弹性板中柱面Lamb波问题的哈密顿体系方法

吴仕荣，赖安迪，周 凯，周震寰，徐新生

（大连理工大学 运载工程与力学学部 工程力学系，辽宁 大连 116023）

0 引言

工程设备和结构的精密化、轻型化对安全性和可靠性提出了更高的要求，因而结构健康检测的方法和技术受到了更多关注.Lamb波[1]是结构健康无损检测方面的有效工具.该方法根据结构的响应确定损伤程度、位置、类型等信息，因此基于Lamb波的结构健康监测系统已经被广泛应用.对于平面Lamb波问题，根据板结构的自由边界条件，可得到Lamb波频率方程（Rayleigh-Lamb方程）[2-3]，并由此导出Lamb波解的表达式.由于将哈密顿体系引入到平面Lamb波问题中，辛本征值和本征解可表述平面Lamb波，并得到表面载荷激励下的解析解[4].在关于弹性板中的柱面Lamb波问题的研究中，其波频率方程[5]被分析，并讨论和推导[6-7]了轴对称情况下柱面Lamb波的解析解.非轴对称柱面Lamb波问题作为目前关注的重点[8-9]，研究工作局限在拉格朗日体系下开展.本文在哈密顿体系下研究一般性的柱面Lamb波问题，利用辛共轭正交关系，将波结构进行分解，从而实现多模态Lamb波模态信号[10]重构以及激励问题的解析表述.

1 基本问题

对于板中柱面Lamb波的传播问题，考虑一块较大的板，见图1，板厚为2h，在板上表面施加外载荷，激励产生柱面Lamb波.选取柱坐标系(,,)rzθ，原点位于板中面，位移向量记为u=(u,v,w)T，其分量分别表示r向、θ向和z向的位移.

图1 板的形状、载荷及坐标系 Fig.1 plate shape, load and coordinate system

在柱坐标系下，以应力σ、应变ε和位移表示应变能和动能的拉格朗日函数为

式中，ρ为密度，kg/m3.

根据哈密顿原理，由拉格朗日函数

可得相空间的Navier运动方程为

式中，λ和μ为拉梅系数.

设板上下表面为自由边界条件，则

2 导入哈密顿体系

为导入板中柱面Lamb波问题的哈密顿体系，令r坐标模拟时间，为任意函数，此时拉格朗日函数为

式中，对偶变量[11]分量为p1=rσr，p2=rσrθ，p3=rσrz.哈密顿函数可以写成通过对哈密顿函数的变分，可得和，即哈密顿正则方程组为

式中，

3 辛本征值和本征解

采用广义分离变量法对式（8）求解，解为

为纵波波速；sc为横波波速；kmd为待定常数；Jn(kr)为n阶贝塞尔函数.可见径向函数是由贝塞尔函数表示的.

式中，k为波数，可由式（11）、式（12）解出，并且可确定待定常数之间的关系.式（10）和式（11）分别对应板厚度方向对称和反对称柱面Lamb波的频率方程，波数可分别记为和，m为波数k对应的模数，n为柱面Lamb波所对应的周向阶数.与其相对应的对称模态和反对称模态分别为和 ,mnA，所对应的本征解可统一写成

式中，

4 辛共轭正交关系

记本征解12,ψψ，定义辛内积

式中，J为单位旋转矩阵.经过正交化归一后，本征解之间存在辛共轭正交关系为

问题的解可由本征解叠加为

5 载荷激励下的柱面Lamb波

考虑在板自由表面（z=±h）上作用激励载荷为

可以通过变换将该非齐次侧边条件转化为齐次侧边条件，而哈密顿正则方程组变换为非齐次方程，不妨记为

式中，非齐次项分量为

求解式（18）时，只需给出一特解即可.将非齐次f按辛本征解展开为

式中，

可以得到特解为

问题的解由式（16）和式（20）叠加组成.

6 数值结果

Lamb波沿厚度方向可分解为对称和反对称两种模态.为了数值计算，以铝板为例，弹性模量E取70 GPa，密度ρ取2700 kg/m3，泊松比υ取0.3，板厚2h取 1 mm.在不同频厚积下，Lamb波沿厚度方向的模态见图2，图中“▲”、“■”为文献[8]结果，可以看出，数值模拟结果与文献[8]相符.

图2 不同频厚积下沿厚度方向的模态对比Fig.2 modal comparison along thickness direction under different frequency - thickness product

考虑矩形压电陶瓷传感器激发Lamb波时，可简化为图3模型[8-9].图中传感器尺寸2a和2b的比由θ0表示.传感器贴于原点处.根据该模型，矩形传感器的作用可等效为在该区域施加均匀剪应力.为了分析模态，设为单位剪应力.

图3 传感器模型Fig.3 sensor struggle model

根据辛共轭正交关系，柱面Lamb波的模态可按辛本征解分解.在计算中，级数从第10项截断，并考察矩形激发器θ0对模态的影响.为了展示环向模态特征，考虑位移u在板上表面（z=h）的模态，并取r为单位长度.θ0取π/18时，图4给出级数解主项（第一项m=1）沿厚度的对称和反对称本征解模态（分别简称S0和A0）图像（数据点为文献[9]试验结果）.图4表明数值模拟结果与试验结果吻合.

图4 Lamb波周向模态对比Fig.4 lamb wave circumferential mode comparison

当θ0分别为π/12、π/6和π/4时，得到级数解的主项（第一项m=1）沿厚度对称和反对称本征解模态（分别简称S0和A0）图像，见图5.由图5可以看出，随着长宽比θ0的增加，最大幅值也随之沿激发器矩形长度方向变化.当θ0= π/4时，激发器为正方形，最大幅值在两个方向均衡.

图5 Lamb波周向模态Fig.5 circumferential modes of Lamb wave

针对矩形传感器长宽比θ0为π/6，考察其他阶数模态变化规律.沿厚度对称和反对称本征解模态记kS和kA（k=1,2,3），分别对应级数解m=2,3,4，计算后模态见图6，各阶模态具有不同的形式，各模态可利用辛共轭正交关系分解.

图6 不同阶Lamb波周向模态Fig.6 circumferential modes of lamb wave for different orders

7 结论

在柱坐标哈密顿体系下，柱面Lamb波的解可由辛本征解表示，研究得出以下结论.

（1）本征解的解析表达式表明，位移沿径向衰减，其规律与贝塞尔函数有关.

（2）柱面Lamb波沿环向可分为轴对称波和非轴对称波两类，分别对应零本征解和非零本征解.

（3）由激励载荷激发的柱面Lamb波可分解为沿厚度方向的对称波和反对称波.

（4）位移的最大幅值随着矩形激发器长宽比而变化，总是沿激发器矩形长度方向.

（5）由于哈密顿体系下的本征解具有辛共轭正交关系，因此柱面Lamb波的模态可由辛本征解分解或叠加得到.辛本征解分解方法对结构的健康检测提供一种工具和依据.