Markov切换时滞基因调控网络的均方同步和随机无源同步*

曹 娟， 任凤丽

（南京航空航天大学 数学系，南京 210016）

引 言

基因调控网络是由DNA、RNA、蛋白质和其他小分子相互作用组成的网络.探索基因调控网络的动力学行为对于揭示生物体内控制基因表达的机制具有重要作用.基因调控网络的微分方程模型可以描述蛋白质和mRNA 的浓度变化，能够凸显生物系统的非线性动力学行为，因而得到了广泛研究.Chen 等[1]首次提出了一个具有常时滞的基因调控网络模型，得到了该网络稳定的充分必要条件.文献[2-5]主要分析了随机基因调控网络的稳定性，并给出了相关结果.文献[6-8]研究了随机基因振荡网络的同步问题.Ren 等[9]应用分数阶Lyapunov 方法，得出了分数阶基因调控网络实现Mittag-Leffler 稳定和广义Mittag-Leffler 稳定的条件.Qian等[10]研究了带时滞的分数阶基因调控网络的有限时间同步，与文献[11-14]相比，他们考虑的系统不具有随机扰动.

自然界或工程应用中经常会出现受外部随机扰动的复杂网络，复杂网络系统也会因网络环境的不确定性如环境噪声、随机故障、受到外部攻击等表现出随机特性.各类随机现象对于系统性能会造成较大影响.如在游戏开发领域，简单的数据同步也会使网络发生延迟和抖动，产生卡顿或瞬移等现象，因此分析游戏环境，设计网络随机同步的优化算法显得尤为重要.对于基因调控网络的随机同步问题，可以转化为稳定性问题，从而研究基因调控网络的随机均方同步.结合控制论中的无源理论，可以进一步分析基因调控网络的随机无源同步，以挖掘更多关于网络中个体的未来状态和网络拓扑全局变化.

鉴于此，本文研究了具有Markov 切换的时滞基因调控网络均方同步和随机无源性问题，建立了网络实现均方同步和无源的充分条件，并给出数值例子和仿真，验证了所得结论的可行性和有效性.本文的主要贡献如下：

1)考虑到网络通信往往具有随机特征，例如随机丢包等，本文基于随机系统方法研究了随机基因调控网络，而文献[1,9-10,15]未考虑基因调控系统的随机特征；

2)揭示了时变时滞对基因调控网络性能产生的影响，而文献[1-3,5,9-14]未考虑时滞或只考虑了常数时滞；

3)针对随机Markov 切换基因调控系统，在均方意义下给出同步和无源性分析，而文献[1-3,9-14]未考虑Markov 切换特征.

1 预备知识

首先考虑一个简单的基因调控网络：

其中t≥0，i,j∈N={1,2,···,n}，mi(t)∈R+和pi(t)∈R+分 别指第i个基因mRNA 和蛋白质的浓度，参数ai>0和ci>0是 mRNA 和蛋白质的降解率，di>0是 翻译率.矩阵W=(wi j)∈Rn×n是该基因调控网络的耦合矩阵，具体定义如下：

fj(pj(t))是 蛋白质对转录的反馈调节，用Michaelis-Menten 或Hill 形式来描述.是有界常数，指时刻t转 录基因j到基因i的 转录率，Ii是 所有抑制基因i的 基因j的集合.

在实际应用中，时滞的存在不可避免地会影响神经网络的动态行为，所以具有时滞影响的神经网络稳定性的研究受到了广泛关注[14].相较于常时滞，时变时滞会给所考虑的网络带来更大的复杂性[15].同时，信息的转录过程以及相应的化学反应都需要充足的时间.考虑时变时滞，该GRN 变成

对于驱动系统(7)，相应响应系统如下：

设误差emi(t)=xi(t)−mi(t)，epi(t)=yi(t)−pi(t).驱动系统(7)和响应系统(8)之间的误差动力学系统如下：

下面引入记号：

因此，所得向量形式误差系统为

2 主要结果

本节将研究带时变时滞和Markov 跳跃参数的两个SGRNs(7)和(8)的均方随机同步问题，并给出系统实现同步的充分条件.=0且>0， 则fj(·)称 作Lurie 型函数.若=0，则假设1 可改写为

若假设1 中

即fj是一个Lipschitz 型函数.

下面给出与上述两种情况相对应的系统(7)和(8)的同步结果.

