基于PR控制器与不对称SVPWM的永磁电机电流谐波抑制策略

雷 雳，罗 响，朱 莉

(上海交通大学 电气工程系，上海 200240)

0 引 言

永磁同步电机(以下简称PMSM)具有结构简单、体积小、质量轻、功率密度高等优点，近年来在国防航天、工农业生产及日常生活等领域中得到了广泛应用。在常用的PMSM磁场定向控制系统中，受系统非线性因素影响，PMSM的电枢电流中含有一定谐波成分。这将增加电机损耗，并产生转矩脉动与发热等问题，降低控制系统的工作性能[1]。

引起PMSM谐波电流的因素有两个：1)电机本体的非线性因素，如磁饱和效应、转子磁极结构、绕组分布、齿槽效应等，均会引起电机气隙磁场畸变，从而产生谐波电流；2)逆变器的非线性因素，包括开关器件的管压降、死区特性等[2-3]。

从引起PMSM谐波电流的因素入手，国内外学者针对如何抑制谐波电流做了大量研究。考虑电机本体部分，改善电机气隙磁场正弦度可有效削弱基波磁场外的谐波磁场分量，进而降低谐波电流[4-5]。然而，对电机气隙磁场的优化往往提升了电机设计的复杂度和制造难度，难以推广。

另一种思路从电机的控制策略出发，提取电机运行时的谐波电流，并设计补偿器对谐波电流进行抑制。针对特定频率谐波的抑制主要有两种方法，一是重复控制，另一个是比例谐振(以下简称PR)控制[6]。

重复控制器在理论上对给定频率的整数倍频率信号均有无穷大幅频响应，可应用于PMSM控制系统中消除电流谐波和转矩脉动[7-8]。但重复控制器要求一定的存储空间，算法较为复杂，且工况变化时对不同基频需要重新设计控制器。

PR控制基于内模原理，具有正弦信号的内模模型。与重复控制器类似，理想PR控制器在谐振频率点处有无穷大增益。与之不同的是，PR控制器的谐振频率可自由设定，具有更高的设计自由度。且PR控制器结构简单，易于整定参数，被广泛应用于并网逆变器和PMSM的谐波抑制中[9-10]。但在实际应用中，受控制系统带宽限制，针对高频谐波设计的PR控制器的控制信号会被削弱，使得PR控制器对高频谐波的抑制效果不佳。

针对PR控制器对高次谐波电流抑制效果减弱的问题，本文改进了PMSM控制系统中的空间矢量脉冲调制(以下简称SVPWM)算法，将其改造为输出脉冲不再关于载波波形对称的不对称空间矢量脉冲调制(以下简称ASVPWM)算法，缩短了逆变环节的延迟时间，提升了电流环带宽，显著改善了PR控制器对高频谐波的抑制效果。此外，ASVPWM算法相较于SVPWM具有部分自然采样法的性质，可在维持开关器件开关频率的前提下降低谐波含量。该算法与PR控制器联合作用后，可对PMSM的17、19次高次谐波电流达到良好的抑制效果。仿真和实验验证了本文提出的谐波抑制策略的有效性。

1 PR控制器

1.1 永磁电机谐波分析

PMSM运行过程中，受电机本体和控制系统中的非线性因素影响，其定子电流中谐波成分较为丰富。文献[11]分析得到了逆变器死区效应造成的谐波主要为基频的3、5、7次等奇数次谐波。文献[12]综合考虑了电机本体设计非理想、齿槽效应和逆变器非线性特性产生的谐波，推导了电机谐波模型，得出电机稳态运行时电枢电流主要含有6k±1 (k=1,2,3，…)次谐波。假设电机星形连接，即可忽略3的倍数次谐波，那么在谐波抑制时只需考虑6k±1次谐波。

经坐标变换后，三相电流中的6k±1次谐波在d,q坐标系中表现为6k次谐波分量，即:

(1)

式中：Id0,Iq0为d,q轴电流直流分量；Id,6k,Iq,6k为d,q轴电流的6k次谐波分量；ω为基波角频率；θd,6k,θq,6k为6k次谐波电流的初始相角。

