颗粒材料形状分选的量化模型综述1)

徐 悦 李 然 修文正 陈 泉 孙其诚 杨 晖,

∗(上海理工大学光电信息与计算机工程学院，上海 200093)†(上海理工大学医疗器械与食品工程学院，上海 200093)

∗∗(清华大学水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，北京 100084)

颗粒材料由大量离散的固体颗粒组成[1-2]，在雪崩[3]和岩石堆积[4]等自然界现象中，以及在农业[5]、固体废物处理[6]和混凝土[7]等行业中都很常见。颗粒分选是颗粒流动中存在的一种普遍现象。在大多数情况下，分选是有破坏性的[8]。滑坡和泥石流等自然灾害中存在着分选现象[9-10]，分选会改变局部水流特性，对于崩塌过程中分选现象的量化研究有助于人们预测地质灾害；在制药产业中，药材的不均匀研磨混合会降低药品的生产质量[8,11]，对于药材研磨中分选现象的量化有助于我们提高混合质量，充分发挥药效。

传统的颗粒分选模型主要针对球形颗粒[12-16]，而不规则颗粒更具有普遍性，因此，越来越多的研究拓展到形状分选上。例如在颗粒堆积[17]和料斗卸料[18]的研究中，发现非球形颗粒对系统的运动情况产生了很大影响，颗粒的形状是不可忽视的因素。He 等[19]对椭球和球混合物研究时，在40% 的填充度下，改变两者长径比，发现球形颗粒不会一直集中在中心位置，这启发人们对形状分选原因的探讨。Pereira 等[20]通过对球形和块状混合颗粒的仿真，从能量耗散角度出发，发现颗粒棱角的尖锐程度会导致能量消耗的差异，从而导致分选的发生，通过对比分选结果，发现形状导致的分选比密度和尺寸导致的弱很多。Dub´e 等[21]对柱状颗粒进行模拟，发现与传统分选结果相反的结论，即较小的颗粒分布在四周，最后推出结论，两种不同柱状颗粒的分选结果由其底面宽度决定。但是目前的研究对工业与自然现象的模拟存在不足，对于块状、柱状等颗粒的研究仍存在很大空白。普遍适用于颗粒分选现象的解释仍未被发现[22]。

在本文中，我们总结了主要的颗粒形状分选研究，介绍了几种不同的分选量化模型；在这些量化模型的基础上，分析了不同形状混合颗粒物的分选结果，最后进行了讨论。

1 颗粒分选程度的量化模型

目前，颗粒的形状分选越来越受到关注，人们从不同的角度给出了不同的量化分选模型。有的适合实验测量，有的则适合仿真模拟。因此，对目前常用的量化模型进行总结，很有必要。

Claudia 等[23]提出了用平均径向距离对分选的结果进行量化，计算每个颗粒的质心(xm,i,ym,i) 到转筒中心(xc,yc) 的距离di和不同颗粒的平均径向距离dm为

式中N为不同颗粒的总数。这种方法结合图像处理技术计算简单，操作容易，直观性强，易于理解。

He 等[19]采用颗粒分布的概率密度函数对分选结果进行了量化分析。概率密度是不同形状的颗粒在某个区域内的出现概率。这种量化分选的方式适用于对局部区域的分析，如对中心约为床面长度的三分之一的区域进行的量化分析，如图1(a) 蓝色线条标出部分的区域。类似的，Lu 等[24]将圆盘划分为5 个等间距圆环，如图1(b) 所示，通过计算每种颗粒的空间分辨数来量化分选结果。每个圆环内两种颗粒的空间分辨数分别为

图1 局部区域选取示意图Fig.1 Schematic diagram of local area selection

式中r 和g 分别表示图中浅色和深色颗粒。此方法通过对区域的划分得到二元颗粒的空间位置分布信息。借助计算机系统计算简单，但不适用于颗粒较多的实验室测量。

Dub´e 等[21]使用位置概率量化柱状颗粒的分选，位置概率是指在特定颗粒中发现示踪颗粒的次数与发现两种示踪颗粒的总次数之比。该方法需要对颗粒进行预处理工作。Lacey 混合指数[25]被广泛用来量化混合的程度[26-30]，计算方式为