定理1假设时变时滞h(t) 和 函数f(·)分别满足条件(5)和(12)，则驱动系统(7)和相应的响应系统(8)实现均方同步，若存在正定矩阵P1k,P2k,Q1,Q2,Q3,R1， 正定对角矩阵S1,S2使得如下的对称线性矩阵不等式对于所有的k∈S成立：

其中

证明考虑如下的Lyapunov-Krasovskii 泛函(LKF)：

其中P1k,P2k,Q1,Q2,Q3,R1是未知对称正定矩阵.

其中 L 表示扩散算子，并且

由引理2 和条件(12)可知

其中S1和S2是 正定对角矩阵，且L=diag{ℓ1, ℓ2, ···,ℓn}.

则由引理3 可得

不等式(16)的最后一项可写成

结合式(16)～(20)，我们有

其中

下面，对不等式(15)两边同时取数学期望，得到

根据Lyapunov 稳定性理论及定义1，为实现系统(11)的均方渐近稳定，必须有 E {dV(k,em(t),ep(t))}<0对所有非零em(t)和ep(t)都成立.

因此， E{dV(k,em(t),ep(t))}<0 对所有非零em(t)和ep(t) 成 立，意味着要证明 LV(k,em(t),ep(t))<0，这可以实现，当且仅当

由于不等式(23)是非线性的，应用Schur 补引理[2]可得不等式(13).

与文献[14]中定理1 的证明类似，我们可得 l imt→∞E(‖emi(t)‖2+‖epi(t)‖2)=0.因此系统(11)实现均方渐近稳定，这意味着系统(7)和(8)实现均方随机同步.定理1 证毕.□

注1假定函数fj(·)满足假设1，则相应的系统(7)和(8)之间均方随机同步条件可以通过如下的Lyapunov-Krasovskii 泛函(LKF)构造出来：

现据假设，存在正定对角矩阵Z1和Z2使得

如下定理给出了上述情形下，均方随机同步的渐近条件.

式(23)两边对t从 0 到tp积 分，并考虑初始条件V(r0,em(0),ep(0))=0，可得不等式

故由定义2，结论得证.□

注2本文所考虑的问题与现有基因调控网络相关文献内容相比，有以下几个方面不同：

① 本文同时考虑内部和外部扰动，即考虑具有Brown 运动ω (t) 和 Markov 切换η (t)的基因调控网络；

② 本文对转录函数f(·)提出了两种假设，即Lurie 型(式(5))和Lipschitz 型(式(12))，并分别给出了在每种假设下系统实现均方同步的充分条件；

③ 本文不仅研究了驱动响应系统的均方同步，还研究了随机无源同步问题.

注3 与文献[4]中的定理1 对比，本文并未施加对于噪声强度的限制，并且本文的定理1 或2 可以使得该Markov 基因调控网络实现均方随机同步.与文献[8]中的定理1 相比，本文对于转录函数和时变时滞的限制更严格，需要有大于0 的某个下界，但定理3 中需存在的正定矩阵未要求其具有模式依赖性，更利于实现均方意义下的无源同步.

3 数值仿真

考虑具有两种跳跃模式的网络(11)，参数描述如下：

模式1

模式2

图1～4 给出了系统(11)的状态轨道，而图5 给出了对应转移概率矩阵Q的Markov 链r(t)的切换行为.由该数值仿真可清晰地看出，子系统实现了均方渐近同步和随机无源同步.

图1 第一个基因mRNA 浓度误差Fig.1 The error state of mRNA concentration of the 1st gene

图2 第二个基因mRNA 浓度误差Fig.2 The error state of mRNA concentration of the 2nd gene

图5 Markov 链的切换模式Fig.5 The evolutionary process of Markovian switching

4 结 论

本文研究了具有Markov 切换的时变时滞基因调控网络的均方同步和随机无源同步问题，在转录函数为Lurie 型和Lipschitz 型的情况下，通过构造恰当的L-K 泛函，分别得到驱动响应系统达到均方同步的充分判据.特别地，转录函数为Lipschitz 型的情形时，还给出该结构的随机无源同步结果.通过与相关文献对比可知，本文的模型更具有一般性和实际意义.最后给出了一个仿真实例，验证获得结论的有效性.进一步地，我们可以分析带Lévy 噪声项的Markov 切换时滞基因调控网络的相应随机同步问题.