经以上分析，在dq坐标系下抑制6k次谐波，即可抑制三相坐标系下的6k±1次电流谐波。

1.2 PR控制器原理

内模原理指出，一个能良好抵消外部扰动或跟踪给定指令信号的反馈控制系统，其反馈回路中必须包含一个与扰动或指令信号相同类型的动力学模型[13]。PI控制器能良好跟踪d,q轴的直流指令，但对前文分析的6k次谐波电流难以达到良好的抑制作用，为此，需引入PR控制器。

理想PR控制器含有正弦信号的内模，其传递函数：

(2)

式中：KP,KR分别为比例和谐振环节增益；ω0是谐振角频率。PR控制器在谐振频率处有无穷大幅频增益。

在实际应用中，谐振频率易因采样误差或转速波动发生偏移，因此常用具有一定带宽的准PR控制器，以提升鲁棒性。其传递函数：

(3)

引入谐振带宽ωb后可拓宽准PR控制器的谐振范围，使其对谐振频率附近一定范围内的频率信号均有正增益，可削弱因谐振频率波动造成的系统控制性能下降。

1.3 PR控制器参数整定

为抑制电流谐波，谐振控制器通常与控制系统中电流环上的PI控制器并联以组成PIR控制器，如图 1所示(以d轴为例)。

图1 有谐振控制器的d轴电流环控制框图

图 1中，Tc为逆变器的延迟时间常数，uh为导致谐波电流的扰动电压。在数字控制系统中，逆变器输出的电压脉宽需要由控制器采样相电流值后计算得到，考虑到ADC采样的转换时延与电压矢量的作用时延，逆变环节的延时通常是开关周期的1.5倍左右，即Tc=1.5TPWM。

在整定谐振环节参数前，需先整定PI控制器的参数。暂时忽略谐振环节，电流环的开环传递函数：

(4)

(5)

式(5)与典型I型系统的开环传递函数形式相同。按照最佳整定准则，取：

(6)

即可得到PI控制器的参数整定值：

(7)

此时电流环对扰动电压uh的阻抗：

(8)

式中：ωh为uh的角频率。而在引入谐振环节后，回路阻抗将变为：

ZPIR=R+sLd+

(9)

为抑制对应的频率谐波，谐振环节的谐振频率ω0应与ωh相等。谐振带宽ωb可根据电机转速脉动的大小在1～10 rad/s之间选取。在s=jωh时，式(9)可简化：

(10)

对比式(8)与式(10)可以发现，在引入谐振环节后，电流环在谐波频率处的阻抗增加了，且KR越大，回路阻抗越大。而谐振控制器又具有筛选特性，电流环对其他频率信号的回路阻抗不会显著增加，因此引入谐振环节后可以在不影响正常控制的前提下抑制对应频率的谐波分量。KR的取值需综合系统的稳定裕度考量，可在不威胁系统稳定性的前提下尽量取大。若系统内存在不同频率的谐波，需要同时抑制，可在PI控制器上并联多个谐振频率不同的谐振环节，之后逐一确定各个谐振环节的KR取值。

1.4 电流环带宽分析

经上文分析，引入谐振控制器后，电流环在谐振频率处的回路阻抗增加，可有效抑制对应频率的电流谐波。然而电流环实质上是一个低通系统，当存在频率超过电流环截止频率的高频电流谐波时，对应设置的谐振控制器的控制信号会被衰减，无法有效地抑制谐波。为实现对高频谐波的有效抑制，需要考察影响电流环带宽的因素。

不考虑谐振环节，d轴电流环的开环幅频响应：

(11)

(12)

电流环的开环截止频率ωc满足：

(13)

可解得：

(14)

(15)

由式(15)可知，ωc与电机参数Ld、R呈正相关，与Tc呈负相关。在电机参数不能改变的前提下，本文提出不对称的空间矢量脉冲调制算法，通过缩短Tc的方式提升系统带宽，进而提高谐振控制器对高频谐波的抑制效果。

2 ASVPWM

2.1 ASVPWM原理

目前，SVPWM算法被广泛用作大功率传动系统的驱动算法，其相比仅考虑生成正弦波电压的SPWM算法提升了电压利用率和控制性能。尽管SVPWM与SPWM算法的出发点不同，但经数学分析可以发现，SVPWM实际上是SPWM的一种改进，可由对SPWM调制波注入零序分量获得，且本质上是一种规则采样PWM[14]。