式中，δ2t为当前时刻系统的方差，δ20和δ2r分别为完全分离系统和充分混合系统的方差。M的范围在0～1 之间变化，当系统混合完好时，M=1， 当系统完全分离时，M= 0。这是提出较早、适用范围较广的量化混合程度的指标之一。Kramer[31]和Mindlin[32]提出了同样基于方差的混合指数，原理与Lacey 相似。针对粒径相等的混合颗粒，Chandratilleke 等[33]在Lacey 基础上融合了配位数设计了新的混合指数。

Pereira 等[20]提出了用分离指数Φaβ来量化衡量分选程度，当区域内有两种混合颗粒α,β时，其分选程度表示为

式中，Ncell为划分后的网格总数，i为第i个网格，V(i) 为第i个网格的体积，V是测量区域中颗粒的总体积。在完全混合的颗粒体系中，每个区域中两种颗粒的体积相同，Φaβ= 0；对于分离的混合颗粒，Φαβ> 0，Φaβ在0～1 之间。颗粒分选程度越高，Φαβ的数值越大。Pereira 在实验中将圆盘表面划分为多个小方格，分别计算每个小方格中的颗粒所占体积，再进行求和以及归一化处理，此方法避免了对颗粒个数的计算，直接计算了颗粒体积。类似的，对处理图像进行网格划分并计算方差的还有VVR 指数[34]，也被诸多学者使用[35-37]。

张立栋等[38]采用接触指数C来量化钢球和生物质颗粒混合物的混合程度，其定义为

式中，Cbs是生物质颗粒和钢球颗粒的接触数，Ct是生物质颗粒之间、钢球颗粒之间以及生物质颗粒和钢球颗粒接触数的总和。C的值越大，生物质颗粒和钢球颗粒的接触数越多，混合程度就越高。Marigo等[39-40]在其发表的文章中也多次使用到相似的接触指数来量化结果。近年来，Papapetrou 等[41]还提出了一种将接触法与Lacey 混合指数相结合的量化方法。

2 形状一致颗粒的分选

目前对于分选的研究主要集中在形状一致的颗粒上，最常见的就是球形颗粒的分选，通过改变两种球形颗粒的直径以及转速，会得到“月亮”和“花瓣”两种斑图[42]，这种分选通常被称为尺寸分选，得到的结果是小颗粒聚集在中心，大颗粒分布在周围。该结果也被多次观测，并得到统一[43-45]。

赵永志等[42]以圆盘内直径为1mm 和3mm 的球形颗粒为研究对象，旋转30 弧度角后观察实验结果。在较高转速下得到“月亮” 斑图，如图2(a)(b)所示，在较低转速下得到“花瓣”斑图，且转速越低，花瓣数目越多，如图2(c)(d) 所示，笔者把这种现象的原因归结于摩擦角的不同。

图2 不同转速下圆盘旋转30 rad 后的结果[42]Fig.2 Results after 30 rad rotation of the drum at different speeds[42]

He 等[46]研究了圆筒中椭球颗粒的尺寸分选，通过从平动和转动方程对椭球建模[47]，得到与球形颗粒分选一致的结果，大颗粒倾向于分布在床层外围，小颗粒聚集在圆盘中心位置。用Lacey 混合指数进行量化分析，其结果如图3 所示。当转速较高为15 r/min 时，三种长径比AR的混合指数在混合物为球体时最小，即中间黑线处，分别约为0.66，0.59和0.55，当颗粒长径比变大，即变为长椭球和扁椭球时，混合指数都有所上升，分选程度降低，这与Liu等[48]得到的结论相一致。另一方面，粒径比SR从0.63 减小到0.50，球和椭球的混合指数整体降低，即分选程度增大，小颗粒容易渗过孔洞，被困在床层中心。而当粒径比减小到0.33 时，混合程度比0.50 时要高，这是因为当尺寸差异增大时，小颗粒更容易透过被动层的大颗粒之间的空隙向外渗透。

图3 15 r/min 时不同粒径比下的平衡混合指数与长径比的关系[46]Fig.3 The relationship between equilibrium mixing index and aspect ratio for different size ratios at 15 r/min[46]

