公理化思想在初中数学教学中的运用

黄小燕

公理化思想是指从数学基本概念角度出发，利用纯逻辑推理法则，系统演绎数学过程，梳理数学关系。在初中数学教学中运用公理化思想，就是借助基本概念、基本命题进行数学逻辑推理，这一过程就是公理化思想的运用过程，能够辅助学生更好地掌握数学教材中的多个数学概念、数学公理、数学命题，提高学生对这些命题的掌握与运用能力，培养学生的逻辑思维、推理论证思维与问题解决能力。

一、以公理呈现数学知识，培养学生逻辑思维

公理化思想对于初中数学教学内容具有启示作用。在初中数学教学中，教师要强调对已有数学知识的运用和对已有数学学习经验的结合。教师在进行数学概念类知识教学时，应该努力创设数学情境，激发学生对数学知识的原有认知，让学生在原有认知结构中引入新学习的数学知识与基础概念，思考新的学习内容，顺利参与数学概念类知识学习。教师还需要思考如何在公理化视域下呈现数学内容，如何将公理化与新课程改革要求有机结合。公理化思想就是借助数学基本概念、基本命题展开的数学逻辑推理过程，侧面提出了对学生逻辑思维、推理能力、问题分析与解决能力的要求，这与《课程标准》要求的数学核心素养的培养不谋而合。因此，需要选取数学知识内容化，以一种较为严谨的公理化方式构建数学概念、命题的逻辑思考空间，逐渐让学生在推理中接触公理化方法思想内核，发展学生的逻辑思维能力。

以初中数学《直线、射线、线段》的教学为例。这节课的数学概念类知识包括：线段、直线、射线特征概念，线段、直线、射线之间的区别概念。在原本的数学教学中，教师需要通过“画一画、比一比”的方式引导学生观察、对比与分析，归纳提炼概念知识，还需要通过“一点出发画无数条射线”的学习活动，辅助学生体会“两点确定一条直线”的道理。为了让学生体会公理化思想，逐渐掌握公理化方法，教师梳理本节课及本单元的知识点与概念，引入“希尔伯特公理体系”，借助其中的基本概念——点、线、面基本元素、结合关系、顺序关系、合同关系，借助其中的基本公理——过两点有一条直线、过两点至多有一条直线、直线上至少有两点且至少三点不在一条直线上等。在列出公理体系之后，教师借助多媒体视频播放这些公理的动态演示图，提出问题：借助基本公理进行推演，如何证明“过两点有一条直线”“过两点至多有一条直线”。学生会在原本对“线段”的认知结构中进行扩大与延伸，发现其与曾经学习的“线段”属于同一知识体系，进一步拓展学生已有知识体系。之后学生结合“两点之间线段最短”论证“过两点至多有一条直线”这一基本公理，这一过程中学生经历了“画出过一点的直线”“尝试画出过两点的多条直线”的动手操作与思考过程，这一过程是学生利用线段公理论证直线公理的过程，能够进一步梳理学生的思考路径，发展学生的逻辑思维。

二、以公理演绎论证过程，培养学生论证推理能力

公理化思想的运用能够帮助学生合理推理数学关系，论证数学猜想，发展学生的数学论证推理能力。推理就是学生根据已有的数学知识、学习经验，在主观思想影响下，运用观察、分析、实验、归类、类比、直觉等思维形式，构建出符合客体的认知过程，而这一过程的正确性是需要证明的，其结论是受到主观思想影响的。论证推理则不同，它是不受主观情感影响的，是完全基于客观条件，根据数学基本公理，在一步步的证明过程中推理出来的，具有更强的说服力。在初中数学的学习中，一些情况并不能够直接达到论证推理条件，这就需要合理利用数学公理、基本概念、基本命题演绎论证过程，验证数学猜想与命题，得到较为准确的答案。

比如，在初中数学《角》的教学中，教师可以引入关于角的数学公理——“两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等”，“角边角”公理是证明两三角形全等的重要公理之一。在黑板上画出一个△A'B'C'，提出论证推理要求：使用何种公理可以论证三角形的类型、角大小问题，运用这一公理的推理过程是什么？学生此时纷纷根据已有的三角形学习经验、三角形知识储备，提出：使用角边角公理（ASA）可以对其进行论证，具体过程为“△A'B'C'，A'B'=AB，∠A'=∠A，∠B'=∠B，作A'B'=AB，在A'B'的同旁作∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E交C”，此时可以得到△A'B'C'的三个角大小相等。之后，教师还可以结合学生对“线”部分概念的学习情况，提出要求：之前我们在学习“线段、直线、射线”时已经开始尝试验证基本命题与公理，今天可以利用量尺，分别测量你身边的直角、钝角、锐角，验证“角的公理”。学生借助角的公理与定理——“同角或等角的余角相等”“同角或等角的补角相等”“三个内角的和等于180°”“直角三角形的两个锐角互余”，一边测量一边验证与推理，得到结论：这些公理在实际测量与计算过程中都是正确的，在帮助学生掌握“角的大小比较方法”的同时发展学生的论证推理能力，让学生进一步掌握公理方法。

三、以公理梳理解题思路，培养学生数学问题解决能力

在初中数学学习过程中，演绎推理是解决数学问题的主要方法之一，学生开始尝试利用数学公理、概念、定理等内容分析数学题目条件，演绎推理数学问题，导出证明数学猜想，得到数学答案。这种方法虽然能够帮助学生形成良好的问题解决能力，但是学生掌握这一方法的过程仍需要教师给予指导与提点。初中数学问题的演绎推理，其本质思想与公理化方法是相一致的，就是借助基本概念、基本命题进行逻辑思考，能够发展学生的逻辑思维能力、论证推理能力，锻炼学生的问题解决能力。因此，教师仍旧要将公理化思想作为主要指导，在学生解决数学问题时，让学生逐渐认识到“解题方法与公理化方法是一致的”，从而梳理學生的解题思路，让学生将公理化论证过程作为主要解题过程。

在初中数学“运算”部分的学习中，数的几条运算性质可以看作是简单的公理，学生可以运用这几条性质解决数学运算中的多种问题。比如：实数的运算性质、函数的运算性质、加法结合律、乘法序性质等。在《不等式》教学中，根据性质①“不等式两边都加（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变”，性质②“不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”，性质③“不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，教师提出数学问题：当a>0时，3a>2a;当a<0时，3a<2a这一命题是否准确？学生将不等式的三个性质作为基本公理，利用教师提出的问题假设“a”的数分别为“1”“0”“-1”，分别验证3a与2a的计算结果，将结果进行大小比较，发现“-1×3”小于“-1×2”，“1×3”大于“1×2”，符合基本公理描述，从而得到结论为命题正确，进一步锻炼学生的公理化思想方法运用能力，发展学生的问题解决能力。

综上所述，在中学数学教学中结合公理化思想，可以使学生更好地理清数学概念、辨别命题与定理之间的关系，实现逻辑思维能力、推理论证能力的发展。在中学数学教学中培养学生运用公理化方法，是一个漫长且艰巨的过程，需要教师结合初中数学知识特点，借助数学问题、数学概念，为学生提供公理化方法使用环境，让学生在数学基本概念知识学习、数学论证推理、数学问题解决的过程中逐渐掌握公理化方法。

（作者单位：江苏省南通市海门经济技术开发区中学）

（责任编辑  晓寒）