作为规则采样PWM，SVPWM的采样时刻通常在载波的波峰(或波谷)处，以决定下一个载波周期的输出电压脉冲宽度，且输出脉冲关于载波对称。ASVPWM在此基础上改进而来，在载波到达正负峰值时均进行采样，每个采样值仅计算半个载波周期内的脉冲宽度。

图 2展示了ASVPWM的时序图。对于载波频率为f的ASVPWM算法，其在载波的波峰与波谷处均进行ADC采样，并立即计算出当前半周期内的PWM脉冲起始/终止时刻，对应开关管的导通/关断时刻。如此，ASVPWM算法可与载波频率为2f的SVPWM算法等效，并且在ASVPWM中的开关频率并未增加，意味着其可以以低开关频率实现与高开关频率等效的PWM波。此外，ASVPWM输出的每个电压矢量的作用时间(即从其被采样计算得出到其作用完毕的时间)不超过半个PWM周期，使得Tc=0.5TPWM。因此，ASVPWM算法的应用可以使得Tc缩短，达到提升系统的带宽目的。

图2 ASVPWM与ADC时序图

2.2 ASVPWM的谐波特性

SVPWM与ASVPWM的目标都是通过基本电压矢量的组合产生等效的参考电压矢量，可以理解为在每个采样周期内对三相参考电压调制波采样，而ASVPWM的采样率比SVPWM高一倍。稳态下，三相参考电压调制波应是与电机基波频率相同的对称三相正弦波。首先考虑SVPWM的谐波特性，以A相为例，设载波为uc(t)，周期为Tc；A相参考电压调制波为urA(t)，周期为Tr，与基波周期相同。定义载波比M：

(16)

假定M为整数，则在一个周期内SVPWM算法应输出M个脉冲。以t=0作为调制波采样的起始时刻，设第i(i≤M)个载波周期[(i-1)Tc,iTc]内，A相上桥臂开关管的导通时刻、关断时刻、导通时长分别为TAon(i)、TAoff(i)、TAP(i)。SVPWM是对称规则采样，TAon(i)、TAoff(i)、TAP(i)满足：

(17)

设A相上桥臂开关管的状态函数为SA(t)，则：

(18)

因urA(t)经过一个周期后，对应的电压矢量在复平面上转过一圈，开关状态也经历一个周期，故SA(t)是周期为Tr的周期函数，可以将其表示为复指数形式的傅里叶级数：

(19)

系数cAn满足：

(20)

式中[15]：

(21)

(22)

设SVPWM输出线电压为uAB(t)，同样将其表示为傅里叶级数：

(23)

同时:

uAB(t)=uA(t)-uB(t)=

Udc[SA(t)-SB(t)]=

(24)

可得：

cABn=Udc(XAn-XBn)·Wn

(25)

定性分析SVPWM线电压中调制波的低次谐波含量。设n≪M，有：

(26)

(27)

则：

(28)

同理可得:

(29)

(30)

式(30)表明，SVPWM输出的线电压uAB(t)的调制波n次谐波系数cABn恰好与对urAB(t)做M点离散傅里叶变换的系数相同。同时，在上述推导过程中，系数cAn、cBn仅与各载波周期中对应的TP(i)有关，与Ton(i)、Toff(i)均无关，可以认为ASVPWM的脉冲不对称性不改变ASVPWM输出电压的谐波特性，其输出电压的谐波特性与载波周期为Tc/2的SVPWM算法相同，输出线电压的谐波系数：

(31)

因此，ASVPWM输出线电压的调制波n次谐波系数c′ABn与对urAB(t)做2M点离散傅里叶变换的系数相同。在稳态下，urAB(t)应是一正弦波，同等开关频率下，ASVPWM对调制波的采样频率是SVPWM的2倍，其输出的线电压调制波更接近原始正弦波，谐波特性优于同开关频率下的SVPWM算法。

3 仿真及分析

3.1 单PR控制器

首先通过仿真验证PR控制器对电流谐波的抑制效果。仿真用电机参数如表 1所示。

表1 电机模型仿真参数

尝试在dq坐标系下抑制6次(300 Hz)谐波。根据前文的参数整定方法，取KR,d=300，ω0=300×2π rad/s，ωb=3 rad/s，系统的开环频率响应如图3所示。从图3中可以看出，谐振环节提高了系统在谐振频率的增益，此时系统的相位裕度为62°，满足稳定性要求。