形状一致的颗粒分选除了尺寸分选，还有密度分选。将两种密度不同的颗粒进行混合并观察，能发现密度大的颗粒聚集在中心，而密度小的颗粒分布在四周，且也能观察到月亮和花瓣两种模式[49-51]。传统的分选研究主要集中在上述形状一致的颗粒上，即关注点集中在尺寸或密度分选上，但生活中更常见的是不同形状颗粒之间的分选。因此，仅对尺寸和密度分选研究是有局限性的。

3 椭球颗粒的分选

椭球颗粒的分选指的是球形颗粒和椭球形颗粒混合物的分选。球形是椭球的特殊情况，其差别在于椭球的长径比可以改变，因此长径比通常是影响椭球分选结果的重要因素，简单比较颗粒大小不能准确得到混合颗粒的径向分布；另一方面，从实验结果看，圆盘的填充程度也会对结果产生很大影响。

Claudia 等[23]通过实验研究了圆盘中球形和不同椭球颗粒的分选，通过3D 打印，控制每个颗粒体积相同，填充程度为25%，实验结果如图4 所示。E 表示椭球体，S 表示球体，S/E 和E/S 分别表示初始状态球体在椭球体上部和椭球体在球体上部两种情况。图4(a) 是平均径向距离dm随时间演化的结果，dm越小则越靠近圆盘中心位置，图4(b) 是将距离圆筒中心的径向距离等分并归一化的结果，从而量化分析球和椭球的分布情况。当混合颗粒体积相同但长径比AR不同时，均能观察到稳定的分选。长径比较大的椭球颗粒聚集在颗粒层的中心，长径比较低的球形颗粒则在颗粒层的外围聚集。作者解释为流动倾向的降低，即被拉长的颗粒减少了滚动的状态，拉长较少的颗粒系统地取代了拉长较多的颗粒，在主动层中发生了自发的颗粒分选，具有较低长径比的颗粒首先到达圆盘边壁，较高长径比的颗粒则滞留在圆盘中心。

图4 球形与不同椭球的平均径向距离变化[23]Fig.4 Evolution of the mean radial distance for the mixture of spheres and different ellipsoids[23]

He 等[19]通过仿真模拟了圆盘中球形和椭球颗粒的分选现象，通过从平动和转动方程对椭球建模[47]。图5 为图1(a) 中蓝色矩形区域的概率密度分布函数。图5(a) 中实线为长径比AR= 0.5 的椭球和AR= 1.0 的球形颗粒的混合结果，在离床面约0.03 m 处有一个扁椭球峰，表明其分布在圆盘中心，而球形颗粒的概率密度曲线有一个双峰，表示颗粒分布在床层边缘。当保持AR= 1.0 的球形颗粒不变，将扁椭球的长径比减小到0.25 时，结果如图5(a) 虚线所示，得到相反的位置分布结果。长椭球与球形颗粒的混合结果类似，如图5(b) 所示。即对于椭球与球体的二元混合，当颗粒形状差异较小时，椭球倾向于分布在圆盘中心，而球形颗粒更容易在圆盘四周堆积，当颗粒形状差异增大时，出现四周为椭球、中心为球体的反分选。笔者的解释是由椭球的流动性增加和自由表面流动层中大孔洞的形成，球体可以渗透通过大的空隙，并被困在中心位置。

图5 转速为5 r/min 时不同混合物中颗粒的概率密度分布[19]Fig.5 The probability density distribution of particles in different mixtures at 5 r/min[19]

以上两位作者的结果有所区别，可能是填充程度的影响，Claudia 等的工作中，颗粒填充程度为25%，而He 等[19]的工作中，颗粒填充程度为40%，同时实验和仿真也可能是造成区别的一个重要因素。Li 等[52]研究了一维垂直振动下球与四种不同的椭球混合物的分选过程，在四种情况下均发现椭球体很容易穿过容器侧壁的空隙，并最终被困在容器底部。因此，对于球和椭球的分选，目前还未有一个被大家普遍接受的结论，影响球和椭球颗粒分选结果的决定性因素是否是长径比还未曾可知。

4 块状颗粒的分选

块状颗粒的分选指的是块状颗粒和球形颗粒混合物的分选。研究过程通常是增加块状颗粒的形状因子，使其越来越接近立方体，观察这一过程的变化。从研究结果表明，球形与块状颗粒的径向分布为等体积的块状颗粒聚集在中心，球形颗粒分布在两边。另一方面，与尺寸分选相比，块状颗粒与球形颗粒的形状分选程度弱很多。

