状态作用第二脉冲f(τ2)Δτ，所产生的响应可分为两部分：一部分是初值为Δx1(τ2)的系统自由振动，实际上也就是第一脉冲在t=τ1=0 时刻激发的自由振动响应的延续，即Δx1(t)；另一部分则是由第二脉冲单独产生的零初值响应增量Δx2(t)。因此，根据线性系统性质，作用第二脉冲后系统的响应为x(t) = Δx1(t) + Δx2(t), t>τ2。该自由振动延续至t=τ3时刻时系统的响应为x(τ3) =Δx1(τ3) + Δx2(τ3)，以此为初始状态作用第三脉冲f(τ3)Δτ时，系统的后续响应类似地也为两部分之和：一部分是初值为Δx1(τ3)+Δx2(τ3)的自由振动，实际上也就是前面两次单独的零初值脉冲响应之和的延续，即Δx1(t)+Δx2(t)；另一部分则是第三脉冲单独产生的零初值响应增量Δx3(t)。因此，作用第三脉冲后系统的响应为

令Δτ →0，并记为dτ，则式(5) 的极限形式即为Duhamel 积分。由以上分析可以看出，虽然在物理上各脉冲作用有先后顺序，但对于线性系统来说，其各自产生的响应增量实际上已经解耦，互不干扰，从而脉冲激励串行作用的物理过程最终转化成了各自响应增量的并行叠加计算过程。因此，以串行累计方式理解脉冲激励的作用过程与Duhamel 积分所表示的并行叠加计算过程是一致的，或者说，Duhamel 积分的确正确反映了τ ∈[0, t] 内各脉冲激励持续作用、串行累计的物理过程。

综上所述，无论以串行累计方式还是并行叠加的方式来理解脉冲激励作用过程，其最终计算结果都归结为各脉冲零初值响应增量的并行叠加。基于此，Duhamel 积分的计算过程可用一虚拟实验描述为：将外激励在 [0, t] 内分解成n个脉冲激励f(τi)dτ，同时做出n个相同的零初值系统，建立统一的时间坐标系，将脉冲f(τi)dτ在τi时刻(τi的时间属性目前仅体现于此) 分别作用于各自系统上，记录下各系统在t时刻的响应，最后对各响应值进行代数叠加即可得到原系统在t时刻的响应。由此过程也可看出，Duhamel 积分表达的是各τ时刻的脉冲激励在t时刻产生的响应的叠加，此时τ的时间先后属性已经非常淡化，因此更宜将其理解为区间[0, t] 内的一个分布变量。

2 Duhamel 积分的数学验证

仅从求解数学方程的角度来看，获得线性振动系统任意激励响应的Duhamel 积分公式并非难事，比如用拉普拉斯变换及其反变换即可得到该公式。20世纪90 年代国内一些学者也曾注意到此问题，并尝试采用各种严格的数学方法，如复数变换降阶法[11]，常数变易法[12]，积分因子降阶法[13]等导出了Duhamel 积分。从这个意义上说，Duhamel 积分的理论体系是完备的。但笔者在振动理论的教学实践中感觉到，上述诸方法在论证的直观性方面尚有不足，因此本文用最基本的微积分运算给出一个直接的验证，以加深对Duhamel 积分的理论认知。

3 结论

论文对Duhamel 积分所涉及的脉冲激励作用过程进行了深入的分析，论证了无论以串行累计方式还是并行叠加方式来理解脉冲激励，其计算结果都归结为Duhamel 积分，揭示出Duhamel 积分的计算本质是脉冲响应的并行叠加。另外，论文用最简单直接的微积分运算对Duhamel 积分进行了数学验证，严格证明了Duhamel 积分的确是系统的零初值响应。本文结论应能对全面深刻理解Duhamel 积分的物理意义及其理论基础起到积极的作用。