图3 单PR控制器的系统开环频率响应

该系统对6次电流谐波的抑制效果如图 4和图 5所示。PR控制器可将d轴上的6次电流谐波抑制到接近抑制前的四分之一，使得相电流中的5次和7次电流谐波也显著降低。

图4 PR控制器对6次谐波的抑制效果(相电流)

图5 PR控制器对6次谐波的抑制效果(d轴电流)

然而，该系统的开环截止频率仅有387 Hz，PR控制器无法抑制系统中存在的12次或18次高频电流谐波。

3.2 ASVPWM

将电压调制算法由SVPWM替换为ASVPWM后，系统的开环频率响应如图 6所示。由图6可见，ASVPWM将开环带宽由387 Hz提升至1 165 Hz，约为原值的3倍。此外，采用ASVPWM的系统具有更大的相位裕度，带宽和稳定性均得到了提升。

图6 采用SVPWM/ASVPWM的系统开环频率响应

现在尝试通过多谐振控制器并联的方式同时抑制6次(300 Hz)、12次(600 Hz)、18次(900 Hz)谐波。重新整定各参数，取ω0,6th=600π rad/s，ω0,12th=1 200π rad/s，ω0,18th=1 800π rad/s，KR,d6=KR,d12=KR,d18=5 000，ωb=3 rad/s，得到系统的开环频率响应如图7所示。

图7 多PR控制器的ASVPWM系统的开环频率响应

图8和图9展示了多PR控制器同步抑制多个频率谐波的效果。在引入ASVPWM算法提升系统带宽后，高频的PR控制器可以有效抑制对应频率的谐波，相电流的波形畸变得到了明显改善。

图8 PR控制器和ASVPWM对6次、12次、18次谐波的抑制效果(相电流)

4 实验及分析

4.1 实验平台介绍

本文通过在实验平台上进行样机实验以验证PR-ASVPWM算法抑制高频电流谐波的有效性。实验平台与环境如图 10所示。

图10 实验平台

实验平台中电机控制器以ST公司的STM32F407作为主控芯片，样机为一台功率1.5 kW的2对极混磁同步电机，PWM载波频率为7.5 kHz，其余参数与仿真相同。实验中使用Keysight DSOX2024A示波器采集电流信号且进行实时FFT分析，电机转速与转矩信号由HBM电机测量分析仪通过硬件传感器采集，并显示在上位机上。实验负载为一台带有冷却系统的恒压供水水泵。

4.2 PR控制器谐波抑制实验

在电机转速为基频50Hz的状态下进行实验。在未引入任何控制策略时，电机的转矩、转速波形与相电流的FFT分析结果如图 11所示。从图11中可以看出，电流中5、7、11、13、17、19次的原生谐波含量较大，对应d，q轴上的6、12、18次谐波。尝试采用多PR控制器进行6、12、18次谐波的同步抑制，得到结果如图 12所示。图 12表明，引入PR控制器后，电机的转矩脉动减小，电流中7次谐波含量显著下降，幅值由-27.8 dB被抑制到-38.1 dB，但更高次的谐波抑制效果不明显。这是因为谐振频率高的PR控制器受系统带宽限制，难以发挥作用所致。

图11 无控制策略时的波形

图12 PR控制器谐波抑制效果

4.3 PR控制器和ASVPWM算法谐波抑制实验

为实现对高次电流谐波的有效抑制，采用ASVPWM算法以提升系统带宽，得到的波形如图 13所示。

图13 PR控制器与ASVPWM算法联合的谐波抑制效果

从图 13中可以看出，引入ASVPWM算法后系统带宽提升，使得谐振频率高的PR控制器可以有效作用于电流谐波上。其中，13次谐波从-28.4 dB被抑制到-37.4 dB，17次谐波从-20.0 dB被抑制到-30.2 dB，19次谐波从-26.2 dB被抑制到-36.3 dB，对应的谐波能量均被抑制到原来的10%左右，有效改善了电流波形，提升了正弦度。

5 结 语

在PMSM控制系统中，PR控制器可以有效抑制低频电流谐波，但对于频率高于系统截止频率的谐波无能为力。本文的ASVPWM算法不但相较SVPWM具有更佳的谐波性能，而且能有效提升系统带宽。在与ASVPWM结合后，PR控制器能够实现对更高频率电流谐波的抑制，并且可在PMSM变频调速系统中实现多频率的谐波抑制。