Lu 等[24]通过三维超二次方程对块状颗粒进行建模，将球和三种形状因子不同的立方体进行混合，使用空间分辨数(球形颗粒的分选中fg为较小颗粒的空间分辨数，球和块状颗粒的分选中fg为块状颗粒的空间分辨数) 来量化结果，如图6 所示。5 个段的划分如图1(b)所示，图6 绘制了2 段和5 段的结果，分别表示圆盘中心和四周位置。球形颗粒之间的分选结果与第2 部分的讨论结果一致，如图6(a) 所示，较小尺寸的颗粒主要集中在第2 段，即圆盘中心区域，较大的颗粒则分布在圆盘四周。球形与三种块状颗粒的分选结果则大致相同，2 段和5 段区域中块状颗粒所占比例都在0.5 附近，表明分选程度较低。通过比较，可以发现与尺寸导致的分选相比，形状导致的分选较弱。图6(b) 三种块状颗粒的空间分辨数分布几乎重合，即立方体颗粒的分选程度与所研究的立方体颗粒的块度参数几乎无关。

图6 混合物在图1(b) 中2 段(红色曲线) 和5 段(黑色曲线) 空间分辨数随时间的变化[24]Fig.6 Evolution of number fraction of the mixture in Fig. 1(b) for 2 segments (red curve) and 5 segments (black curve) with time[24]

Pereira 等[20]通过三维超二次方程对颗粒进行建模，模拟了球形和块体颗粒混合物在圆盘中的分选，结果如图7 所示，发现块状颗粒聚集在转筒的中心，而球形颗粒则聚集在圆盘的边壁附近，并用分离指数Φαβ量化分析分选程度。当块状颗粒的形状因子由2.55 增加到10.05 时，块状颗粒越来越接近立方体，其分选程度越来越高，笔者认为是由两种颗粒因形状不同而能量耗散率有差异导致的。之后，笔者还和密度、尺寸分选做了对比，密度、尺寸的分离指数Φαβ能达到0.8～0.9，因而形状导致的分选比密度和尺寸导致的弱很多。

图7 球形颗粒和块状颗粒的最终稳定图像及其相对应的分选程度。蓝色是形状因子为2.03 的球体，红色是形状因子不同的块状颗粒[20]Fig.7 The final stabilized images of spherical and lumpy particles, and their degrees of segregation corresponding.Blue is the sphere with the shape factor of 2.03 and red is the lumpy particles with different shape factors[20]

从两位作者的分析结果中都可以发现由形状导致的分选程度弱于尺寸导致的分选，但对于块状颗粒的分选程度两人有所区别，Lu 等[24]发现三种不同形状因子的块状颗粒的结果相类似，而Pereira 等[20]则发现随着形状因子的增大，分选程度也随之增加，这可能是由于两人所选颗粒的数目导致的，也可能是两人对于圆盘面的划分不同，计算方式不同所导致。同时，两人的形状因子选取也不相同，分选程度对形状因子可能是非线性变化的，Pereira 等[20]选取的形状因子相差较大。

5 柱状颗粒的分选

柱状颗粒的分选指的是柱状颗粒和球形颗粒混合物的分选。径向分布依然是首先研究的问题。在低填充度下，呈现出区域分块现象。在较高填充度下，颗粒的大小不再决定分选的径向分布。另一方面，与传统分选一样，分选的结果依然受到圆盘转速和填充程度的影响。

张立栋等[38]通过将多个球形堆叠成椭球的方法，仿真模拟了钢球颗粒和圆柱形生物质颗粒在圆盘中的分选现象，分析了圆盘转速和不同圆柱形生物质数量对混合质量的影响，固定钢球颗粒数量3000 不变，圆柱形生物质颗粒有100 和200 两种情形。20 s时各工况下颗粒混合运动如图8 所示，可以明显看到颗粒在混合时被分成了3 个区域，从左往右依次为单层钢球颗粒区(灰色)、钢球颗粒和生物质颗粒混合区以及生物质颗粒堆积区(黑色)，笔者把这种结果产生的原因解释为低转速和低填充率，同时，随着滚筒转速的提高，单层钢球颗粒区域的长度在减小。在量化程度的分析上使用了接触指数M对结果进行量化，如图9 所示。当二元混合物数量比相同时，滚筒转速越高，接触数指数越大，混合程度越好，随着滚筒转速的提高，二元混合颗粒到达稳定的时间也越来越短。当增加圆柱形生物质颗粒数量到200 后，接触指数M整体有上升的趋势，且接触指数M起伏波动也比圆柱形生物质颗粒数量为100时大。

图8 各工况下20 s 时颗粒混合运动图[38]Fig.8 Particle segregation at 20 s under each working condition[38]

图9 颗粒数量比不相同时的接触数指数随时间的变化曲线[38]Fig.9 Evolution of contact number index with time for different particle number ratios[38]

Dub´e 等[21]制作了不同形状的药片，使用位置概率对图10 所示五种颗粒进行部分混合结果的分析，结果如图11 所示。图11(a) 表明，若两种混合物形状类似，得到的结果与传统的尺寸分选相类似，较小的颗粒(即片剂A、B 和5 毫米玻璃珠) 在床的中心被发现的概率高于两边。但从图11(b)可以看出，对于混合物CD 和CE，获得了和尺寸分选完全不同的结果，较小的颗粒(即片剂C) 集中在两边，而较大的颗粒却聚集在中心位置。笔者推测浮力和渗流机制很可能受到颗粒形状的影响。片剂D 和E 在主动层中流动时的优选运动取向可能导致片剂C 在它们之间分离所需的空间不足，因此片剂的宽度才是决定片剂分布的主要因素。

图10 五种不同的柱状颗粒[4]Fig.10 Five different kinds of cylindrical particles[4]

图11 不同柱状颗粒的位置概率图[21]Fig.11 Probability of different cylindrical particles[21]

对柱状体颗粒的分选目前研究较少，在低填充度下的结果是左中右区域分块，有混合部分，也有单独分离部分；在较高填充度下，与传统的分选结果差别最大，长椭圆体的底面直径是混合颗粒径向分布的决定性因素。这一现象对形状分选的研究很有启发意义，我们不再着眼于颗粒的整个大小，而是从局部考虑，如片剂底面的宽度。Yang 等[53]对两种不同大小的圆柱体进行研究，发现了与球形颗粒相似的结果。

6 结语

以传统的形状一致颗粒的分选为基础，以颗粒径向分布为主线，本文总结了量化多种颗粒形态的分选模型，包括球形和椭球形颗粒、块状颗粒、柱状颗粒之间的分选。发现如下结论。

(1)在一定的填充率和转速下，均能出现两种颗粒的分选现象。

(2)在椭球分选中，颗粒的长径比是影响径向分布的关键因素，在球形和椭球颗粒的分选中，改变椭球颗粒的长径比能得到完全相反的现象。在块状颗粒的分选中，块状颗粒的形状因子是影响结果的条件，等体积的块状颗粒和球形颗粒均呈现出块状颗粒集中在圆盘中心，球形颗粒分布在四周的现象。在柱状颗粒的分选中，与传统分选结果差别最大，发现长柱状颗粒的底面宽度决定了混合颗粒的径向分布结果。

(3) 形状分选的强度要小于尺寸分选。然而，对于完全不规则颗粒的研究还有所欠缺，需要在今后工作中予以研究。

对于颗粒形状分选研究关注的问题有分选模型的建立、径向分布的斑图、分选的量化方式以及分选过程中速度等物理参数的变化等。目前需要解决的问题还有很多。

(1) 在实验中，如何建立标准化、规范化的测量流程，得到杨氏模量、摩擦系数等物理量。

(2)对于实验结果的量化，选择从宏观角度分析面积或体积，还是从微观角度对单个颗粒统计也值得考虑。

(3)在仿真模拟中，对除球形颗粒外的颗粒的建模主要可分为三种，第一种是从平动和转动出发建立模型，第二种是在仿真软件中使用三维超二次方程建模，第三种是用多个球形颗粒堆积成不同形状。这三种方式均有一定的不足之处，对非球形颗粒的精确建模方式，是值得我们思考的问题。